Polüpropüleenist kott 10 kg sangaga
Pakume esmaklassilisi 10 kg polüpropüleenkotte konkurentsivõimeliste hindadega väikestele hulgitoodetele. Tegemist on kaasaegse keskkonnasõbraliku pakendiga, mida kasutatakse toiduainetööstuses, hulgi- ja jaekaubanduses ning põllumajanduses. Mahuti on valmistatud primaarsest polüpropüleenist, sünteetilisest materjalist, millel on kõrged tarbijaomadused.

Valge käepidemega PP kott 10 kg on mõeldud lahtise struktuuriga toodete pakendamiseks: suhkur, sool, jahu, tärklis, teraviljad, pasta, kaunviljad, seemned, tee, kohv. Väljalõigatud käepide muudab seda hõlpsaks transportimiseks ja käsitsi kaasaskandmiseks. PromTrusti kataloogis on kvaliteetse kudumisega polüpropüleenist toidukotid, mis on valmistatud vastavalt GOST-ile.

Tooted on toiduga kokkupuutel ohutud, ei eralda ohtlikke aineid ega ima endasse lõhnu. Pakend vastab sanitaar- ja hügieeninõuetele, mida kinnitavad riikliku sanitaar- ja epidemioloogilise järelevalve sertifikaadid.

Polüpropüleenkottide kasutusala 10 kg

10 kg polüpropüleenist kott sobib puistlasti pakendamiseks, hoiustamiseks ja transportimiseks. Võib kasutada toiduainete ja mittetoidukaupade jaoks. Mahuti kaitseb sisu niiskuse, tolmu, saaste, päikesekiirguse, temperatuurimuutuste ja putukakahjustuste eest. Toode valatakse läbi alt või ülevalt (olenevalt mudelist) ja pakend õmmeldakse kokku. Õmblemiseks sobivad kotiõmblusniidid LSh-210, masin GK-9 ja muud mudelid.

Polüpropüleenkottide eelised 10 kg

Materjali iseloomustab löögikindlus, talub korduvat painutamist ja hõõrdumist. Pakend sobib toodete pikaajaliseks ladustamiseks laotingimustes. Toote eelised:

• keemiline inertsus;
• tihe struktuur;
• kerge kaal;
• kasutusmugavus;
• vastupidavus madalatele, kõrgetele temperatuuridele, UV-kiirgusele;
• hingavus;
• vastupidavus lagunemisele, bakteritele, leelistele, orgaanilistele lahustitele;
• dielektrilised omadused;
• ei vaju keevas vees kokku;
• korduvkasutatavad ja taaskasutatavad;
• ökonoomne hind

Tänu karedale tekstuurile ei libise pakend. Konteiner ei ole transportimisel kahjustatud, vältides tootmiskadusid.

Ostke Moskvas 10 kg polüpropüleenkotte koos kohaletoomisega

PromTrust ettevõttes saate osta 10 kg polüpropüleenist kotti hulgi-, suur hulgi- ja jaemüügist. Tarnime tellimusi Moskvasse, Moskva piirkonda ja saadame piirkondadesse järele; Kotid on kokkupressitud ja tarnitud 500 tk.

Igas 10 kotis on 10 münti. Iga münt kaalub 10 g, kuid ühes kotis on kõik mündid võltsitud – mitte 10, vaid 11 g. Kuidas saab ühe kaaluga kindlaks teha, millises kotis (esimeses, teises või kolmandas). ? m jne) kas on võltsitud münte (kõik kotid on nummerdatud 1-10)? Kotid on avatavad ja igast saab välja tõmmata suvalise arvu münte.

VASTUS

Esimesest kotist tuleb välja võtta üks münt, teisest kaks, kolmandast kolm jne. (kümnendast kotist - kõik kümme münti). Järgmiseks tuleks kõik need mündid üks kord kokku kaaluda. Kui nende hulgas ei oleks võltsitud münte, s.o. kõik kaalusid 10 g, siis oleks nende kogukaal 550 g Aga kuna kaalutavate müntide hulgas on võltsitud münte (igaüks 11 g), siis oleks nende kogukaal üle 550 g 551 g, siis mündid on võltsitud on esimeses kotis, sest võtsime sealt ühe mündi, mis andis 1 g lisa Kui kogukaal on 552 g, siis võltsitud mündid on teises kotis, kuna võtsime kaks münti sellest. Kui kogukaal on 553 g, siis võltsmündid on kolmandas kotis jne. Seega on vaid ühe kaalumisega võimalik täpselt kindlaks teha, milline kott sisaldab võltsitud münte.

psühholoogilised harjutused treenimiseks

Mõistatus võltsitud müntide kohta

Teie ees on 10 avatud kotti, kus on piisavalt münte (oletame, et igas kotis on 100 münti). Üks kott sisaldab võltsitud münte, millest igaüks kaalub 2 grammi. Ülejäänud üheksa kotti sisaldavad ehtsaid münte, igaüks 1 grammi. Mündid ei erine üksteisest millegi poolest peale kaalu. Kaalu on käsitsi võimatu määrata. Teie ees on elektroonilised kaalud. Kuidas saab ühe (!!!) kaalumisega kindlaks teha, milline kott sisaldab võltsitud münte? Mingeid trikke ei aktsepteerita: münte ei saa vette lasta, üheksandalt korruselt visata, võrdses tempos ükshaaval puistata ja üheks kaalumiseks arvestada jne. Ainult üks kaalumine. Võltsitud kott on vaja tuvastada eranditult elektrooniliste kaalude abil.

