ពីវគ្គសិក្សាសរសេរកម្មវិធី យើងដឹងថាចំនួនគត់អាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងអង្គចងចាំកុំព្យូទ័រតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា ជាពិសេស ការតំណាងនេះអាស្រ័យលើរបៀបដែលវាត្រូវបានពិពណ៌នា៖ ជាតម្លៃនៃចំនួនគត់ប្រភេទ ឬពិត ឬខ្សែអក្សរ។ លើសពីនេះទៅទៀត នៅក្នុងភាសាសរសេរកម្មវិធីភាគច្រើនចំនួនគត់ត្រូវបានយល់ថាជាលេខពីជួរដែលមានកម្រិតខ្លាំង៖ ករណីធម្មតាគឺចាប់ពី -2 15 = -32768 ដល់ 2 15 - 1 = 32767 ។ ប្រព័ន្ធ ពិជគណិតកុំព្យូទ័រដោះស្រាយជាមួយចំនួនគត់ធំ ជាពិសេស ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចគណនា និងបង្ហាញលេខនៃទម្រង់ 1000 ជាសញ្ញាទសភាគ! (ច្រើនជាងមួយពាន់តួអក្សរ) ។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានេះ យើងនឹងពិចារណាពីតំណាងនៃចំនួនគត់ក្នុងទម្រង់ជានិមិត្តសញ្ញា ហើយនឹងមិនលម្អិតអំពីចំនួនអង្គចងចាំដែលត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ការកត់ត្រាតួអក្សរមួយ (ប៊ីត បៃ ឬផ្សេងទៀត)។ ទូទៅបំផុតគឺតំណាងឱ្យចំនួនគត់នៅក្នុង ប្រព័ន្ធលេខទីតាំង. ប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយជម្រើសនៃមូលដ្ឋានលេខឧទាហរណ៍ 10 ។ សំណុំនៃចំនួនគត់ទសភាគជាធម្មតាត្រូវបានពិពណ៌នាដូចខាងក្រោមៈ

និយមន័យជាលាយលក្ខណ៍អក្សរនៃចំនួនគត់ផ្តល់នូវតំណាងមិនច្បាស់លាស់នៃចំនួននីមួយៗ ហើយនិយមន័យស្រដៀងគ្នា (ប្រហែលជាមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា) ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងប្រព័ន្ធភាគច្រើន។ ពិជគណិតកុំព្យូទ័រ. ដោយប្រើតំណាងនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើចំនួនគត់។ ជាងនេះទៅទៀត ការបូក និងដកគឺជាប្រតិបត្តិការ "ថោក" ខណៈពេលដែលការគុណ និងចែកគឺ "ថ្លៃ"។ នៅពេលវាយតម្លៃភាពស្មុគស្មាញនៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ អ្នកគួរតែគិតគូរទាំងតម្លៃនៃប្រតិបត្តិការបឋម (លេខមួយខ្ទង់) និងចំនួនប្រតិបត្តិការលេខមួយខ្ទង់ ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការណាមួយលើលេខច្រើនខ្ទង់។ ភាពស្មុគស្មាញនៃការគុណនិងការបែងចែកគឺដោយសារតែជាដំបូងចំពោះការពិតដែលថានៅពេលដែលប្រវែងនៃចំនួនកើនឡើង (ការកត់ត្រារបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខណាមួយ) ចំនួននៃប្រតិបត្តិការបឋមកើនឡើងយោងទៅតាមច្បាប់បួនជ្រុងផ្ទុយទៅនឹងលីនេអ៊ែរ។ ច្បាប់សម្រាប់ការបូកនិងដក។ លើសពីនេះ អ្វីដែលយើងជាធម្មតាហៅថាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការបែងចែកលេខច្រើនខ្ទង់ គឺពិតជាផ្អែកលើការស្វែងរក (ជាញឹកញាប់ណាស់) នៃខ្ទង់បន្ទាប់ដែលអាចមាននៃកូតានិក ហើយវាមិនគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកលេខតែមួយខ្ទង់នោះទេ។ លេខ។ ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធលេខមានទំហំធំ (ជាញឹកញាប់វាអាចស្ថិតនៅលើលំដាប់លេខ 2 30) វិធីសាស្ត្រនេះមិនមានប្រសិទ្ធភាពទេ។

ទុកជាលេខធម្មជាតិ (សរសេរក្នុងប្រព័ន្ធទសភាគ)។ ដើម្បីទទួលបានកំណត់ត្រារបស់គាត់។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខ -ary អ្នកអាចប្រើក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម (តំណាងឱ្យផ្នែកចំនួនគត់នៃលេខ)៖

ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ A-លេខធម្មជាតិនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខទសភាគ k > 1-natural number ត្រូវការ៖ A-recording of the number A in the k-ary number system start i:= 0 cycle រហូតដល់ A > 0 bi:= A (mod k ) A:= i:= i + 1 end of cycle dA:= i - 1 end

ដើម្បីស្ដារលេខទសភាគពីលំដាប់នៃសញ្ញា k-ary របស់វា ក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖

ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ k > 1- លំដាប់លេខធម្មជាតិនៃខ្ទង់ដែលតំណាងឱ្យលេខ A ក្នុងប្រព័ន្ធ k-ary ត្រូវការ៖ ការកត់ត្រាចំនួន A នៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខទសភាគ ចាប់ផ្តើម A:= 0 វដ្តរហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃលំដាប់ b:= ធាតុបន្ទាប់នៃលំដាប់ A:= A * k + b ចុងបញ្ចប់នៃរង្វិលជុំ End

១.២. លំហាត់ប្រាណ។ ពន្យល់ពីមូលហេតុដែលការបែងចែកត្រូវបានប្រើដើម្បីបំប្លែងលេខពីប្រព័ន្ធទសភាគទៅជាប្រព័ន្ធ k-ary ហើយការគុណត្រូវបានប្រើដើម្បីបំប្លែងពីប្រព័ន្ធ k-ary ទៅប្រព័ន្ធទសភាគ។

ដោយគុណនឹង "ជួរឈរ" លេខពីរខ្ទង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខទសភាគ យើងធ្វើប្រតិបត្តិការដូចខាងក្រោម៖

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

i.e. ប្រតិបត្តិការ 4 នៃការគុណនៃលេខមួយខ្ទង់ ប្រតិបត្តិការ 3 នៃការបូក និង 2 ប្រតិបត្តិការនៃការគុណដោយថាមពលនៃរ៉ាឌីក ដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការផ្លាស់ប្តូរមួយ។ នៅពេលវាយតម្លៃភាពស្មុគស្មាញ អ្នកអាចយកទៅពិចារណានូវប្រតិបត្តិការបឋមទាំងអស់ ដោយមិនចាំបាច់បែងចែកវាដោយទម្ងន់ (ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានប្រតិបត្តិការបឋមចំនួន 9)។ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះបញ្ហានៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពនៃក្បួនដោះស្រាយត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីកាត់បន្ថយចំនួនសរុបនៃប្រតិបត្តិការបឋម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាការគុណគឺជាប្រតិបត្តិការ "ថ្លៃជាង" ជាងការបូក ដែលវា "ថ្លៃជាង" ជាងការផ្លាស់ប្តូរ។ ដោយពិចារណាតែប្រតិបត្តិការថ្លៃបំផុត យើងទទួលបាននោះ។ ពហុគុណការលំបាកក្នុងការគុណលេខពីរខ្ទង់ក្នុងជួរឈរគឺ 4 ។

ផ្នែកទី 5 ពិភាក្សាអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការគណនាការបែងចែកទូទៅធំបំផុត និងប៉ាន់ស្មានភាពស្មុគស្មាញរបស់ពួកគេ។

