ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆದೇಶಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಾರದು, ಆದರೆ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ (ಎ< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = ಬಿ.

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಹ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಹೆಚ್ಚು ಎಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ b > a.

ಪ್ರಮೇಯ 12.ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಮೂರು ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ: a = b, a > b, ಎ < ಬಿ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಾವು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ವೇಳೆ

a¹ b,ಒಂದೋ ಎ< b, ಅಥವಾ a > b,ಆ. "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವು ಸಂಪರ್ಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 13.ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ< b ಮತ್ತು ಬಿ< с. ಅದು ಎ< с.

ಪುರಾವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧದ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಏಕೆಂದರೆ ಎ< b ಮತ್ತು ಬಿ< с. ನಂತರ, "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಗೆಏನೀಗ b = a + k ಮತ್ತು c = b + I.ಆದರೆ ನಂತರ c = (a + k)+ / ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಂಕಲನದ ಸಹವರ್ತಿ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ: c = a + (k +/). ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಕೆ + ನಾನು -ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ, "ಕಡಿಮೆ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಎ< с.

ಪ್ರಮೇಯ 14. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎ< b, ಅದು ನಿಜವಲ್ಲ ಬಿ< а. ಪುರಾವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಆಂಟಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿ"ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧ.

ಒಂದೇ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಎನೀನಲ್ಲ-!>! ■ )ಅವಳ ವರ್ತನೆ ಎ< ಎ.ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಏನು ಎ< а ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಜೊತೆಗೆ,ಏನು ಎ+ ಜೊತೆಗೆ= ಎ,ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರಮೇಯ 6ಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಈಗ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಎ< ಬಿ, ಹಾಗಾದರೆ ಅದು ನಿಜವಲ್ಲ ಬಿ < ಎ.ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಹೀಗಾದರೆ ಎ< b , ಅದು ಬಿ< а ನಿರ್ವಹಿಸಿದರು. ಆದರೆ ಈ ಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 12 ರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎ< а, ಅಸಾಧ್ಯವಾದದ್ದು.

ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್.

"ಕಡಿಮೆ" ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ತಿಳಿದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 15.ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. I< а для любого натурального числа a¹1.

ಪುರಾವೆ. ಅವಕಾಶ ಎ -ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಂತರ ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ: a = 1 ಮತ್ತು a¹ 1. ವೇಳೆ a = 1, ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ b,ಅನುಸರಿಸಿದರು a: a = b " = b + I = 1 + b,ಅಂದರೆ, "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, 1< ಎ.ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಥವಾ, ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

"ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವು ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 16.

a = b => a + c = b + c ಮತ್ತು a c = b c;

ಎ< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c ಮತ್ತು ac > bc.

ಪುರಾವೆ. 1) ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

2) ವೇಳೆ ಎ< b, ನಂತರ ಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಕೆ,ಏನು ಎ + ಕೆ = ಬಿ.
ನಂತರ ಬಿ+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ ಗೆ)= (ಎ + ಸಿ) + ಕೆ.ಸಮಾನತೆ ಬಿ+ c = (a + c) + kಎಂದು ಅರ್ಥ a + c< b + ಜೊತೆಗೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎ< b =>ac< bс.

3) ಪುರಾವೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 17(ಪ್ರಮೇಯ 16 ರ ಸಂಭಾಷಣೆ).

1) ಎ+ ಸಿ = ಬಿ + ಸಿಅಥವಾ ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с ಅಥವಾ ac< ಕ್ರಿ.ಪೂÞ ಎ< Ь:

3) a + c > b+ ಜೊತೆ ಅಥವಾ ac > bcÞ a > b.

ಪುರಾವೆ. ನಾವು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದರಿಂದ ac< bс ಮಾಡಬೇಕು ಎ< b ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ತೀರ್ಮಾನವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು. ಆಗ ಅದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ a = b.ಅಂದಿನಿಂದ ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ac = ಕ್ರಿ.ಪೂ(ಪ್ರಮೇಯ 16); ಅದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎ> b,ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಆಗಿರುತ್ತದೆ ac > bc(ಪ್ರಮೇಯ! 6). ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 12 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಎ< b.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು 16 ಮತ್ತು 17 ರಿಂದ ನಾವು ಪದದಿಂದ-ಅವಧಿಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಾವು ಅವರನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 18. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ; ಅಂತಹ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ p b> a.

