M 1, M 2, M 3 ಅಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರಲಿ. λ(λ≠-1) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M 1 M 2 ವಿಭಾಗವನ್ನು M ಬಿಂದು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.
ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ M 1 ಮತ್ತು M 2 ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿರಲಿ: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಾಯಿಂಟ್ M(x, y, z ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:
ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ ಎಂ 1 ಎಂ 2 ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ , ಅಂದರೆ, λ=1 ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು (*) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

(**)

ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕೆಳಗಿನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ:

1. ಅಂಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
2. ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. D(x, y, z) ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ - ಅದರ ಮಧ್ಯದ ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳು.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು M(x 0 , y 0 , z 0) BC ಯ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ (**) ಮತ್ತು M(7/2, ½, 4). ಪಾಯಿಂಟ್ D ಮಧ್ಯದ AM ಅನ್ನು λ=2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು (*), ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ C(4,1) ಯಿಂದ λ=1/4 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. B (8,5) ವೇಳೆ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ (*), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು x=3, y=0 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. AB ವಿಭಾಗವನ್ನು C (3, -1) ಮತ್ತು D (1,4) ಅಂಕಗಳಿಂದ ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್ C AD ಯ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ (**) ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಎಲ್ಲಿಂದ x 1 = 5, y 1 = -6. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಇದೇ ರೀತಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ: x 2 = -1, y 2 = 9.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು C ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಅದು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಈ ವಿಭಾಗಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ AB ಅನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು:

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),

ಅಲ್ಲಿ (xA; yA) ಮತ್ತು (xB; yB) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ AB ನ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ; ಸಂಖ್ಯೆ λ = AC/CB - ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ C ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಅನುಪಾತ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (xC; yC).

AB ವಿಭಾಗವನ್ನು C ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಿಂದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ λ = 1 ಮತ್ತು xC ಮತ್ತು yC ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ:

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ λ ಎಂಬುದು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಳತೆಯ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳಲ್ಲ ಎಂದು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.

1. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅದರ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ

ಉದಾಹರಣೆ 1.

A(-2; 3) ಮತ್ತು B(6; -9) ಅಂಕಗಳು AB ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಬಿಂದು C ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಇದು AB ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು xA = -2 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; xB = 6; yA = 3 ಮತ್ತು yB = -9. ನಾವು C(xC; yC) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.

ಹೀಗಾಗಿ, AB ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದು C, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (-2; 3) (ಚಿತ್ರ 1).
2. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಅದರ ಮಧ್ಯ ಮತ್ತು ಇತರ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2.

AB ವಿಭಾಗದ ಒಂದು ತುದಿಯು ಪಾಯಿಂಟ್ A, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (-3; -5), ಮತ್ತು ಅದರ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ಪಾಯಿಂಟ್ C (3; -2) ಆಗಿದೆ. ವಿಭಾಗದ ಎರಡನೇ ತುದಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ - ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರ, xA = -3 ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ; yA = -5; xC = 3 ಮತ್ತು yC = -2.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

3 = (-3 + xB)/2 ಮತ್ತು

2 = (-5 + uV)/2.

xB ಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತು yB ಗಾಗಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: xB = 9 ಮತ್ತು yB = 1, ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಬಯಸಿದ ಬಿಂದು B ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (9; 1) (ಚಿತ್ರ 2).

3. ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು D(1; 3), E(-1; -2) ಮತ್ತು F(4; -1) ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನದ A, B ಮತ್ತು C ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

D ಬಿಂದುವು AB ಬದಿಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ, ಬಿಂದು E BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು F ಬಿಂದು AC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 3). ನೀವು ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಾವು A(xA; yA), B(xB; yB) ಮತ್ತು C(xC; yC) ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು xC = (xA + xB) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು D, E ಮತ್ತು F ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. /2, yC = (yA + уВ)/2 ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,

(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸೋಣ:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.

A(6; 4), B(-4; 2) ಮತ್ತು C(2; -6) ಅಂಕಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಗತ್ಯ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ.

4. ಈ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಉದಾಹರಣೆ 4.

ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು 3:5 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ C ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ B ಗೆ ಎಣಿಕೆ). AB ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು A(2; 3) ಮತ್ತು B(10; 11) ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು xA = 2 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. C(xC; yC) ಹುಡುಕಿ (ಚಿತ್ರ 4).