Vastus mõistatusele:

Meil on 10 kotti ja need on avatud. Esiteks nummerdame müntide kotid. Järgmiseks paneme kaalule igast kotist erineva arvu münte. Esimesest 1 mündist, 2-st kaks münti, 3-st kolm münti, 4-st neli münti, 5-st viis münti, 6-st kuus münti, 7-st seitse münti, 8-st kaheksa münti, 9-st - üheksa münti, 10-st - kümme münti. Arvutame kogusumma, kui kõik mündid oleksid normaalsed (mitte võltsitud): 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55. Ja siis vaatame elektrooniliste kaalude näitu – teeme järelduse, kui palju kogus ideaalsest erineb. Näiteks kui kaal näitab kogust 58 grammi, siis need lisa 3 grammi tulid meile kotist 3, mis tähendab, et selles on võltsitud münte.

19.09.2012

Aleksei

Minu arvates saate seda teha: nummerdage kotid ja pange igast üks münt kottide nummerdamise järjekorras. Seejärel eemaldage mündid kordamööda ja vaadake kaalu erinevust))), et münt läheb kohe olema nähtav 200-grammise kassina. See kõik on ühe kaalumise ajaks varjestatud - panime ju mündid kaalule vaid korra - ja siis eemaldasime lihtsalt ühe mündi korraga)))
17.11.2013

Elena

stiilne pusle!
26.02.2014

Gennadi

Aleksei, iga mündi eemaldamine on mõõt, kuid see tuleb kaaluda ühes!
13.06.2014

Maksim

Gennadil on õigus, Aleksei meetod ei sobi probleemi tingimustega))
07.09.2014

lihtsalt pange kotid kordamööda, kott, milles on 10 1 grammi münti, kaalub 10 grammi ja kui paneme koti võltsitud müntidega, kaalub see 2
.
01.07.2015

Anna

miks just kolmandast kotist, võib-olla 5ndast või teisest
20.09.2015

kork

Iga mündi eemaldamine on mõõtmine, kuid see on vajalik ühe kaalumise jaoks! nii et iga kord, kui paned mündi kaalule, on see ka mõõt..
29.10.2015

Sergei

Ma võitlesin selle mõistatusega paar aastat tagasi 3 päeva, kuni kell 3 öösel leidsin lahenduse)))
29.11.2015

Vladimir

kõik on õige. Kaalud lülituvad sisse alles siis, kui kõik mündid on juba peal
06.12.2015

Elena

Olen seda probleemi teadnud lapsepõlvest...see on lihtne ja raske korraga.
08.12.2015

Kanamat

Esimesest rangest kahest ja nii edasi 10-10 kui palju mis koguses on kaalu rohkem kotis võlts
25.07.2017

Aleksander

Columbo filmis oli selline mõistatus. Muidugi mõtles ta selle välja.

Kümme kotti

Münte on 10 kotti. Kõik ühes kotis olevad mündid on võltsitud. Ehtne münt kaalub 10 grammi ja võltsmünt 9 grammi. Kuidas tuvastada võltsitud müntide kott, kui üks kaalub astmelisel skaalal?

Esiteks peate nummerdama kõik kotid 1 kuni 10, seejärel peate igast kotist võtma nii palju münte, kui on selle seerianumber (1 kuni 10). Kui kõik mündid oleksid ehtsad, kaaluks müntide hunnik 550 grammi (1 + 2 + 3 ... + 10) * 10 = 550. Kui võltsitud müntide kotil on number N (N = 1 kuni 10) ), siis kottidest võetuna kaaluvad mündid N grammi vähem, seega on võetud mündihunnik N grammi vähem. Need. Kui mitme grammi võrra erineb hunniku kaal 550 grammist, sisaldab selline kott võltsitud münte.

Kaheksa kotti

Teil on 8 kotti münte, millest igaüks sisaldab 48 münti. Viis kotti sisaldavad ehtsaid münte ja ülejäänud võltsitud münte. Võltsmündid on 1 grammi kergemad kui päris. Tuvastage kõik võltsitud müntide kotid täppiskaalal ühe kaalumisega, kasutades minimaalset arvu münte.