តំណាងដែលត្រូវបានពិចារណាមិនមែនជាតំណាង canonical តែមួយគត់នៃចំនួនគត់ទេ។ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយ ដើម្បីជ្រើសរើសតំណាង canonical អ្នកអាចប្រើភាពប្លែកនៃការរលួយនៃចំនួនធម្មជាតិទៅជាកត្តាសំខាន់។ តំណាងនៃចំនួនគត់នេះអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងកិច្ចការទាំងនោះដែលមានតែប្រតិបត្តិការគុណ និងចែកប៉ុណ្ណោះ ព្រោះវាក្លាយទៅជា "ថោក" ប៉ុន្តែតម្លៃនៃប្រតិបត្តិការបូក និងដកកើនឡើងមិនសមាមាត្រ ដែលរារាំងការប្រើប្រាស់តំណាងបែបនេះ។ នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួន ការបោះបង់ចោលតំណាង canonical ផ្តល់នូវការទទួលបានយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការអនុវត្ត ជាពិសេស កត្តាមួយផ្នែកនៃលេខអាចត្រូវបានប្រើ។ វិធីសាស្ត្រស្រដៀងគ្នានេះមានប្រយោជន៍ជាពិសេសនៅពេលធ្វើការជាមួយលេខ ប៉ុន្តែជាមួយពហុនាម។

ប្រសិនបើគេដឹងថាក្នុងអំឡុងពេលប្រតិបត្តិការនៃកម្មវិធី រាល់ចំនួនគត់ដែលជួបប្រទះក្នុងការគណនាត្រូវបានកំណត់ក្នុងតម្លៃដាច់ខាតដោយចំនួនថេរដែលបានផ្តល់ឱ្យ បន្ទាប់មកដើម្បីកំណត់លេខបែបនេះ អ្នកអាចប្រើប្រព័ន្ធសំណល់នៃម៉ូឌុលលេខ coprime មួយចំនួន ផលិតផលដែលលើសពី ថេរដែលបានរៀបរាប់។ ការគណនាជាមួយថ្នាក់សំណល់ ជាទូទៅលឿនជាងលេខនព្វន្ធភាពជាក់លាក់ច្រើន។ ហើយជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ នព្វន្ធភាពជាក់លាក់ច្រើនគួរប្រើតែនៅពេលបញ្ចូល ឬបញ្ចេញព័ត៌មានប៉ុណ្ណោះ។

ចំណាំថា រួមជាមួយនឹងការតំណាង canonical នៅក្នុងប្រព័ន្ធ ពិជគណិតកុំព្យូទ័រតំណាងផ្សេងទៀតក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរ។ ជាពិសេស វាជាការចង់បានដែលវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃសញ្ញា "+" នៅពីមុខចំនួនគត់ មិនប៉ះពាល់ដល់ការយល់ឃើញរបស់កុំព្យូទ័រចំពោះវា។ ដូច្នេះ សម្រាប់លេខវិជ្ជមាន តំណាងមិនច្បាស់លាស់មួយត្រូវបានទទួល ទោះបីជាទម្រង់នៃលេខអវិជ្ជមានត្រូវបានកំណត់តែមួយក៏ដោយ។

តម្រូវការមួយទៀតគឺថាការយល់ឃើញនៃលេខមិនគួរត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយវត្តមាននៃលេខសូន្យមុនខ្ទង់សំខាន់ដំបូងឡើយ។

១.៣. លំហាត់។

1. ប៉ាន់ប្រមាណចំនួននៃការគុណលេខមួយខ្ទង់ដែលប្រើនៅពេលគុណលេខ m ខ្ទង់ដោយជួរឈរ n ខ្ទង់។
2. បង្ហាញថាលេខពីរខ្ទង់អាចត្រូវបានគុណដោយប្រើតែ 3 ខ្ទង់តែមួយ និងបង្កើនចំនួននៃការបន្ថែម។
3. ស្វែងរក​ក្បួនដោះស្រាយ​សម្រាប់​បែងចែក​លេខ​វែង​ដែល​មិន​ត្រូវការ​ការ​ស្វែងរក​ច្រើន​នៅពេល​ស្វែងរក​ខ្ទង់ទីមួយ​នៃ​កូតា។
4. ពិពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បំប្លែងលេខធម្មជាតិពីប្រព័ន្ធលេខ m-ary ទៅប្រព័ន្ធលេខ n-ary ។
5. IN លេខរ៉ូម៉ាំងនិមិត្តសញ្ញាខាងក្រោមត្រូវបានប្រើដើម្បីសរសេរលេខ៖ ខ្ញុំ - មួយ, V - ប្រាំ, X - ដប់, L - ហាសិប, C - មួយរយ, D - ប្រាំរយ, M - ពាន់។ និមិត្តសញ្ញាមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាអវិជ្ជមានប្រសិនបើមាននិមិត្តសញ្ញានៃលេខធំជាងនៅខាងស្តាំរបស់វា ហើយជាវិជ្ជមានបើមិនដូច្នេះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ លេខ 1948 នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះនឹងត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖ MCMXLVIII ។ បង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បំប្លែងលេខពីរ៉ូម៉ាំងទៅជាទសភាគ និងថយក្រោយ។ អនុវត្ត​ក្បួន​ដោះស្រាយ​លទ្ធផល​ជា​ភាសា​ក្បួន​ដោះស្រាយ​មួយ (ឧទាហរណ៍ C)។ ដែនកំណត់លើទិន្នន័យប្រភព៖ ១<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. បង្កើតក្បួនដោះស្រាយ និងសរសេរកម្មវិធីសម្រាប់បន្ថែមលេខធម្មជាតិក្នុងលេខរ៉ូម៉ាំង។
7. យើងនឹងនិយាយថាយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយប្រព័ន្ធលេខ មូលដ្ឋានលាយឬវ៉ិចទ័រប្រសិនបើយើងផ្តល់វ៉ិចទ័រនៃលេខធម្មជាតិ M = (m 1 , ... , m n) (radix) និងសញ្ញាសម្គាល់ K = (k 0 , k 1 , ... , k n) តំណាងឱ្យលេខ k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +···+m n·k n)...)). សរសេរកម្មវិធីដែលផ្អែកលើទិន្នន័យ (ថ្ងៃនៃសប្តាហ៍ ម៉ោង នាទី វិនាទី) កំណត់ថាតើប៉ុន្មានវិនាទីបានកន្លងផុតទៅចាប់តាំងពីដើមសប្តាហ៍ (ថ្ងៃច័ន្ទ 0, 0, 0) = 0និងអនុវត្តការបំប្លែងបញ្ច្រាស។

ទីភ្នាក់ងារសហព័ន្ធសម្រាប់ការអប់រំ

ស្ថាប័នអប់រំរដ្ឋនៃការអប់រំវិជ្ជាជីវៈខ្ពស់។

សាកលវិទ្យាល័យមនុស្សធម៌រដ្ឋ Vyatka

មហាវិទ្យាល័យគណិតវិទ្យា

នាយកដ្ឋានវិភាគ និងវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា
បង្រៀនគណិតវិទ្យា

ការងារជម្រុះចុងក្រោយ

លើប្រធានបទ៖ ចិញ្ចៀនចំនួនគត់ Gaussian ។

បានបញ្ចប់៖

និស្សិតឆ្នាំទី ៥

មហាវិទ្យាល័យគណិតវិទ្យា

Gnusov V.V.

___________________________

អ្នកគ្រប់គ្រងវិទ្យាសាស្ត្រ៖

សាស្ត្រាចារ្យជាន់ខ្ពស់នៃនាយកដ្ឋាន

ពិជគណិត និងធរណីមាត្រ

Semenov A.N.

___________________________

អ្នកវាយតម្លៃ៖

បេក្ខជនរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា វិទ្យាសាស្រ្ត, សាស្ត្រាចារ្យរង

នាយកដ្ឋានពិជគណិត និងធរណីមាត្រ

Kovyazina E.M.

___________________________

ចូល​ខ្លួន​ទៅ​ការពារ​នៅ​គណៈកម្មការ​បញ្ជាក់​រដ្ឋ

ក្បាល នាយកដ្ឋាន________________ Vechtomov E.M.