ಪುರಾವೆ. ಯಾರಿಗಾದರೂ ಎಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಪ, ಏನು ಎನ್ > ಎ.ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಕು n = a + 1. ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಪ> ಎಮತ್ತು ಬಿ> 1, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ pb > ಎ.

"ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧದ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ನಾವು ಪುರಾವೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಲ್ಲ ಎಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ ಪ,ಏನು ಎ< п < а + 1. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಸ್ತಿ
ವಿವೇಚನಾಶೀಲತೆನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಎಮತ್ತು a + 1 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೆರೆಯ.

2. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ
ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

3. ವೇಳೆ ಎಂ- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಖಾಲಿಯಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗ
ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ b,ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ x ರಿಂದ ಎಂಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ
ಸಮಾನತೆ x< b,ನಂತರ ಹೇರಳವಾಗಿ ಎಂಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ. ಅವಕಾಶ ಎಂ- ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್. ಏಕೆಂದರೆ ಎಂನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ< 100, то в множестве ಎಂದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ 99. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂ, -ಸಂಖ್ಯೆ 10.

ಹೀಗಾಗಿ, "ಕಡಿಮೆ" ಸಂಬಂಧವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು (ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು) ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಣದ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿಯೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ "ಕಡಿಮೆ" ("ಹೆಚ್ಚು") ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಅದರ ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ, ಅಕ್ಷೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ನಾವು ನೀಡಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು 9 > 7 ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ 9 7+2 ಆಗಿದೆ. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸೂಚ್ಯ ಬಳಕೆಯೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಕ್ಕಳು "6 + 2" ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ< 6 + 3, так как 2 < 3».

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

1, "ತಕ್ಷಣ ಅನುಸರಿಸಿ" ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಏಕೆ ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ?

ವರ್ತನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ a > bಮತ್ತು ಇದು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

3. ವೇಳೆ ಸಾಬೀತು a, b, cನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಂತರ:

ಎ) ಎ< b Þ ас < bс;

b) ಎ+ ಜೊತೆಗೆ< b + сÞ> ಎ< Ь.

4. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಏಕತಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮಾಡಬಹುದು
"ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸದೆ ಹೋಲಿಸಿ" ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ ಕಿರಿಯ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಬಳಸಿ:

a) 27 + 8 ... 27 + 18;

ಬಿ) 27-8 ... 27 -18.

5. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ:

ಎ) 65 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು 75 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಬಿ) 300 (800,609,999) ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಸಿ) ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೂರು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ವ್ಯವಕಲನ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a ಮತ್ತು b ಗಳ ವ್ಯವಕಲನವು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ: a - b = c ವೇಳೆ ಮತ್ತು b + c = a ಮಾತ್ರ.

ಸಂಖ್ಯೆ a - b a ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ b,ಸಂಖ್ಯೆ ಎ- ಕಡಿಮೆ, ಸಂಖ್ಯೆ b-ಕಳೆಯಬಹುದಾದ.

ಪ್ರಮೇಯ 19.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎ- ಬಿಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಬಿ< а.

ಪುರಾವೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿರಲಿ ಎ- ಬಿಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ನಂತರ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಜೊತೆಗೆ,ಏನು ಬಿ + ಸಿ = ಎ,ಅಂದರೆ ಬಿ< а.

ಒಂದು ವೇಳೆ ಬಿ< а, ನಂತರ, "ಕಡಿಮೆ" ಎಂಬ ಸಂಬಂಧದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿ ಇರುತ್ತದೆ ಬಿ + ಸಿ = ಎ.ನಂತರ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, c = a - b,ಆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸ a - bಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 20. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಎಮತ್ತು ಬಿ;: ಎ - ಬಿ= s₁ಮತ್ತು a - b= s₂, ಮತ್ತು s₁ ¹ s₂ನಂತರ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: a = b + c₁,ಮತ್ತು a = b + c₂ : .ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ+ c₁ = b + c₂:ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 17 ರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, с₁ = с₂..ನಾವು ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಸುಳ್ಳು, ಆದರೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಒಂದು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 21. ಅವಕಾಶ ಎ. ಬಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ- ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.

ಮತ್ತು ವೇಳೆ a > c, ನಂತರ (a + b) - c = (a - c) + b.

ಬಿ) ವೇಳೆ ಬಿ > ಸಿ. ನಂತರ (a + b) - c - a + (b - c).