Esimesest kotist ei ole vaja münte hankida (0), teisest kotist on vaja saada üks münt (1), kolmandast kaks (2), neljandast - neli (4), viiendast - seitse (7), kuuendast - kolmteist (13), seitsmendast - kakskümmend neli (24), kaheksandast - nelikümmend neli (44). Kõik kolm müntide "hunnikut" koos on ainulaadsed selle poolest, et annavad teatud täpse kaalu, võimaldades tuvastada võltsitud müntide kotte (kokku 95 münti). Kui kõik pakutud lahenduses olevad mündid oleksid ehtsad, oleks nende kogukaal 95 cu. (0+1+2+4+7+13+24+44). Võrrelge skaala näitu sellega, mis oleks ideaaljuhul, kui kõik mündid oleksid ehtsad. Saadud erinevus (tavaliste ühikute arv) näitab võltsitud müntidega kottide arvu. Näiteks kui vahe on 21, siis on teises, viiendas ja kuuendas kotis olevad mündid võltsitud, sest Just neilt võtsime 21 münti (1+7+13).

Jõulupallid

Uusaastapuul ripub kolm paari palli: kaks valget, kaks sinist ja kaks punast. Väliselt on pallid identsed. Igal paaril on aga üks kerge ja üks raske pall. Kõik kerged pallid kaaluvad sama ja nii ka kõik rasked pallid. Kahe tassikaalu abil määrake kõik kerged ja kõik rasked pallid.

Asetage üks punane ja üks valge pall vasakule skaalale ning üks sinine ja üks valge pall paremale skaalale. Kui tasakaal saavutatakse, on ilmne, et igal kausil on üks raske ja üks kerge pall. Seetõttu piisab kahe valge palli võrdlemisest, et saada vastus meid huvitavale küsimusele. Kui aga pärast esimest kaalumist tasakaalu ei saavutata, asub raskemal poolel raske valge pall. Järgmine loogiline samm on võrrelda juba kaalutud punase ja veel kaalumata sinise palli kaalu. Pärast seda on teile selge, millised pallid on kerged ja millised rasked.

Üheksa kotti

Seal on üheksa kotti: kaheksa liivaga ja üks kullaga. Kuldkott on veidi raskem. Kullakoti leidmiseks antakse teile kaks pannikaalu kaalumist.

Jagage üheksa kotti kolmeks rühmaks, millest igaühes on kolm kotti. Kaaluge kahte rühma. Nii saate teada, millises rühmas on kullakott. Nüüd vali grupist välja 2 kotti, milles on kindlasti kott kulda ja kaalu need ära.

27 tennisepalli

Seal on 27 tennisepalli. 26 kaalub sama palju, kuid 27. on veidi raskem. Kui suur on minimaalne kaalumiste arv topsikaalul, mis tagab raske palli üles leidmise?

Piisab, kui kasutada kaalu kolm korda. Jagage 27 palli 3 rühma, millest igaühes on 9 kuuli. Võrrelge kahte rühma - raske pall on rühmas, mis kaalub üles. Kui kaalud on saavutanud tasakaalu, siis on raske pall kolmandas rühmas. Seega määratleme 9 palli rühma, millest üks on soovitud. Jagage see rühm 3 alarühma, millest igaühel on kolm palli. Sarnaselt esimese sammuga võrrelge mis tahes kahe alarühma kaalu. Nüüd võrrelge kahte palli (kaks kolmest, mille hulgas peab kindlasti olema see, mida otsite).

Purustatud kaal

Kaupmees kukkus alla 40-naelise raskuse ja see purunes neljaks ebavõrdseks tükiks. Kui need osad ära kaaluti, selgus, et igaühe kaal (naelades) oli täisarv. Veelgi enam, neid osi saab kasutada mis tahes kaalu (mis esindab täisarvu) kaalumiseks kuni 40 naela pannikaalal. Kui palju iga osa kaalus?

Killud kaalusid: 1 naela, 3 naela, 9 naela ja 27 naela, kokku 40 naela.

Naelad kotis

Kotis on 24 kg naelu. Kuidas saab ilma raskusteta topsikaalul mõõta 9 kg naelu?

Üks võimalus: jaga 24 kg kaheks võrdseks 12 kg osaks, tasakaalustades need kaalul. Seejärel jaga 12 kg kaheks võrdseks 6 kg osaks. Pärast seda pange üks osa kõrvale ja jagage teine ​​samamoodi 3 kg suurusteks osadeks. Lõpuks lisage need 3 kg kuuekilosele osale. Tulemuseks on 9 kg naelu.

Kümme mütsi

Laual on kümme nummerdatud mütsi. Iga müts sisaldab kümmet kuldmünti. Üks müts sisaldab võltsitud münte. Päris münt kaalub 10 grammi ja võlts ainult 9. Abiks on kaal, mille skaala on grammides. Kuidas teha kindlaks, milline müts sisaldab võltsitud münte, kasutades kaalu ainult ühe kaalumise jaoks? Kaalud ei tohi kaaluda üle 750 grammi.

Esimesest mütsist võtame 1 mündi, teisest 2, kolmandast 3 jne. Me kaalume seda kõike ja lahutame tulemuse ideaalkaalust (meie puhul 55 × 10 = 550 grammi). Saadud number ühtib võltsitud müntide mütsi numbriga.