« »________________

ព្រឹទ្ធបុរសនៃមហាវិទ្យាល័យ __________________ Varankina V.I.

សេចក្តីផ្តើម។

រង្វង់នៃចំនួនគត់ស្មុគស្មាញ

ត្រូវបានរកឃើញដោយ Carl Gauss ហើយដាក់ឈ្មោះថា Gaussian ក្នុងកិត្តិយសរបស់គាត់។

K. Gauss បានមកដល់គំនិតនៃលទ្ធភាពនិងភាពចាំបាច់នៃការពង្រីកគំនិតនៃចំនួនគត់ក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងការស្វែងរកក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការប្រៀបធៀបនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ។ គាត់បានផ្ទេរគំនិតនៃចំនួនគត់ទៅជាលេខនៃទម្រង់

ដែលជាកន្លែងដែលជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត និងជាឫសគល់នៃសមីការ នៅលើសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ K. Gauss គឺជាអ្នកដំបូងគេដែលបង្កើតទ្រឹស្តីនៃការបែងចែក ដែលស្រដៀងទៅនឹងទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកចំនួនគត់។ គាត់បានបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃការបែងចែក; បានបង្ហាញថានៅក្នុងរង្វង់នៃចំនួនកុំផ្លិចមានតែធាតុបញ្ច្រាសចំនួនបួនប៉ុណ្ណោះ៖ ; បានបង្ហាញសុពលភាពនៃទ្រឹស្តីបទលើការបែងចែកជាមួយនៅសល់ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពឯកោនៃកត្តាកត្តា; បានបង្ហាញថាលេខធម្មជាតិណាដែលសំខាន់នឹងនៅតែជាលេខសំខាន់នៅក្នុងសង្វៀន។ បានរកឃើញធម្មជាតិនៃចំនួនគត់សាមញ្ញ និងចំនួនកុំផ្លិច។

ទ្រឹស្ដីដែលបង្កើតឡើងដោយ K. Gauss ដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងការងាររបស់គាត់ ការសិក្សានព្វន្ធ គឺជារបកគំហើញជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ទ្រឹស្តីលេខ និងពិជគណិត។

គោលដៅខាងក្រោមត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងការងារចុងក្រោយ៖

1. បង្កើតទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកនៅក្នុងរង្វង់នៃលេខ Gaussian ។

2. ស្វែងយល់ពីធម្មជាតិនៃលេខ Gaussian សំខាន់ៗ។

3. បង្ហាញការប្រើប្រាស់លេខ Gaussian ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា Diophantine ធម្មតា។

ជំពូកទី 1. ការបែងចែកនៅក្នុងរង្វង់នៃលេខហ្គាស។

ចូរយើងពិចារណាសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃចំនួនពិត សំណុំរងជាក់លាក់នៃចំនួនគត់អាចត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងវា។ សំណុំលេខនៃទម្រង់

, កន្លែងណា ចូរហៅពួកគេថាចំនួនគត់ស្មុគស្មាញ ឬលេខ Gaussian ។ វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថា axioms ring សម្រាប់សំណុំនេះ។ ដូច្នេះសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចនេះគឺជាចិញ្ចៀនមួយហើយត្រូវបានគេហៅថា ring នៃចំនួនគត់ Gaussian . អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់វាជា ព្រោះវាគឺជាការបន្ថែមនៃចិញ្ចៀនដោយធាតុ: .

ដោយសាររង្វង់នៃលេខ Gaussian គឺជាសំណុំរងនៃចំនួនកុំផ្លិច និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃចំនួនកុំផ្លិចគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់វា។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍សម្រាប់លេខ Gaussian នីមួយៗ

ត្រូវគ្នាទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលមានការចាប់ផ្តើមនៅចំណុចមួយ និងចុងបញ្ចប់នៅ . អាស្រ័យហេតុនេះ ម៉ូឌុល មានលេខ Gaussian ។ ចំណាំថានៅក្នុងសំណុំដែលកំពុងពិចារណា កន្សោម submodular តែងតែជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះក្នុងករណីខ្លះវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើ បទដ្ឋាន នោះគឺជាការ៉េនៃម៉ូឌុល។ ដូច្នេះ។ លក្ខណៈដូចខាងក្រោមនៃបទដ្ឋានអាចត្រូវបានសម្គាល់។ សម្រាប់លេខ Gaussian ណាមួយខាងក្រោមគឺពិត៖ (1) (2) (3) (4) (5) - សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ នោះគឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។

សុពលភាពនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងខ្លីដោយប្រើម៉ូឌុល។ ក្នុងការឆ្លងកាត់ យើងកត់សំគាល់ថា (2), (3), (5) ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចដែរ។

ចិញ្ចៀននៃលេខ Gaussian គឺជារង្វង់ដែលផ្លាស់ប្តូរដោយគ្មានការបែងចែក 0 ព្រោះវាជាផ្នែករងនៃវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច។ នេះបង្កប់ន័យការចុះកិច្ចសន្យាពហុគុណនៃចិញ្ចៀន

នោះគឺ (6)

1.1 ធាតុបញ្ច្រាសនិងសម្ព័ន្ធមិត្ត។

តោះមើលថាលេខ Gaussian មួយណានឹងដាក់បញ្ច្រាស។ ពហុគុណគឺអព្យាក្រឹត

. ប្រសិនបើលេខ Gaussian អាចបញ្ច្រាស់បាន។ ដូច្នេះ តាមនិយមន័យ វាមានដូចនោះ។ ឆ្ពោះទៅរកបទដ្ឋានយោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិ 3 យើងទទួលបាន។ ប៉ុន្តែបទដ្ឋានទាំងនេះគឺធម្មជាតិ។ នេះមានន័យថាដោយទ្រព្យសម្បត្តិ 4, ។ ផ្ទុយទៅវិញ ធាតុទាំងអស់នៃសំណុំនេះគឺមិនបញ្ច្រាស់ចាប់តាំងពី . ដូច្នេះ លេខដែលមានបទដ្ឋានស្មើនឹងមួយនឹងមិនអាចបញ្ច្រាស់បាន ពោលគឺ , .

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមិនមែនលេខ Gaussian ទាំងអស់នឹងដាក់បញ្ច្រាសទេ។ ដូច្នេះវាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការពិចារណាពីបញ្ហានៃការបែងចែក។ ដូច​ធម្មតា​យើង​និយាយ​អ៊ីចឹង

ភាគហ៊ុន on ប្រសិនបើ​មាន​ដូច​នោះ សម្រាប់​លេខ Gaussian ណាមួយ ក៏ដូចជា​លេខ​បញ្ច្រាស​នោះ លក្ខណៈសម្បត្តិ​មាន​សុពលភាព។ (7) (8) (9) (10) ដែលជាកន្លែងដែល (11) (12)

ពិនិត្យយ៉ាងងាយស្រួល (8), (9), (11), (12) ។ យុត្តិធម៍ (៧) មកពី (២) និង (១០) បន្តពី (៦)។ ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិ (៩) ធាតុនៃសំណុំ

លេខធម្មជាតិមិនមែនជារង្វង់ទេព្រោះ 0 មិនមែនជាលេខធម្មជាតិ ហើយសម្រាប់លេខធម្មជាតិក៏មិនមានអ្វីផ្ទុយពីធម្មជាតិដែរ។ រចនាសម្ព័ន្ធដែលបង្កើតឡើងដោយលេខធម្មជាតិត្រូវបានគេហៅថា ចិញ្ចៀនពាក់កណ្តាល។កាន់តែច្បាស់,