ಸಿ) ವೇಳೆ a > c ಮತ್ತು b > c.ನಂತರ ನೀವು ಈ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಪುರಾವೆ. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ a) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಮತ್ತು ಸಿಏಕೆಂದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ a > ರು.ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ x: a - c = x.ಎಲ್ಲಿ a = c + x. ಒಂದು ವೇಳೆ (ಎ+ ಬಿ) - ಸಿ = ವೈ.ನಂತರ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಎ+ ಬಿ = ಜೊತೆಗೆ+ ನಲ್ಲಿ. ಬದಲಿಗೆ ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಎಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ c + x:(c + x) + b = c + y.ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಸಹವರ್ತಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ: c + (x + b) = c+ ನಲ್ಲಿ. ಸಂಕಲನದ ಏಕತಾನತೆಯ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:

x + ಬಿ = ಯು..ಈ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು a - c,ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಎ -ಜಿ) + ಬಿ = ವೈ.ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ವೇಳೆ a > c, ನಂತರ (a + b) - c = (a - c) + b

ಬಿ) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ನಿಯಮದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಮೊತ್ತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಲು, ಮೊತ್ತದ ಒಂದು ಪದದಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಕು.

ಪ್ರಮೇಯ 22.ಅವಕಾಶ a, b ಮತ್ತು c -ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಒಂದು ವೇಳೆ a > b+ ರು, ನಂತರ ಎ- (ಬಿ + ಸಿ) = (ಎ - ಬಿ) - ಸಿಅಥವಾ a - (b + c) = (a - c) - b.

ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಮೇಯ 21 ರ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 22 ಅನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆಯಲು, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಕಳೆಯಲು ಸಾಕು.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮವಾಗಿ ವ್ಯವಕಲನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಕಲನವು ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆ 40 ರಿಂದ 16 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ರೀತಿ ತರ್ಕಿಸುತ್ತಾರೆ: “16 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 40 ರಿಂದ ಕಳೆಯುವುದು ಎಂದರೆ 16 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು 40 ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು 24 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 24 + 16 = 40. ಆದ್ದರಿಂದ. 40 - 16 = 24."

ಆರಂಭಿಕ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳು ವಿವಿಧ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ (40 + 16) - 10 ಅನ್ನು ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ 10 ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ;

a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

ಬಿ) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

1. ಪ್ರತಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ತಕ್ಷಣದ ಮುಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ನಿಜವೇ?

2. ಪ್ರಮೇಯ 19 ರ ತಾರ್ಕಿಕ ರಚನೆಯ ವಿಶೇಷತೆ ಏನು? "ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು" ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದೇ?

3. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಬಿ> ಸಿ,ಅದು (a + b) - c = a + (b - c);

ಬಿ) ವೇಳೆ a > b + c, ಅದು a - (b+ ಸಿ) = (ಎ - ಬಿ) - ಸಿ.

4. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡದೆಯೇ, ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ:

a) (50 + 16)- 14; d) 50 + (16 -14 ),

ಬಿ) (50 - 14) + 16; ಇ) 50 - (16 - 14);
ಸಿ) (50 - 14) - 16, ಎಫ್) (50 + 14) - 16.

a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;

ಬಿ) (50 - 16) + 14; ಇ) (50 - 14) - 16;

ಸಿ) (50 - 16) - 14; ಇ) 50 - 16-14.

5. ಆರಂಭಿಕ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ವ್ಯವಕಲನದ ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ:

12 - 2-3 12 -5 = 7

ಬಿ) 16-7 = 16-6 - ಪಿ;

ಸಿ) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;

d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಂಭವನೀಯ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. a - b- ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಿ.

7. ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಬಿ< а ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಿ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ (a – b) c = ac - bc.

ಸೂಚನೆ. ಪುರಾವೆಯು ಮೂಲತತ್ವ 4 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

8. ಲಿಖಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸದೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

a) 7865 × 6 – 7865 × 5: b) 957 × 11 – 957; ಸಿ) 12 × 36 – 7 × 36.

ವಿಭಾಗ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ a ಮತ್ತು b ವಿಭಜನೆಯು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ: a: b = c ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರಗೆ ಯಾವಾಗ ಬಿ× c = a.

ಸಂಖ್ಯೆ a:bಎಂದು ಕರೆದರು ಖಾಸಗಿಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಮತ್ತು b,ಸಂಖ್ಯೆ ಎಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ, ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿ- ವಿಭಾಜಕ.

ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಅಂಶದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಯಾವುದೇ ಅನುಕೂಲಕರ ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ ಮಾತ್ರ ಇದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 23.ಎರಡು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವಿರಲು ಎಮತ್ತು ಬಿ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಬಿ< а.

ಪುರಾವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವನ್ನು ಬಿಡಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಿ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ bc = a.ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ 1 £ ಜೊತೆಗೆ,ನಂತರ, ಅದರ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಬಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಬಿ£ ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಆದರೆ bc = a,ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿ£ ಎ.

ಪ್ರಮೇಯ 24.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮೊತ್ತವನ್ನು (ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನ) ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 25.ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಜೊತೆಗೆ,ನಂತರ ಅವರ ಮೊತ್ತ a + b c ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶ ಎ+ ಬಿಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಜೊತೆಗೆ,ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಮೇಲೆ ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಬಿಮೇಲೆ ಜೊತೆಗೆ, ಅಂದರೆ (a + b):c = a:c + b:ಜೊತೆಗೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಜೊತೆಗೆ,ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ x = ಇರುತ್ತದೆ ಎ;ಎಂದು a = cx.ಅಂತೆಯೇ, ಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ y = b:ಜೊತೆಗೆ,ಏನು

ಬಿ= ಸು.ಆದರೆ ನಂತರ a + b = cx+ cy = - c(x + y).ಎಂದು ಅರ್ಥ a + b c ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶ ಎ+ ಬಿ c ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ, x + ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ವೈ,ಆ. ಕೊಡಲಿ + ಬಿ: ಸಿ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು ನಿಯಮದಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಸಾಕು.

ಪ್ರಮೇಯ 26.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು a > b,ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ a - b c ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು c ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶವು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಮೇಲೆ ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು ಬಿ c ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. (a - b):c = a:c - b:c.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಫಾರ್ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಮೈನ್ಯಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಸಬ್ಟ್ರಾಹೆಂಡ್ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅಂಶದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಸಾಕು.

ಪ್ರಮೇಯ 27.ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಎನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ c ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಬಿಕೆಲಸ abಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶ abಸಂಖ್ಯೆಗೆ ರು , ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಅಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಮೇಲೆ ಜೊತೆಗೆ,ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು b: (a × b):c - (a:c) × b.

ಪುರಾವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ಜೊತೆಗೆ,ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ x ಇರುತ್ತದೆ a:c= x, ಎಲ್ಲಿ a = cx.ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು b,ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ab = (cx)b.ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹಾಯಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ (cx) b = c(x b).ಇಲ್ಲಿಂದ (a b):c = x b= (a:c) b.ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ನಿಯಮದಂತೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು: ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಭಾಗಿಸಲು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಎರಡನೇ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಕು.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಿಯಮದಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತತೆಯ ಮೊದಲ ಪಾಠಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಜನೆಯು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 48 ರಿಂದ 16, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಈ ರೀತಿ ತರ್ಕಿಸುತ್ತಾರೆ: “48 ಅನ್ನು 16 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಎಂದರೆ 16 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ 48 ಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು; ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು 3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ 16×3 = 48. ಆದ್ದರಿಂದ, 48: 16 = 3.

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

1. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

a) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ a ಮತ್ತು bಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ;

ಬಿ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ a ಮತ್ತು bಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಜೊತೆಗೆಮತ್ತು a > b,ಅದು (ಎ - ಬಿ): ಸಿ = ಎ: ಸಿ - ಬಿ: ಸಿ.
2. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನತೆಗಳು ನಿಜವೆಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;

ಸಿ) 850:170 =850:10:17.

ಯಾವ ನಿಯಮವು ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ? ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

3. ವಿಭಜನೆಯ ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದು:

ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡದೆಯೇ, ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವೇ:

a) (40+ 8):2; ಸಿ) 48:3; ಇ) (20+ 28):2;

ಬಿ) (30 + 16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;

ಸಮಾನತೆಗಳು ನಿಜವೇ:

a) 48:6:2 = 48:(6:2); ಬಿ) 96:4:2 = 96:(4-2);

ಸಿ) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ
ಮಾದರಿ:

ಎ) (ಎ+ ಬಿ): ಸಿ; b) ಎ:ಬಿ: ಜೊತೆ; ವಿ) ( a × b): ಜೊತೆ .