81 münti

Sama nimiväärtusega münti on 81. Üks neist on võltsitud ja see on kergem kui tõeline münt. Kuidas leida see münt, kasutades pannikaalal nelja kaalu?

Iga kord tuleb kogu müntide maht jagada 3 võrdseks hunnikuks ja kaaluda neist 2. Kui kuhjad on kaalult võrdsed, siis on soovitud münt kolmandas hunnikus, aga kui üks kahest hunnikust on heledam, siis on võltsitud münt selles. Järgmiseks tuleb leitud hunnik uuesti jagada 3 osaks ja kaaluda suvalised 2. Esimesel kaalumisel mõõdetakse hunnikutes 27 münti, teisel kaalumisel 9 mündi hunnikuid, kolmandal kaalumisel 3 mündi hunnikuid. mõõdetakse ja neljandal kaalumisel asetatakse üks münt.

Pusle kaalud

Kahel pildil on kaalud tasakaalus. Kui palju pirne tuleks teie arvates kasutada kuue apelsini tasakaalustamiseks kolmandal skaalal?

Esimene skaala näitab, et 2 õuna + 1 apelsin kaaluvad sama palju kui üks pirn. Teine skaala näitab, et 2 õuna + 2 apelsini = 6 õuna, s.o. 2 apelsini võrdub 4 õunaga või 1 apelsin = 2 õuna. Esimese ja teise skaala andmete põhjal leiame, et 1 pirn võrdub 4 õuna või 2 apelsiniga. Seega tasakaalustab 6 apelsini 3 pirni.

Kahel pildil on kaalud tasakaalus. Kui palju pirne tuleks teie arvates kasutada kahe õuna ja ühe apelsini tasakaalustamiseks?

Teise skaala andmete järgi on selge, et õun võrdub pirni ja apelsiniga. Kui asendame need andmed esimestel skaaladel, leiame, et kaks apelsini võrdub ühe apelsiniga ja kaks pirni, seega on üks apelsin võrdne kahe pirniga. Asendades teisel skaalal apelsini asemel kaks pirni, leiame, et õun võrdub kolme pirniga. Seega on kolmanda skaala tasakaalustamiseks vaja 8 pirni.

Kahel pildil on kaalud tasakaalus. Kui palju pirne peaks teie arvates kasutama kahe õuna ja kahe apelsini tasakaalustamiseks?

Esimesel skaalal on vaja puuvilju suurendada kolm korda, saate 12 pirni + 3 õuna = 15 apelsini. Teisel skaalal teame 3 õuna = 3 apelsini ja 6 pirni kaalu, esimesele kaalule tõstame need 3 õuna asemel. Saame: 18 pirni = 12 apelsini või 3 pirni = 2 apelsini. Järgmisena korrutage kaalud B 2-ga. Saame: 6 õuna = 6 apelsini + 12 pirni. Asendage 6 apelsini samaväärsega pirnides, saame: 6 õuna = 21 pirni või 2 õuna = 7 pirni. Seega 2 õuna + 2 apelsini = 7 pirni + 3 pirni = 10 pirni.

Mitu apelsini on vaja, et viimasel pildil olevad kaalud tasakaalustaksid? Kaupu saab tarnida ainult kaalu paremale küljele.

Kaalude tasakaalustamiseks vajate 5 apelsini.

Suhkur kottides

Seal on kaks kotti, üks tühi ja teine ​​sisaldab 9 kg suhkrut. Kuidas jaotada suhkrut kottidesse vahekorras 2 kg ühes kottis ja 7 kg teises kottis 3 kaalumisel, kasutades 50g ja 200g raskusi?

1. Suhkur on vaja kaaluda kottidesse 2 võrdseks osaks, igaüks 4,5 kg.

2. Jaga ühes kotis olev suhkur jälle pooleks, kumbki 2,25 kg, ja puista kottidesse (üks kott mahutab 2,25 kg ja teine ​​6,75 kg).

3. Kasutades kahte raskust kogukaaluga 250 g, eraldage 2,25 kg kotist 250 g suhkrut ja viige see teise kotti. Selle tulemusena on ühes kotis 7 kg, teises 2 kg suhkrut.

4 münti

Münte on 4, millest üks on võltsitud ja erineb ehtsatest kaalu poolest kas rohkem või vähem. Kuidas tuvastada võltsitud münti pärast 2 kaalumist tasskaalal?

Paneme kaalule mündid 1 ja 2: 1) kui need ei ole tasakaalus, siis eemalda teine ​​ja aseta kolmas oma kohale. Kui kaalud on tasakaalus, on münt 2 võltsitud. Kui kaalud ei ole tasakaalus, on münt 1 võlts. 2) kaalud on tasakaalus, siis eemaldame mündi 2 ja paneme mündi 3 asemele.

Kaks raskust

Seal on standardkaalud tassidega ja kahe raskusega: 10 ja 2 kg. Kuidas saate nendega 3 kg ploome kaaluda?