ចិញ្ចៀនពាក់កណ្តាលត្រូវបានគេហៅថាជាក្រុមពាក់កណ្តាលផ្លាស់ប្តូរទាក់ទងនឹងការបូក និងក្រុមពាក់កណ្តាលដែលទាក់ទងនឹងការគុណ ដែលប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងគុណត្រូវបានទាក់ទងដោយច្បាប់ចែកចាយ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងណែនាំនិយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃចំនួនគត់ និងបញ្ជាក់អំពីសមមូលរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើគំនិតអំពីរចនាសម្ព័ន្ធពិជគណិត និងការពិតដែលថាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិគឺជា semiring ប៉ុន្តែមិនមែនជាចិញ្ចៀនទេ យើងអាចណែនាំនិយមន័យដូចខាងក្រោមៈ

និយមន័យ ១.ចិញ្ចៀនចំនួនគត់គឺជាចិញ្ចៀនតូចបំផុតដែលមាន semiring នៃលេខធម្មជាតិ។

និយមន័យនេះមិននិយាយអ្វីអំពីរូបរាងនៃលេខបែបនេះទេ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សា ចំនួនគត់ត្រូវបានកំណត់ជាលេខធម្មជាតិ លេខផ្ទុយ និង 0។ និយមន័យនេះក៏អាចត្រូវបានគេយកជាមូលដ្ឋានសម្រាប់បង្កើតនិយមន័យដ៏តឹងរឹងមួយ។

និយមន័យ ២.ចិញ្ចៀននៃចំនួនគត់គឺជាចិញ្ចៀនដែលធាតុរបស់វាជាលេខធម្មជាតិ លេខផ្ទុយ និង 0 (ហើយមានតែពួកវាប៉ុណ្ណោះ)។

ទ្រឹស្តីបទ ១. និយមន័យ 1 និង 2 គឺសមមូល។

ភស្តុតាង៖ ចូរយើងកំណត់ដោយ Z 1 ចិញ្ចៀននៃចំនួនគត់ក្នុងន័យនៃនិយមន័យ 1 និងដោយ Z 2 ចិញ្ចៀននៃចំនួនគត់ក្នុងន័យនៃនិយមន័យ 2។ ដំបូងយើងបង្ហាញថា Z 2 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង Z 1 ។ ជាការពិតធាតុទាំងអស់នៃ Z 2 គឺជាលេខធម្មជាតិ (ពួកវាជារបស់ Z 1 ចាប់តាំងពី Z 1 មានពាក់កណ្តាលនៃលេខធម្មជាតិ) ឬផ្ទុយគ្នា (ពួកវាក៏ជារបស់ Z 1 ផងដែរចាប់តាំងពី Z 1 គឺជាចិញ្ចៀនដែលមានន័យថាសម្រាប់ ធាតុនីមួយៗនៃចិញ្ចៀននេះគឺផ្ទុយគ្នា ហើយសម្រាប់រាល់លេខធម្មជាតិ n О Z 1, –n ក៏ជារបស់ Z 1) ឬ 0 (0 О Z 1 ចាប់តាំងពី Z 1 គឺជាចិញ្ចៀនមួយ ហើយនៅក្នុងចិញ្ចៀនណាមួយមាន 0) ដូច្នេះធាតុណាមួយពី Z 2 ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Z 1 ដែលមានន័យថា Z 2 Í Z 1 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត Z 2 មាន ​​semiring នៃលេខធម្មជាតិ ហើយ Z 1 គឺជាចិញ្ចៀនតិចតួចដែលមានលេខធម្មជាតិ ពោលគឺវាមិនអាចមាន មួយទៀតចិញ្ចៀនដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ។ ប៉ុន្តែយើងបានបង្ហាញថាវាមាន Z 2 ដែលមានន័យថា Z 1 = Z 2 ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

និយមន័យ ៣.ចិញ្ចៀននៃចំនួនគត់គឺជាចិញ្ចៀនដែលធាតុទាំងអស់គឺជាធាតុដែលអាចធ្វើបាន តំណាងឱ្យភាពខុសគ្នា b – a (ដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ចំពោះសមីការ a + x = b) ដែល a និង b គឺជាលេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត។

ទ្រឹស្តីបទ ២. និយមន័យ 3 គឺស្មើនឹងពីរមុន។

ភស្តុតាង៖ ចូរយើងសម្គាល់ដោយ Z 3 ចិញ្ចៀននៃចំនួនគត់ក្នុងន័យនៃនិយមន័យ 3 និងដោយ Z 1 = Z 2 ដូចពីមុន ចិញ្ចៀននៃចំនួនគត់ក្នុងន័យនិយមន័យ 1 និង 2 (សមភាពរបស់ពួកគេត្រូវបានបង្កើតឡើងរួចហើយ)។ ដំបូងយើងបង្ហាញថា Z 3 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង Z 2 ។ ជាការពិតណាស់ ធាតុទាំងអស់នៃ Z 3 អាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នាមួយចំនួននៃលេខធម្មជាតិ b – a ។ សម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងពីរ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ trichotomy ជម្រើសបីគឺអាចធ្វើទៅបាន៖

ក្នុង​ករណី​នេះ ភាព​ខុស​គ្នា b – ហើយ​ក៏​ជា​លេខ​ធម្មជាតិ​ផង​ដែរ ដូច្នេះ​ជា​របស់ Z 2 ។

ក្នុងករណីនេះ យើងបង្ហាញពីភាពខុសគ្នានៃធាតុស្មើគ្នាពីរដោយនិមិត្តសញ្ញា 0។ ចូរយើងបង្ហាញថានេះពិតជាសូន្យនៃចិញ្ចៀន នោះគឺជាធាតុអព្យាក្រឹតទាក់ទងនឹងការបន្ថែម។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងប្រើនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នា a – a = x ó a = a + x ហើយបង្ហាញថា b + x = b សម្រាប់ b ធម្មជាតិណាមួយ។ ដើម្បីបញ្ជាក់វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមធាតុ b ទៅផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃសមភាព a = a + x ហើយបន្ទាប់មកប្រើច្បាប់នៃការកាត់បន្ថយ (សកម្មភាពទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិដែលគេស្គាល់នៃចិញ្ចៀន)។ សូន្យជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Z 2 ។

ក្នុងករណីនេះ ភាពខុសគ្នា a – b គឺជាលេខធម្មជាតិ យើងបញ្ជាក់

b – a = – (a – b) ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ធាតុ a – b និង b – a គឺពិតជាផ្ទុយគ្នា ពោលគឺពួកវាបូកនឹងសូន្យ។ តាមពិតប្រសិនបើយើងសម្គាល់ a – b = x, b – a = y នោះយើងទទួលបាន a = b + x, b = y + a ។ ការបន្ថែមសមភាពដែលទទួលបានតាមពាក្យ និងកាត់បន្ថយ b យើងទទួលបាន a = x + y + a នោះគឺ x + y = a – a = 0 ។ ដូច្នេះ a – b = – (b – a) គឺផ្ទុយពី លេខធម្មជាតិ នោះគឺវាជាកម្មសិទ្ធិ Z2 ម្តងទៀត។ ដូច្នេះ Z 3 Í Z 2 ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត Z 3 មាន semiring នៃលេខធម្មជាតិ ចាប់តាំងពីលេខធម្មជាតិណាមួយ n តែងតែអាចត្រូវបានតំណាងជា

n = n / – 1 О Z 3 ,

ដែលមានន័យថា Z 1 Í Z 3 ចាប់តាំងពី Z 1 គឺជាចិញ្ចៀនតិចតួចដែលមានលេខធម្មជាតិ។ ដោយប្រើការពិតដែលបានបញ្ជាក់រួចហើយថា Z 2 = Z 1 យើងទទួលបាន Z 1 = Z 2 = Z 3 ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទោះបីជានៅក្រឡេកមើលដំបូងវាហាក់ដូចជាមិនមាន axioms នៅក្នុងនិយមន័យដែលបានរាយបញ្ជីនៃចំនួនគត់ និយមន័យទាំងនេះគឺ axiomatic ចាប់តាំងពីនិយមន័យទាំងបីនិយាយថាសំណុំនៃចំនួនគត់គឺជាចិញ្ចៀនមួយ។ ដូច្នេះ axioms នៅក្នុងទ្រឹស្តី axiomatic នៃចំនួនគត់ គឺជាលក្ខខណ្ឌពីនិយមន័យនៃ ring មួយ។

ចូរយើងបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តី axiomatic នៃចំនួនគត់គឺស្រប. ដើម្បីបញ្ជាក់ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតគំរូនៃរង្វង់នៃចំនួនគត់ ដោយប្រើទ្រឹស្ដីដែលស្របគ្នាជាក់ស្តែង (ក្នុងករណីរបស់យើង នេះអាចគ្រាន់តែជាទ្រឹស្ដីអ័ក្សនៃលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ)។

យោងតាមនិយមន័យ 3 ចំនួនគត់នីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នានៃចំនួនធម្មជាតិពីរ z = b – a ។ ចូរយើងភ្ជាប់ចំនួនគត់ z ជាមួយគូដែលត្រូវគ្នា។ . គុណវិបត្តិនៃការឆ្លើយឆ្លងនេះគឺភាពមិនច្បាស់លាស់របស់វា។ ជាពិសេសលេខ 2 ត្រូវនឹងគូ<3, 1 >, និងប្តីប្រពន្ធមួយ។<4, 2>ក៏ដូចជាអ្នកផ្សេងទៀតជាច្រើន។ លេខ 0 ត្រូវនឹងគូ<1, 1>, និងប្តីប្រពន្ធមួយ។<2,2>, និងប្តីប្រពន្ធមួយ។<3, 3>ហើយដូច្នេះនៅលើ។ គំនិតជួយជៀសវាងបញ្ហានេះ គូសមមូល. ចូរនិយាយថាប្តីប្រពន្ធមួយ។ សមមូលគូស្នេហ៍ ប្រសិនបើ a +d = b + c (ចំណាំ៖ @ ).

ទំនាក់ទំនងដែលបានណែនាំគឺ ឆ្លុះបញ្ចាំង ស៊ីមេទ្រី និងអន្តរកាល (ភស្តុតាងត្រូវបានទុកអោយអ្នកអាន)។

ដូចជាទំនាក់ទំនងសមមូលណាមួយ ទំនាក់ទំនងនេះបង្កើតភាគថាសនៃសំណុំនៃចំនួនគូធម្មជាតិដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ទៅជាថ្នាក់សមមូល ដែលយើងនឹងសម្គាល់ថា [ ] (ថ្នាក់នីមួយៗមានគូទាំងអស់ស្មើនឹងមួយគូ ) ឥឡូវនេះយើងអាចភ្ជាប់ចំនួនគត់នីមួយៗជាមួយនឹងថ្នាក់ដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អនៃគូនៃចំនួនធម្មជាតិដែលស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ សំណុំនៃថ្នាក់បែបនេះនៃគូនៃលេខធម្មជាតិអាចត្រូវបានប្រើជាគំរូនៃចំនួនគត់។ ចូរយើងបង្ហាញថា axioms ទាំងអស់នៃចិញ្ចៀនគឺពេញចិត្តនៅក្នុងគំរូនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ដើម្បីណែនាំគំនិតនៃការបូកនិងគុណនៃថ្នាក់នៃគូ។ យើង​នឹង​ធ្វើ​វា​តាម​ច្បាប់​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

1) [] + [] = [];

2) [] × [ ] = [].

ចូរយើងបង្ហាញថានិយមន័យដែលបានណែនាំគឺត្រឹមត្រូវ នោះគឺវាមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃអ្នកតំណាងជាក់លាក់ពីថ្នាក់នៃគូនោះទេ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតប្រសិនបើគូគឺសមមូល @ និង @ បន្ទាប់មកផលបូកនិងផលិតផលដែលត្រូវគ្នាគឺសមមូល @ ក៏ដូចជា @ .

ភស្តុតាង៖ ចូរយើងអនុវត្តនិយមន័យនៃសមមូលនៃគូ៖

@ ó a + b 1 = b + a 1 (1),

@ ó c + d 1 = d + c 1 (2) ។

ការបន្ថែមសមភាព (1) និង (2) និទ្ទេសតាមពាក្យ យើងទទួលបាន៖

a + b 1 + c + d 1 = b + a 1 + d + c 1 ។

ពាក្យទាំងអស់នៅក្នុងសមភាពចុងក្រោយគឺជាលេខធម្មជាតិ ដូច្នេះយើងមានសិទ្ធិក្នុងការអនុវត្តច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរ និងសមាគមនៃការបន្ថែម ដែលនាំយើងទៅរកសមភាព។

(a + c) + (b 1 + d 1)= (b + d) + (a 1 + c 1),

ដែលស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌ @ .

ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពត្រឹមត្រូវនៃគុណ យើងគុណសមភាព (១) ដោយ គ យើងទទួលបាន៖

ac + b 1 s = bc + a 1 s ។

បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមភាព (1) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់ b + a 1 = a + b 1 ហើយគុណនឹង d:

bd + a 1 d = ad + b 1 ឃ។

ចូរយើងបន្ថែមពាក្យសមភាពលទ្ធផលតាមពាក្យ៖

ac + bd + a 1 d + b 1 c = bc + ad + b 1 d + a 1 c,

ដែលមានន័យថា @ (និយាយម្យ៉ាងទៀត នៅទីនេះយើងបានបង្ហាញឱ្យឃើញថា × @ ,× ).

បន្ទាប់មកយើងនឹងធ្វើបែបបទដូចគ្នាជាមួយនឹងសមភាព (2) មានតែយើងទេដែលគុណនឹង 1 និង b 1។ យើងទទួលបាន៖

a 1 c + a 1 d 1 = a 1 d + a 1 c 1

b 1 d + b 1 c 1 = b 1 c + b 1 ឃ 1,

a 1 c + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 d 1 = a 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 c 1 ó

ó @

(នៅទីនេះយើងបានបង្ហាញវា។ × @ ,× ) ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិឆ្លងកាត់នៃទំនាក់ទំនងសមមូលនៃគូ យើងមកដល់សមភាពដែលត្រូវការ @ លក្ខខណ្ឌសមមូល

× @ ,× .

ដូច្នេះភាពត្រឹមត្រូវនៃនិយមន័យដែលបានណែនាំត្រូវបានបញ្ជាក់។

បន្ទាប់មក លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃចិញ្ចៀនត្រូវបានពិនិត្យដោយផ្ទាល់៖ ច្បាប់សមាគមនៃការបូក និងគុណសម្រាប់ថ្នាក់នៃគូ ច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរនៃការបូក និងច្បាប់ចែកចាយ។ ចូរយើងលើកឧទាហរណ៍ជាភស្តុតាងនៃច្បាប់សមាគមនៃការបន្ថែម៖

+ ( +) = + = .

ចាប់តាំងពីសមាសធាតុទាំងអស់នៃលេខគូគឺធម្មជាតិ

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

= <(a + c), (b + d)> + = ( + ) +.

ច្បាប់ដែលនៅសេសសល់ត្រូវបានពិនិត្យតាមរបៀបដូចគ្នា (ចំណាំថាការបំប្លែងដោយឡែកពីគ្នានៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពដែលត្រូវការទៅជាទម្រង់ដូចគ្នាអាចជាបច្ចេកទេសដ៏មានប្រយោជន៍)។

វាក៏ចាំបាច់ផងដែរដើម្បីបញ្ជាក់វត្តមាននៃធាតុអព្យាក្រឹតដោយការបន្ថែម។ ពួកគេអាចបម្រើជាថ្នាក់នៃគូនៃទម្រង់ [<с, с>] ពិតជា

[] + [] = [] @ [] ពីព្រោះ

a + c + b = b + c + a (ពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ) ។

លើសពីនេះទៅទៀត សម្រាប់ថ្នាក់នីមួយៗនៃគូ [ ] មាន​ការ​ផ្ទុយ​ទៅ​នឹង​វា​។ ថ្នាក់បែបនេះនឹងជាថ្នាក់ [ ] ពិតជា

[] + [] = [] = [] @ [].