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 ಮತ್ತು yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು C ( 5; 6)

ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಿ ವರೆಗೆ. ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪರಿಹಾರ: ಬಿಂದು ಬಿ ಯಿಂದ ಎ ಬಿಂದುವಿಗೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು 2: 3: 5 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಬಿಂದುವಿನಿಂದ B ಗೆ ಎಣಿಕೆ), ಅದರ ತುದಿಗಳು A (-11; 1) ಮತ್ತು B (9; 11) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಾಗ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

A ನಿಂದ B ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು C ಮತ್ತು D ಯಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. C(xC; yC) ಮತ್ತು D(xD; yD) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ, AC ಆಗಿದ್ದರೆ: CD: DB = 2: 3: 5.

ಪಾಯಿಂಟ್ C AB ವಿಭಾಗವನ್ನು λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 ಮತ್ತು yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಿ (-7; 3).

ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿ ಎಬಿ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. ಇದರರ್ಥ D ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (-1; 6).

5. ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಈ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ

ಉದಾಹರಣೆ 6.

ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು ಎ (-8; -5) ಮತ್ತು ಬಿ (10; 4) ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಮೂರು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ C ಮತ್ತು D ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ xA = -8 ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ; xB = 10; yA = -5; yB = 4 ಮತ್ತು n = 3. C(xC; yC) ಮತ್ತು D(xD; yD) ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಚಿತ್ರ 5).

ಪಾಯಿಂಟ್ C ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದು AB ವಿಭಾಗವನ್ನು λ = 1/2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು A ಯಿಂದ ಬಿಂದು ಬಿ ವರೆಗೆ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 ಮತ್ತು yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಿ (-2; -2).

CB ವಿಭಾಗದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು 1: 1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. ಹೀಗಾಗಿ, D(4; 1).

ವಿಭಾಗದ ಅಂಕಗಳು C (-2; -2) ಮತ್ತು D (4; 1).

ಗಮನಿಸಿ: AB ವಿಭಾಗವನ್ನು 2: 1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಾಯಿಂಟ್ D ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. + λyB) / (1 + λ).

ಉದಾಹರಣೆ 7.

A(5; -6) ಮತ್ತು B(-5; 9) ಅಂಕಗಳು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಐದು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

A ಯಿಂದ B ವರೆಗಿನ ಅನುಕ್ರಮ ವಿಭಾಗದ ಬಿಂದುಗಳು C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) ಮತ್ತು F(xF; yF) ಆಗಿರಲಿ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು xA = 5 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 ಮತ್ತು n = 5.

xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು C ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು AB ವಿಭಾಗವನ್ನು λ = 1/4 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 ಮತ್ತು yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, ನಾವು ಸಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ (3; -3).

ಬಿಂದು D ಯಿಂದ AB ವಿಭಾಗದ ವಿಭಾಗವನ್ನು 2: 3 (ಅಂದರೆ λ = 2/3) ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 ಮತ್ತು yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, ಆದ್ದರಿಂದ D (10)

ಪಾಯಿಂಟ್ E ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದು AB ವಿಭಾಗವನ್ನು λ = 2/3 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 ಮತ್ತು yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. ಹೀಗೆ ಹೀಗಾಗಿ, ಇ(-1; 3).

ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಫ್ ವಿಭಾಗ AB ಅನ್ನು λ = 4/1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 ಮತ್ತು yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F (-3; 6).

ವಿಭಾಗದ ಅಂಕಗಳು ಸಿ (-2; -2); ಡಿ(4; 1); ಇ(-1; 3) ಮತ್ತು ಎಫ್(-3; 6).

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ವಿಭಾಗ ವಿಭಜನೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು, ನೋಂದಾಯಿಸಿ.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ: ನೇರ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳ ಅನುಪಾತವು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವಿಭಾಗ ಎಬಿಚುಕ್ಕೆಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಿ ಇನ್ಗೌರವ AC/SV = t/p(ಚಿತ್ರ 3.13). ವಿಭಾಗದ ಸಮತಲ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಂತರ ಎಬಿಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು C ಒಂದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ A"C"/C"B" = t/p,ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವುದರಿಂದ^", ಬಿ"ಮತ್ತು ಎಸ್ಎಸ್"ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ. ಈ ಸ್ಥಾನವು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ನೀಡಿದ ಸಂಬಂಧ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಅದೇ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದು.

ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನ

ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿ ಕೆಳಗಿನ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ಛೇದಿಸಿ, ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದು.ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ (Fig. 3.14) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು.ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಸಹ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಬಿಮತ್ತು C/) ಮತ್ತು ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಅವರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮತಲವಾಗಿರುವ (Fig. 3.15, ಎ)

ಮೊದಲು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೂಲಕ ಎಮತ್ತು IN,ಮತ್ತು ಸಿ ಡ್ರಾ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿಂಗ್ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು, ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಗಾಳಿಯ ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಮಾನಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 71^ PLANE ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮೂರನೇ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳು (ಅಥವಾ ಎನ್ 2ಅಥವಾ 7G 3) ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಎಬಿಮತ್ತು SEಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಅವರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 3.15, ಬಿ)

ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ದಾಟುವುದು.ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಲೈನ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ (Fig. 3.16). ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಛೇದಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಸಂಪರ್ಕದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಹೆಸರಿನ ಅವರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (Fig. 3.17).

ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಗೋಚರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ.ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಯೋಜಿತ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಗೋಚರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಗೋಚರತೆ ಎಬಿಮತ್ತು NE(ಅಂಜೂರವನ್ನು ನೋಡಿ. 3.16) ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಅವರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ಪರೇಖೆಗಳ ಸಮತಲ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ 1" = 2". ಡಾಟ್ 1 ನೇರ SD ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ 2 - ನೇರ ಎಬಿ.ಅಂಕಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಪರ್ಧಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ sch,ಆ.

• (7 X 2) ಕೆ-ಬಿಂದುಗಳ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ > ಕೊಮ್ಮರ್ಸ್ಯಾಂಟ್ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ schರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ SD ರೇಖೆಯು ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ ಎ ಬಿ,ರಿಂದ (7 ಇ ಎಸ್ ವಿ)ಟಿ sch,ಎ (2ನೇ ಎಬಿ)
• (3 ? 4) ಪು 2.ಡಾಟ್ 3 ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿದೆ

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಬಹುದು: 3" = 4", ಆ. ನನ್ನ SD ಅವಧಿ 4 - ನೇರ ಎಬಿ.ಅವು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗುತ್ತವೆ 2 ಗೆ,ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೋಚರವಾದದ್ದು ಸಮತಲದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ 2 ಗೆಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ದೂರ. ಇದು ಬಿಂದು 3, ರಿಂದ_y 3 > 4 ನಲ್ಲಿಮತ್ತು (3ನೇ SV)ಟಿ ಗೆ 2,(4е АВ) ಟಿ ಗೆ 2 . ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ NEನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೊದಲು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಬಿ.

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು, ಆ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಯಾವುದೇ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ಇತರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಎಬಿಮತ್ತು NE(ಚಿತ್ರ 3.18) ಅವುಗಳ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಮುಂಭಾಗದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಅವರ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಅವು ಸಂತಾನೋತ್ಪತ್ತಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ

ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವಿಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಂಡತಿಯರು ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆ COಗಿಂತ ನಾಲಿಗೆಯ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎ ವಿ.

ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಬಿಮತ್ತು SI(Fig. 3.19) ಅವರ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದರೆ ಸಿ/ಲೈನ್ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಇ (ಇಇ ಎಬಿ),ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇನೇರ SD ಯಲ್ಲಿ ಅಂದರೆ. ನೇರವಾಗಿ ಮಾಡಿ ಎ ಬಿಮತ್ತು SIಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು.

ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. 3.19, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುವಾಗ, ನೀವು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಇ"ಮತ್ತು ಇ"ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿ "O" ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು "O" ಜೊತೆಗೆ"ವಿ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಬಂಧಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಇಸಾಲಿಗೆ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲ COಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಎಬಿಮತ್ತು COಛೇದಿಸಬೇಡಿ, ಆದರೆ ಛೇದಿಸಿ. ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗೋಚರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. 3.16.