Esialgu kaalu 2 kg ploome. Seejärel jagame need võrdselt kaalude vahel, et kaalud oleksid tasakaalus. 1 kg ploome kätte saanud. Nimetage 1 kg ja 2 kg kaal, saate mõõta mis tahes soovitud koguse, sealhulgas 3 kg.

68 münti

Münte on 68, kõik erineva kaaluga. Kuidas leida 100 kaalust kõige kergem ja raskeim?

Kaalume kõik mündid paarikaupa, asetades kerged ühte hunnikusse, rasked teise, kokku 34 kaalumist. Esimesse hunnikusse kaalume kordamööda kõik mündid, millel on hetkel kõige heledam, s.t. kui leitakse kergem, siis sellega kaalutakse järgmised mündid ja nii 33 korda. Õige hunnikuga - sama asi, kuid tuvastame ainult kõige raskema mündi, samuti 33 kaalu. Kokku – täpselt 100 kaalumist.

Kahjustatud kaalud

100 identse välimusega mündi hulgas on mitu võltsitud mündi. Kõik võltsitud mündid kaaluvad sama, kõik päris mündid samamoodi ja võltsmünt on kergem kui päris. Olemas on ka kaalud (kahe kaussiga ilma osutita), igasse kaussi mahub ainult üks münt. Samas on kaal veidi kahjustatud: kui mündid on erineva kaaluga, kaalub raskem münt üles, aga kui need on samad, võib iga tass kaaluda. Kuidas leiate neid kaalusid kasutades vähemalt ühe võltsitud mündi?

Jagage mündid 33 hunnikusse, kus on 3 münti + 1 münt.

Kaalume iga kolmiku omavahel, saame 3 ebavõrdsust, mille tulemusena näeme, et iga münt kaalub üks kord vähem kui ülejäänud kaks või kaks korda vähem kui ülejäänud kaks.

1>2 (võimalikud on järgmised valikud: n=n, f=f, 2-fake)

1<3 (н=н, ф=ф, 1- фальшивка)

2>3 (n=n, f=f, 3-võlts)

see on võimalik, kui kõik kolm münti on omavahel sama kaaluga, st me paneme ühe neist kõrvale

1<2(н=н,ф=ф,1-ф)

1<3(н=н,ф=ф,1-ф)

2>3(n=n,f=f,3-f)

1 on tõenäolisemalt võlts, seega jätame selle kõrvale.

Ja me teeme seda iga 33 hunnikuga, mille tulemusena paneme kõrvale 11 +1 münti, mis ei sattunud ühtegi hunnikusse.

Jagame need 12 münti uuesti 4 hunnikuks, millest igaühes on 3 münti, teeme samad manipulatsioonid, mille tulemusena saame 4 münti, jagame need 1 hunnikuks + 1, heledamaks osutunud hunnikust jäetakse uuesti kõrvale. ja võrreldes ühe mündiga. See, mis on heledam, on vale.

80 münti

Seal on 80 münti, millest üks on võltsitud ja see on teistest kergem. Millisest minimaalsest kaalude arvust ilma kaaludeta kaalult leiate võltsitud mündi?

Võltsitud münti saab tuvastada 4 kaalumisel. Algoritm on järgmine. Esimene kaalumine: pane kaussidele 27 münti. Tasakaalu korral on vale ülejäänud 26 hulgas. Kui üks kauss on heledam, siis sellel lamajate seas on vale 27. Teine kaalumine: paneme mõlemale kausile 9 münti “kahtlusaluste” arvust. ja arutleda sarnaselt. Kolmandal kaalumisel paneme kaussidele 3 münti ja neljandas - igaüks ühe mündi. Nagu näete, ei jagata siin mitte pooleks, vaid võimalusel kolmeks võrdseks osaks.

Salvei

Kui riigi valitseja otsustas intelligentset meest heateo eest premeerida, tahtis ta võtta nii palju kulda, kui elevant kaalub. Aga kuidas sa elevanti kaalud? Tol ajal selliseid kaalusid polnud. Mida võiksite sellises olukorras välja mõelda?

Tark tegi seda: pani elevandi paati ja märkis siis veetaseme külje peale. Kui elevant paadist välja võeti, jäi üle vaid kuld sinna asetada.

Viis eset

Viis erineva raskusega eset tuleb järjestada nende kaalu kahanevas järjekorras. Kasutada saab ainult kõige lihtsamaid ilma raskusteta kaalusid, mis võimaldavad vaid määrata, kumb kahest võrreldavast objektist kaalult on raskem. Kuidas peaks toimima probleemi optimaalseks lahendamiseks ehk nii, et kaalumiste arv oleks minimaalne? Mitu kaalumist tuleb teha?

Esimesel kaalumisel võrreldakse kahte viiest antud elemendist. Olgu A kergem objekt ja B raskem objekt. Seejärel kirjutame esimese kaalumise tulemuse kujul A

Seejärel võrrelge kahte ülejäänud objekti ja tähistage kergem kui D ja raskem kui E: D

Tähistame viiendat üksust C.