គេ​ក៏​អាច​បញ្ជាក់​បាន​ដែរ​ថា​សំណុំ​នៃ​ថ្នាក់​នៃ​គូ​ដែល​បាន​ណែនាំ​គឺ​ជា​រង្វង់​ដែល​មាន​ការ​ផ្លាស់ប្តូរ​ជាមួយ​នឹង​អត្តសញ្ញាណ​ (ឯកតា​អាច​ជា​ថ្នាក់​នៃ​គូ [ ]) ហើយថាលក្ខខណ្ឌទាំងអស់សម្រាប់និយមន័យនៃប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងគុណសម្រាប់លេខធម្មជាតិត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់រូបភាពរបស់ពួកគេនៅក្នុងគំរូនេះ។ ជាពិសេស វាសមហេតុផលក្នុងការណែនាំធាតុខាងក្រោមសម្រាប់គូធម្មជាតិដោយយោងទៅតាមច្បាប់៖

[] / = [].

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលដោយប្រើច្បាប់នេះសុពលភាពនៃលក្ខខណ្ឌ C1 និង C2 (ពីនិយមន័យនៃការបន្ថែមលេខធម្មជាតិ) ។ លក្ខខណ្ឌ C1 (a + 1 = a /) ក្នុងករណីនេះនឹងត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា៖

[] + [] =[] / = [] ពិតជា

[] + [] = [] = [] ពីព្រោះ

a+c/+b=a+b+1+c=b+c+a+1=b+c+a/

(អនុញ្ញាតឱ្យយើងរំលឹកអ្នកម្តងទៀតថាសមាសធាតុទាំងអស់គឺធម្មជាតិ) ។

លក្ខខណ្ឌ C2 នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

[] + [] / = ([] + []) / .

ចូរយើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពនេះដោយឡែកពីគ្នា៖

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].

ដូច្នេះ យើងឃើញថាជ្រុងខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំគឺស្មើគ្នា ដែលមានន័យថាលក្ខខណ្ឌ C2 គឺពិត។ ភស្តុតាងនៃលក្ខខណ្ឌ U1 ត្រូវបានទុកឱ្យអ្នកអាន។ លក្ខខណ្ឌ U2 គឺជាផលវិបាកនៃច្បាប់ចែកចាយ។

ដូច្នេះ គំរូនៃរង្វង់នៃចំនួនគត់ត្រូវបានសាងសង់ ហើយជាលទ្ធផល ទ្រឹស្ដី axiomatic នៃចំនួនគត់គឺស្រប ប្រសិនបើទ្រឹស្តី axiomatic នៃចំនួនធម្មជាតិគឺស្រប។

លក្ខណសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការលើចំនួនគត់:

2) а×(–b) = –a×b = –(ab)

៣) – (– ក) = ក

4) (–a) × (–b) = ab

5) a ×(–1) = – a

6) a – b = – b + a = – (b – a)

7) – a – b = – (a + b)

8) (a – b) × c = ac – bc

9) (a – b) – c = a – (b + c)

10) a – (b – c) = a – b + c ។

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិទាំងអស់ធ្វើឡើងវិញនូវភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ចិញ្ចៀន។

1) a + a × 0 = a × 1 + a × 0 = a × (1 + 0) = a × 1 = a, នោះគឺ a × 0 គឺជាធាតុអព្យាក្រឹតក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការបន្ថែម។

2) a ×(–b) + ab = a(–b + b) = a × 0 = 0 ពោលគឺ ធាតុ a×(–b) គឺទល់មុខនឹងធាតុ a×b ។

៣) (– ក) + a = ០ (តាមនិយមន័យនៃធាតុផ្ទុយ)។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ (– a) +(– (– a)) = 0. សមីការផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព និងការអនុវត្តច្បាប់នៃការលុបចោល យើងទទួលបាន – (– a) = a ។

4) (–a) ×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(a×b)) = ab ។

5) a×(–1) + a = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0

a ×(–1) + a = 0

a ×(–1) = –a ។

6) តាមនិយមន័យ ភាពខុសគ្នា a – b គឺជាចំនួន x ដែល a = x + b ។ ការបន្ថែម –b នៅខាងឆ្វេងទៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃសមភាព និងការប្រើប្រាស់ច្បាប់ផ្លាស់ប្តូរ យើងទទួលបានសមភាពទីមួយ។

– b + a + b – a = –b + b + a – a = 0 + 0 = 0 ដែលបង្ហាញពីសមភាពទីពីរ។

7) – a – b = – 1×a – 1×b = –1×(a +b) = – (a +b) ។

8) (a – b) × c = (a + (–1) × b) × c = ac + (–1) × bc = ac – bc

9) (a – b) – c = x,

a – b = x + c,

a – (b + c) = x, នោះ​គឺ​

(a – b) – c = a – (b + c) ។

10) a – (b – c) = a + (– 1) × (b – c) = a + (– 1 × b) + (–1) × (– c) = a – 1 × b + 1 × c = = a – b + c ។

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

លេខ 2.1 ។ នៅ​ក្នុង​ជួរ​ឈរ​ខាង​ស្ដាំ​នៃ​តារាង រក​គូ​ដែល​ស្មើ​នឹង​គូ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​ក្នុង​ជួរ​ឈរ​ខាង​ឆ្វេង​នៃ​តារាង។

ក)<7, 5>	1) <5, 7>
ខ)<2, 3>	2) <1, 10>
វី)<10, 10>	3) <5, 4>
ឆ)<6, 2>	4) <15, 5>
	5) <1, 5>
	6) <9, 9>

សម្រាប់គូនីមួយៗ ចង្អុលបង្ហាញផ្ទុយរបស់វា។

លេខ 2.2 ។ គណនា

ក) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; ខ)[<3, 8>] + [<4, 7>];

វ) [<7, 4>] – [<8, 3>]; ឆ) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

ង) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; ង) [<2, 10>]× [<10, 2>].

លេខ 2.3 ។ សម្រាប់គំរូនៃចំនួនគត់ដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកនេះ សូមពិនិត្យមើលច្បាប់បំប្លែងនៃការបូក ច្បាប់សមាគម និងច្បាប់មិនផ្លាស់ប្តូរនៃគុណ និងច្បាប់ចែកចាយ។

Def.ចិញ្ចៀន K ត្រូវបានគេហៅថា ring of integers ប្រសិនបើក្រុមបន្ថែមនៃ ring K គឺជាក្រុមបន្ថែមនៃចំនួនគត់ ហើយការគុណក្នុងរង្វង់ K គឺ commutative ហើយបន្តការគុណនៃលេខធម្មជាតិ (នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃ N លេខធម្មជាតិ)។

T1.អនុញ្ញាតឱ្យ - ក្រុមបន្ថែមនៃចំនួនគត់ មានគុណធម្មជាតិនៅក្នុងវា ហើយ 1 គឺជាឯកតានៃប្រព័ន្ធនៃលេខធម្មជាតិ N ។ បន្ទាប់មកពិជគណិត Z = គឺជារង្វង់នៃចំនួនគត់។

បណ្ឌិតចូរយើងបង្ហាញថាពិជគណិត Z គឺជារង្វង់ដែលផ្លាស់ប្តូរ។ តាមលក្ខខណ្ឌ, ពិជគណិត - ក្រុមបន្ថែមនៃចិញ្ចៀនគឺជាក្រុម Abelian ដូចជាក្រុមបន្ថែមនៃចំនួនគត់។

អនុញ្ញាតឱ្យ a, b, c ជាធាតុបំពាននៃសំណុំ Z ។ ពួកវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាសេចក្តីអំណរនៃលេខធម្មជាតិ។ ចូរ (1) a=m-n, b=p-q, c=r-s (m, n, p, q, r, s N) ។