Kolmas kaalumine on objektide B ja E võrdlemine. Mõlemad siin esile kerkivad võimalused viivad sarnaste arutlusteni, seega piirdume juhtumi B käsitlemisega.

Neljanda kaalumisega võrdleme viiendat objekti C objektiga B. Tuleb eristada kahte juhtumit:

a) B

b) C

Esimesel juhul (B

A

Võrdleme (selleks on vaja viiendat kaalumist) objekte C ja E. Siin tuleb ka eristada kahte võimalikku juhtumit: E

Kui A

Juhul A

Teisel juhul (C

A

Võrdleme punkte A ja C (viies kaalumine). Mõlemal võimalikul juhul (A

Kuna oleme kõik võimalikud juhtumid ammendanud, siis tõestus lõpeb siin.

Kaks kaalu

Seal on 9 identset münti, millest üks on võltsitud ja seetõttu heledam kui teised. Meil on kaks ilma raskuseta kaalu, mis võimaldavad võrrelda mis tahes mündirühma kaalu. Mõned saadaolevad kaalud on aga töötlemata, nad ei suuda eristada võltsitud münti ehtsast. Nende täpsus ei võimalda neil kaalu erinevusi tuvastada. Kuid teised kaalud on täpsed. Kuid millised kaalud on karmid ja millised täpsed, pole teada. Kuidas saate sellises olukorras tuvastada võltsitud mündi kolme kaalumise abil?

Paneme kaalule nr 1 iga tassi kohta neli münti. Kui üks müntide rühm kaalub üles, on ülejäänu selge - need kaalud on täpsed ja me teame 4 münti, millest üks on võltsitud. Kaalud olgu tasakaalus. Tähistame üheksanda mündi A-ga ja lisame sellele mündid B ja C – igast neljast üks. Ülejäänud kaks kolmikut münti panime kaalule nr 2. Halvim variant on jällegi tasakaal. Seejärel võrdleme skaalal nr 2 münte B ja C. Tasakaalu korral on münt A võltsitud.

2000 palli

Seal on 6 raskust kaaluga 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 g. Need on vastavalt märgistatud. Siiski on alust arvata, et raskuste märkimisel tehti üks viga. Kuidas teha kindlaks, kas raskuste märgised on õiged, kasutades tassi kaalul kahte kaalumist, kus saate võrrelda mis tahes raskusrühma raskusi?

Kaalu ühele pannile asetame raskused tähisega 1, 2 ja 3 g ning teisele 6 g Tasakaal tähendab, et viga märgistamisel on võimalik ainult rühmade 1-2-3 ja 4-5 piires. Teisel kaalumisel asetame ühele kausile raskused 3 ja 5 g ning teisele 6 ja 1 g Kui esimene kauss on ülekaaluline, siis märgistuses viga pole.

8 münti

Seal on 8 pealtnäha identset münti. Üks neist on võlts ja teadaolevalt kergem kui päris. Kuidas leida võltsitud münti, millel on pannikaalal vaid kaks kaalu?

Jagame mündid kolmeks 3, 3 ja 2 mündiga hunnikuks. Kaalume kolme mündiga vaiad. Kui kaal on sama, siis kaalume omavahel 2 münti kolmandast hunnikust ja tuvastame võltsitud (kergema). Kui üks kolmest mündist koosnev rühm on teisest heledam, siis on seal tegemist võltsitud mündiga. Jätame kolmest mündist koosneva kergema rühma ja paneme kaks münti kaalule ning jätkame eelmise algoritmi järgi: kui kaal on sama, siis kolmas on võlts ja kui mitte, siis kergem.

Saladini mõistatus

See lugu juhtus kaua aega tagasi, ristisõdade ajal. Moslemid võtsid ühe rüütlitest kinni ja astus nende juhi, sultan Saladini ette, kes teatas, et vabastab vangi ja tema hobuse, kui ta saab 100 tuhande kuldmündi suuruse lunaraha. "Oh, suurepärane Saladin," pöördus rüütel, kelle nimele ei kuulunud sentigi, "sa võtate viimse lootuse Minu kodumaal antakse targale ja leidlikule vangile võimalus vabaneda. Kui ta lahendab antud mõistatuse, vabastatakse ta kõigilt neljalt poolt, kui mitte, siis lunaraha summa kahekordistub!

"Olgu nii," vastas Saladin, kes ise armastas mõistatusi, "kuule nad annavad teile kaksteist kuldmünti ja kahe tassiga, kuid üks münt on võltsitud, kuid pole teada kergemad või raskemad kui need, mis on õiged, peate selle leidma vaid kolme kaaluga, kui te ei täida ülesannet enne hommikut. Kas sa saaksid välja?

12 münti tuleb jagada 4 hunnikuks, millest igaühes on 3 münti. Paneme kaalule 2 hunnikut (ükshaaval erinevatesse kaussidesse). Siis on võimalikud kaks juhtumit: 1) Kui kaalud ei ole tasakaalus, siis on võltsmünt ühes neist hunnikutest. Eemaldame kergema hunniku ja asetame selle asemele kolmanda. Kui kaal on tasakaalus, siis on võltsitud münt kaalult eemaldatud hunnikus. Kui kaalud ei ole tasakaalus, siis on võltsmünt raskemas hunnikus. (Seni on tehtud 2 kaalumist). 2) Kui kaal on pärast esimest kaalumist tasakaalus, siis eemalda kõik kuhjad ja aseta asemele kolmas. Kui kaalud on tasakaalus, siis on võltsmünt neljandas hunnikus. Kui kaalud ei ole tasakaalus, siis on võltsmünt kolmandas hunnikus. (Seni on tehtud 2 kaalumist). Pärast kolmest mündist koosneva hunniku leidmist teeme järgmiseks kindlaks, milline kolmest mündist on võltsitud: kolmandasse kaalu tuleb panna 2 münti ja kui need on tasakaalus, siis kolmas münt on võltsitud. Kui need ei ole tasakaalus, siis tuleb kergema mündi asemel panna kolmas. Kui kaal on tasakaalus, eemaldatakse võltsitud münt. Kui need ei ole tasakaalus, on raskem münt võltsitud.

20 naela teed

Kuidas kaaluda 20 naela teed 10 karpi, millest igaüks on 2 naela üheksa kaaluga, millel on ainult 5 ja 9 naela, kasutades tavalist tassikaalu?

1) Asetage kaalu ühele pannile 5-naelane ja teisele 9-naelane raskus. Seejärel tasakaalustage kaal, valades 4 naela teed 5-kilose raskusega kaussi.

2) Eemaldage kaalult raskused, jätke ühele pannile 4 naela ja tasakaalustage kaalud, valades teisele veel 4 naela.

3) Kaaluge uuesti 4 naela.

4) Ja jälle 4 naela. Seega on pärast nelja kaalumist ka ülejäänud osa 4 naela.

5-9) Jagage 4 naela pooleks, tasakaalustades kaalud.

101 münti

101 identse mündi hulgas on üks võltsitud ja kaalult erinev. Kuidas saab ilma raskusteta topsikaalu abil kahel kaalumisel kindlaks teha, kas võltsitud münt on kergem või raskem? Võltsitud münti pole vaja leida.

Me kaalume 50 ja 50 münti:

1) Võrdsus:

Võtame järelejäänud mündi ja paneme selle vasakpoolsesse hunnikusse ühe seal oleva asemel

1.1 Vasak hunnik on raskem => võltsitud münt on raskem

1.2 Vasak hunnik on heledam => võltsmünt on heledam

2) Ebavõrdsus:

Võtame raskema hunniku ja jagame selle kaheks 25 mündiliseks hunnikuks.

2.1 Kuhjade kaal on sama => võltsitud münt on kergem

2.2 Vaiade kaal ei ole sama => võltsitud münt on raskem

Parun Münchauseni probleem

Parun Münchausenil on kaheksa väliselt identset kaalu, mis kaaluvad 1 g, 2 g, 3 g, ..., 8 g. Ta mäletab, milline kaal kui palju kaalub, aga krahv skleroos ei usu teda. Kas parun suudab läbi viia ühe kaalumise tasskaalal, mille tulemusena selgub vähemalt ühe raskuse kaal üheselt?

7+8=1+2+3+4+5, 6 jääb alles.

2N münti

Nummerdatud münte on 2N ja: kõik pärismündid kaaluvad sama, kõik võltsmündid kaaluvad samuti sama, võltsmünt on heledam kui päris. mündid numbritega 1 kuni N on päris ja mündid numbritega N+1 kuni 2N on võltsitud. Nendest kahest väitest teab kohtunik ainult esimest ja ekspert teab mõlemat. Kuidas saab ekspert veenda kohtunikku teise väite õigsuses pärast kolme kaalumist ilma raskusteta topsikaaludel?

a: N = 7

b: N = 9

Ülesanne "a" pakuti välja ühel üleliidulisel matemaatikaolümpiaadil 1970. aastatel. Sellest ajast peale on N=7 (ja üldiselt K kaalumise puhul N=2^K-1) peetud parandamatuks. Ja ometi pole see nii. Parendamise (probleem "b") mõtles välja S. Tokarev 1997. aastal.

a) 1) Ekspert kaalub mündid 1 ja 8. (1 > 8)

Kohtunik on veendunud, et 8 on vale.

2) Ekspert kaalub 1+8 ja 9+10. (1+8 > 9+10)

Kohtunik on veendunud, et 9+10 on lihtsam kui üks võlts ja üks päris. Seetõttu järeldab ta, et nii 9 kui ka 10 on valed.

3) Ekspert kaalub 1+8+9+10 ja 11+12+13+14.

Samuti võib kohtunik teha otsuse kõigi müntide 11-14 kohta. Pange tähele, et vaja läheb täpselt ühte päris münti.

b) Eeltegevus: ekspert rühmitab mündid kolme hunnikusse: A (1, 2; 10, 11); B (3, 4, 5; 12, 13, 14); B (6, 7, 8, 9; 15, 16, 17, 18); Igas hunnikus on võrdne arv ehtsaid ja võltsitud münte, see on eksperdile teada, kuid see selgub kohtunikule kaalumise tulemusena.