គុណធម្មជាតិនៅក្នុង Z ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np)។

គុណធម្មជាតិគឺជាការបំប្លែង ដោយហេតុថា b*a=(p-q)*(m-n)=(pm+qn)-(pn+qm) ហើយការបូក និងគុណនៃចំនួនធម្មជាតិគឺអាចធ្វើចលនាបាន។

គុណធម្មជាតិគឺជាប់ទាក់ទងគ្នា។ តាមការពិត ដោយគុណធម៌នៃ (១) និង (២) យើងមាន៖

a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(r-s)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+ mqr) +npr+nqs);

(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](r-s)=[(mp+nq)-(mq+np)](r-s)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+ nqs +mqr + npr) ។

អាស្រ័យហេតុនេះ ដោយសារការបំប្លែងនៃការបូកលេខធម្មជាតិ a*(b*c)=(a*b)*c។

ធាតុទី 1 គឺអព្យាក្រឹតទាក់ទងនឹងគុណធម្មជាតិ។ តាមពិតសម្រាប់ a ណាមួយពី 2 យើងមាន a*1=(m-n)(1-0)=m*1-n*1=m-n=a ។

ដូច្នេះពិជគណិត គឺជាម៉ូណូអ៊ីតដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។

Def.ប្រសិនបើចំនួនគត់ a និង b មានលេខធម្មជាតិ k ដូចជា a + k = b និង k 0 បន្ទាប់មកគេនិយាយថា "a តិចជាង ឬ b" ហើយសរសេរ a b ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ ខ

T2.អនុញ្ញាតឱ្យ Z = ring នៃចំនួនគត់។ បន្ទាប់មក៖ 1) សម្រាប់ចំនួនគត់ a និង b លក្ខខណ្ឌមួយ និងតែមួយគត់ក្នុងចំណោមបីគឺពេញចិត្ត៖ a

2) សម្រាប់ចំនួនគត់ a លក្ខខណ្ឌមួយ និងតែមួយគត់ក្នុងចំណោមបីគឺពេញចិត្ត៖ a<0, a=0, 0

3) អាកប្បកិរិយា< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

ក

4) អាកប្បកិរិយា<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

ប្រសិនបើ ក 0 បន្ទាប់មក ac

T. អំពីការបែងចែកជាមួយនៅសល់។អនុញ្ញាតឱ្យ a ជាចំនួនគត់ និង b ជាចំនួនធម្មជាតិក្រៅពីសូន្យ។ ការបែងចែកលេខ a និង b ជាមួយនៅសល់មានន័យថាតំណាងឱ្យវាក្នុងទម្រង់ a = bq + r ដែល 0 r

ការបែងចែកជាមួយផ្នែកដែលនៅសល់គឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន ហើយការចែកភាគលាភ និងផ្នែកដែលនៅសល់ត្រូវបានកំណត់ដោយឡែកដោយភាគលាភ និងផ្នែកចែក។

ធ.សម្រាប់ចំនួនគត់ a, b និង b>0 មានគូតែមួយគត់នៃចំនួនគត់ q និង r ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ (1) a=bq+r និង 0 r

បណ្ឌិតអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាមានយ៉ាងហោចណាស់មួយគូនៃលេខ q, r លក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត (1) ។ ជាដំបូង ចូរយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែល a គឺជាលេខធម្មជាតិ។ យើងជួសជុល b និងបញ្ជាក់ដោយការបញ្ជូលគ្នាលើ a ថា (2) មានគូនៃចំនួនគត់ q, r ពេញចិត្ត (1)។

សម្រាប់ a=0 សេចក្តីថ្លែងការណ៍ (2) គឺពិត ចាប់តាំងពី 0=b*0+0។ ចូរយើងសន្មត់ថា (2) គឺពិតសម្រាប់ a=n, i.e. មានចំនួនគត់ q, r ដូចនេះ (3) n=bq+r និង 0 r

ការបែងចែកទូទៅបំផុត។ចំនួនគត់ c ត្រូវបានគេហៅថា ចែកទូទៅនៃចំនួនគត់ a 1, ..., a n ប្រសិនបើ c គឺជាអ្នកចែកនៃលេខនីមួយៗ។

Def. ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃចំនួនគត់ a 1, ... , a n គឺជាអ្នកចែកទូទៅរបស់ពួកគេ ដែលត្រូវបានបែងចែកដោយការបែងចែកទូទៅនៃចំនួនទាំងនេះ។

ចំនួនគត់ a 1 , …, a n ត្រូវបានគេហៅថាជាបឋម ប្រសិនបើផ្នែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេស្មើនឹងមួយ។

gcd នៃលេខ a 1 , …, a n ត្រូវបានតំណាង gcd(a 1 , …, a n) gcd វិជ្ជមាននៃលេខទាំងនេះត្រូវបានតាង nod (a 1 , …, a n)។

បន្ទាប់ 1. ប្រសិនបើ d គឺជា gcd នៃចំនួនគត់ a 1, ..., a n នោះសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅទាំងអស់នៃលេខទាំងនេះស្របគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃការបែងចែកទាំងអស់នៃលេខ d ។

បន្ទាប់ 2. gcds ពីរនៃចំនួនគត់ a 1 , …, a n ត្រូវបានភ្ជាប់ ពោលគឺឧ។ អាចខុសគ្នាតែនៅក្នុងសញ្ញាប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើ d គឺជា gcd នៃលេខ a 1, …, a n នោះលេខ (-d) ក៏ជា gcd នៃលេខទាំងនេះផងដែរ។

ក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ។វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរក gcd នៃចំនួនគត់ពីរ។

ការផ្តល់ជូន។ ឲ្យ a និង b ជាចំនួនគត់ពីរ b≠0 និង (1) a=bq+r (0 r<|b|).

បន្ទាប់មក node(a,b)=nod(b,r)។

បណ្ឌិត ពី (1) វាដូចខាងក្រោមថាការបែងចែកទូទៅនៃលេខ a និង b គឺជាអ្នកចែកនៃលេខ r = a-bq ហើយការបែងចែកទូទៅនៃលេខ b និង r គឺជាអ្នកចែកលេខ a ។ ដូច្នេះ សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅទាំងអស់នៃលេខ a និង b ស្របគ្នានឹងសំណុំនៃការបែងចែកទូទៅទាំងអស់នៃលេខ b និង r ។ វាធ្វើតាមថា ការបែងចែកទូទៅវិជ្ជមាននៃលេខ a និង b ស្របគ្នាជាមួយនឹងការបែងចែកទូទៅវិជ្ជមាននៃលេខ b និង r, i.e. node(a,b)=nod(b,r)។

ប្រសិនបើ b|a ដែល b≥1 នោះច្បាស់ណាស់ node(a,b)=b។ ដើម្បីស្វែងរកថ្នាំងនៃចំនួនគត់ពីរ វិធីសាស្ត្រនៃ "ការបែងចែកតាមលំដាប់លំដោយ" ត្រូវបានប្រើដែលហៅថា ក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺដោយសារតែសំណើដែលបានបញ្ជាក់ខាងលើបញ្ហានៃការស្វែងរកថ្នាំងនៃលេខ a និង b ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាកិច្ចការសាមញ្ញជាងក្នុងការស្វែងរកថ្នាំងនៃលេខ b និង r ដែល 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

ប្រសិនបើ a=0 នោះ b=0*c=0 ហើយទ្រឹស្តីបទគឺពិត។ ប្រសិនបើ a≠0 បន្ទាប់មកពី (1) វាធ្វើតាម cd=1។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ពីសមភាព cd=1 វាធ្វើតាមថា d=1។ លើសពីនេះ a=bd; ដូច្នេះ a = b ។ បញ្ជាក់។

ពហុគុណតិចបំផុត។ចំនួនគត់ត្រូវបានគេហៅថាពហុគុណទូទៅនៃចំនួនគត់ a 1, ..., a n ប្រសិនបើវាត្រូវបានបែងចែកដោយលេខនីមួយៗទាំងនេះ។

Def. ផលគុណទូទៅតិចបំផុតនៃចំនួនគត់ a 1, ..., a n គឺជាផលគុណទូទៅរបស់ពួកគេដែលបែងចែកផលគុណទូទៅនៃចំនួនទាំងនេះ។ Ob-i៖ LCM(a 1, …, a n)។ ផលគុណវិជ្ជមានតិចបំផុតនៃលេខ a 1, ..., a n, ខុសពីសូន្យ ត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈ .

Sl-ie។ ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតពីរនៃចំនួនគត់ a 1 , … , a n ត្រូវបានភ្ជាប់នៅក្នុង Z, i.e. អាចខុសគ្នាតែនៅក្នុងសញ្ញាប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើលេខ m គឺ LCM(a 1 , …, a n) នោះលេខ (-m) គឺ LCM(a 1 , …, a n)។

Sl-ie។ ប្រសិនបើ m គឺជាផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ a 1, ..., a n នោះសំណុំនៃគុណទូទៅទាំងអស់នៃលេខទាំងនេះស្របគ្នានឹងសំណុំនៃគុណទាំងអស់នៃលេខ m ។

និយមន័យ៖

ផលបូក និងផលនៃចំនួនគត់ p-adic ដែលកំណត់ដោយលំដាប់ និងត្រូវបានគេហៅថាលេខចំនួនគត់ p-adic ដែលកំណត់រៀងគ្នាដោយលំដាប់ និង។

ដើម្បីប្រាកដថាភាពត្រឹមត្រូវនៃនិយមន័យនេះ យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា លំដាប់កំណត់ចំនួនគត់មួយចំនួន - លេខ adic ហើយថាលេខទាំងនេះអាស្រ័យតែលើ និងមិនមែនលើជម្រើសនៃលំដាប់ដែលកំណត់ពួកវានោះទេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងពីរនេះអាចបញ្ជាក់បានដោយការផ្ទៀងផ្ទាត់ជាក់ស្តែង។

វាច្បាស់ណាស់ថាជាមួយនឹងនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃប្រតិបត្តិការលើចំនួនគត់ adic ពួកគេបង្កើតជារង្វង់ទំនាក់ទំនងដែលមានចិញ្ចៀននៃចំនួនគត់សនិទានជា subring ។

ការបែងចែកចំនួនគត់ - លេខ adic ត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបដូចគ្នានឹងចិញ្ចៀនផ្សេងទៀតដែរ: ប្រសិនបើមានចំនួនគត់ - លេខ adic បែបនេះ។

ដើម្បីសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែក វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវដឹងថាចំនួនគត់ទាំងនោះជាអ្វី - លេខ adic ដែលមានចំនួនគត់បញ្ច្រាស - លេខ adic ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាកត្តាឯកតាឬឯកតា។ យើងនឹងហៅពួកគេថាអង្គភាព adic ។

ទ្រឹស្តីបទ ១:

ចំនួនគត់គឺជាចំនួន adic ដែលកំណត់ដោយលំដាប់ if និងលុះត្រាតែវាជាឯកតានៅពេល។

ភស្តុតាង:

អនុញ្ញាតឱ្យមានមួយ បន្ទាប់មកមានចំនួនគត់ - លេខ adic បែបនេះ។ បើ​កំណត់​តាម​លំដាប់​នោះ លក្ខខណ្ឌ​មាន​ន័យ​ថា ។ ជាពិសេស ហើយដូច្នេះ ផ្ទុយទៅវិញ អនុញ្ញាតឱ្យវាធ្វើតាមយ៉ាងងាយស្រួលពីលក្ខខណ្ឌថា ដូច្នេះ។ ដូច្នេះ​សម្រាប់​អ្នក​ណា​ម្នាក់​អាច​រក​ឃើញ​ថា​ការ​ប្រៀបធៀប​មាន​សុពលភាព។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ នេះមានន័យថាលំដាប់កំណត់ចំនួនគត់មួយចំនួន - លេខ adic ការប្រៀបធៀបបង្ហាញថា។ ដែលជាឯកតា។

តាមទ្រឹស្តីបទបង្ហាញឱ្យឃើញថា ចំនួនគត់ជាលេខសនិទាន។ ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាធាតុនៃចិញ្ចៀនមួយ ប្រសិនបើ និងប្រសិនបើជាឯកតានៅពេលណា។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនេះត្រូវបានបំពេញ នោះវាមាននៅក្នុង។ វាធ្វើតាមថាចំនួនគត់ដែលសមហេតុផល b ត្រូវបានបែងចែកដោយដូចជា in, i.e. ថាចំនួនសមហេតុផលនៃទម្រង់ b/a ដែល a និង b ជាចំនួនគត់ ហើយមាននៅក្នុងលេខសនិទាននៃទម្រង់នេះត្រូវបានគេហៅថា -ចំនួនគត់។ ពួកគេបង្កើតជាចិញ្ចៀនជាក់ស្តែង។ ឥឡូវនេះលទ្ធផលរបស់យើងអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម:

លទ្ធផល៖

ring of adic integers មាន subring isomorphic ទៅនឹង ring of rational integers ។

លេខប្រភាគ p-adic

និយមន័យ:

ប្រភាគនៃទម្រង់ k >= 0 កំណត់ចំនួនប្រភាគ p-adic ឬគ្រាន់តែជាលេខ p-adic ។ ប្រភាគពីរ និងកំណត់ចំនួន p-adic ដូចគ្នាប្រសិនបើ គ។

ការប្រមូលលេខ p-adic ទាំងអស់ត្រូវបានតាងដោយ p ។ វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាប្រតិបត្តិការនៃការបូក និងគុណបន្តពី p ដល់ p ហើយបង្វែរ p ទៅជាវាលមួយ។

២.៩. ទ្រឹស្តីបទ។ រាល់លេខ p-adic អាចត្រូវបានតំណាងដោយឡែកក្នុងទម្រង់

ដែល m ជាចំនួនគត់ និងជាឯកតានៃរង្វង់ p ។

២.១០. ទ្រឹស្តីបទ។ លេខ p-adic ណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យអាចត្រូវបានតំណាងដោយឡែកក្នុងទម្រង់

លក្ខណៈសម្បត្តិ៖វាលនៃលេខ p-adic មានវាលនៃលេខសនិទាន។ វាមិនពិបាកក្នុងការបង្ហាញថាចំនួនគត់ p-adic ណាមួយដែលមិនមែនជាពហុគុណនៃ p គឺមិនអាចបញ្ច្រាស់បានក្នុងរង្វង់ p ហើយពហុគុណនៃ p ត្រូវបានសរសេរដោយឯកឯងក្នុងទម្រង់ដែល x មិនមែនជាពហុគុណនៃ p ហើយដូច្នេះវាមិនបញ្ច្រាស់ទេ a . ដូច្នេះ ធាតុដែលមិនមែនជាសូន្យនៃវាល p អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដែល x មិនមែនជាពហុគុណនៃ p ហើយ m គឺបំពាន។ ប្រសិនបើ m គឺអវិជ្ជមាន នោះដោយផ្អែកលើការតំណាងនៃចំនួនគត់ p-adic ជាលំដាប់នៃលេខនៅក្នុងប្រព័ន្ធលេខ p-ary យើងអាចសរសេរលេខ p-adic បែបនេះជាលំដាប់ នោះគឺតំណាងឱ្យវាជាផ្លូវការជា ប្រភាគ p-ary ជាមួយនឹងចំនួនខ្ទង់កំណត់បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ និង ប្រហែលជាចំនួនគ្មានកំណត់នៃខ្ទង់មិនមែនសូន្យមុនចំនុចទសភាគ។ ការបែងចែកលេខបែបនេះក៏អាចត្រូវបានធ្វើឡើងស្រដៀងគ្នាទៅនឹងច្បាប់ "សាលា" ដែរ ប៉ុន្តែចាប់ផ្តើមពីលេខទាប ជាជាងលេខខ្ទង់នៃលេខ។