1) Kaalu vasakpoolsele pannile asetatakse hunnikust A pärismündid ja hunnikust B võltsmündid ning paremale pannile asetatakse hunnikust A võltsmündid ja hunnikust B pärismündid. Parempoolne pann on vasakpoolsest raskem üks.

2) Ehtsad mündid hunnikust B ja võltsmündid hunnikust C asetatakse skaala vasakpoolsele pannile ning võltsmündid hunnikust B ja pärismündid hunnikust C parempoolne pann on raskem kui vasak üks.

3) Skaala vasakpoolsele pannile asetatakse hunnikust B pärismündid ning hunnikutest A ja B võltsitud mündid ning paremale pannile asetatakse hunnikust B võltsmündid ning hunnikust A ja B olevad ehtsad mündid vasakpoolsest raskem.

Tähistagu x päris- ja võltsmüntide kaalude erinevust hunnikus A, s.t. (1+2) -(10+11), y - sama vaia B puhul, see tähendab (3+4+5)-(12+13+14), z - (6+7+8+9)- (15+16+17+18).

Meie kaalumised tõestasid kohtunikule järgmist kolme ebavõrdsust:

y > x; z > y; x+y > z.

Kuna x,y,z on täisarvud, saab ranged võrratused asendada mitterangetega:

y >= x+1

z >= y+1

x+y >= z+1.

Seega: x+y >= y+2 => x >= 2;

x+y >= x+3 => y >= 3;

2z >= x+y+3 >= z+4 => z >= 4.

Teisest küljest on ilmne, et K tõelise mündi ja K tundmatu mündi erinevus ei saa olla suurem kui K ja võrdsus ilmneb ainult siis, kui kõik tundmatud mündid on võltsitud. See tõestab kõike, mida kohtunik vajab...

Pange tähele, et sel juhul pole vaja 9 päris münti! Kui palju neid tegelikult vaja on? mõtle...

Veelgi huvitavam probleem on nelja kaalumise puhul. Ülesande a) algoritm võimaldab eksperdil tõestada, et 15 münti on võltsitud. Tokarevi algoritmi üldistamine võimaldab meil seda hinnangut parandada 27-ni.

Dungeon Escape

Kuningas, tema poeg prints ja tütar printsess olid kõrge torni koopas. Nad kaalusid vastavalt 195, 105 ja 90 naela. Toit tõsteti neile kahes korvis, mis olid kinnitatud pika köie otstesse. Köis visati üle katuse enda alla sõidetud tala. Selgus, et kui üks korv oli maas, siis teine ​​oli vangide kambris akna kõrgusel. Need korvid jäid ainsaks päästelootuseks. Loomulikult vajus see kohe, kui üks korv teisest raskemaks muutus. Kui aga kaalu erinevus ületaks 15 naela, langeks korv järsult allapoole. Ainus, mis vangidel vangistusest põgeneda aitas, oli kambris olnud 75-naelane kahurikuul – seda võis proovida kasutada vastukaaluna. Kuidas õnnestus vangidel põgeneda?

1. Printsess laskub alla, kasutades vastukaaluks kahurikuuli.

2. Printsess, jõudnud maapinnale, ei tule korvist välja. Prints võtab tuuma asemele ja laskub alla, kasutades printsessi vastukaaluks.

3. Printsess tõuseb püsti ja paneb koos kuningaga kahurikuuli korvi.

4. Prints istub langetatud korvis koos kahurikuuliga, mis võimaldab kuningat alla lasta.

5. Kui kuningas on maas, on kahurikuuliga prints peal. Prints pääseb korvist välja ja kahurikuuliga korv läheb alla.

6. Printsess istub tühja korvi kongi lähedal ja laskub maapinnale.

7. Prints tõmbab kahurikuuli ülestõstetud korvist välja ja laskub ise alla, kasutades printsessi vastukaaluks.

8. Printsess laseb tühjas korvis kahurikuuli alla ning ta istub ülestõstetud korvi ja laskub alla, kasutades vastukaaluks kahurikuuli.

1999. aasta mündid

Seal on 1999. aasta müntide komplekt. Teadaolevalt on neist 1410 võltsitud. Võltsitud münt erineb ehtsast kaalult 1 grammi võrra ning mõned võltsmündid võivad olla ehtsast kergemad ja teised raskemad. Meil on tasskaalud, mis näitavad kaalu erinevust. Kuidas määrata ühe kaalumise käigus komplektist mis tahes mündi ehtsust?

Kaalume kõik mündid peale selle ja vaatame kaalu erinevust. Tähistame tavalise mündi kaaluks N, siis kõik mündid kaaluvad kas 1998*N+2x (kus 0=<705) - в данном случае наша монета настоящая, либо 1998*N+(2x-1) (где 0=<705) - в этом случае наша монета фальшивая.