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

5. ತರ್ಕಬದ್ಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ; ಅವರ
ನಿಮ್ಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ:

a) (7 × 63):7; ಸಿ) (15 × 18):(5× 6);

ಬಿ) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.

6. ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ:

a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

ಬಿ) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

ಸಿ) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.

7. ಒಂದು ಮೂಲೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜಿಸದೆಯೇ, ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ
ಒಂದು ಅಂಶದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ; ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ:

a) 495:15; ಸಿ) 455:7; ಇ) 275:55;

6) 425:85; ಡಿ) 225:9; ಇ) 455:65.

ಉಪನ್ಯಾಸ 34. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸೆಟ್. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

2. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಣಿಯ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಎಣಿಕೆಯ ಅಂಶಗಳು. ಆರ್ಡಿನಲ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ವಿಶೇಷತೆಯಲ್ಲಿ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ

1. ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ (ವೆಕ್ಟರ್) ಜಾಗ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಉಪಸ್ಥಳಗಳು, ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ.

2. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್. ಒಂದು ಆಧಾರದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್.

3. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ.

4. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಆದೇಶ. "ದೊಡ್ಡ" ಮತ್ತು "ಚಿಕ್ಕ" ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

5. ಗುಂಪು, ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಗುಂಪುಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಉಪಗುಂಪುಗಳು. ಗುಂಪುಗಳ ಸಮರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂ.

6. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಭಜನೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಪ್ರಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅನಂತತೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಘಟನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ.

7. ಕ್ರೋನೆಕರ್-ಕ್ಯಾಪೆಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ (ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಾನದಂಡ).

8. ಹೋಲಿಕೆಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕಡಿತಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಮಾಡ್ಯುಲೋ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಕ್ಲಾಸ್ ರಿಂಗ್. ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಟ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

9. ವಿಭಜನೆಯ ಮಾನದಂಡಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಕೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನ್ವಯ. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ದಶಮಾಂಶಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಧಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು.

10. ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಬೇರುಗಳ ಸಂಯೋಗ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಬಹುಪದಗಳು.

11. ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಹೋಲಿಕೆಗಳು (ಸಾಲ್ವಬಿಲಿಟಿ ಮಾನದಂಡ, ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನಗಳು).

12. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ.

13. ರಿಂಗ್. ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಉಂಗುರಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಉಪ-ಉಂಗುರ. ಉಂಗುರಗಳ ಸಮರೂಪತೆಗಳು ಮತ್ತು ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು. ಕ್ಷೇತ್ರ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕನಿಷ್ಠತೆ.

14. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಗಳು). "ದೊಡ್ಡ" ಮತ್ತು "ಚಿಕ್ಕ" ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

15. ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದಗಳು. ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ. ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಮಹಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು.

16. ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳು. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ. ಸಮಾನತೆಯ ತರಗತಿಗಳು, ಅಂಶ ಸೆಟ್.

17. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್.

18. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು.

19. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ.

20. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು.

21. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರು. ಕರ್ನಲ್ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಚಿತ್ರ. ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಬೀಜಗಣಿತ. ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್‌ನ ಐಜೆನ್‌ವಾಲ್ಯೂಗಳು ಮತ್ತು ಐಜೆನ್ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು.

22. ಸಮತಲದ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು. ವಿಮಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು.

23. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ. ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ.

24. ಸಮಾನ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸಮಾನ ಸಂಯೋಜನೆ.

25. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆ.

26. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಲೋಬಚೆವ್ಸ್ಕಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ.

27. ಚಲನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು. ವಿಮಾನ ಚಲನೆಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ. ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು.

28. ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು (ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ).

29. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು.

30. ಸ್ಕೇಲಾರ್, ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

31. ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಷಯದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ವೇಲ್ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ ಸಿಸ್ಟಮ್.

32. ವಿಮಾನದ ಚಲನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಮಾನ ಚಲನೆಗಳ ಗುಂಪು. ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ.

33. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾದರಿಗಳು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು.

34. ಪ್ಲೇನ್ ಹೋಲಿಕೆ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಮತಲ ಹೋಲಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳು.

35. ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು. ಮೇಲ್ಮೈ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳ ಮೊದಲ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪ.

36. ಸಮಾನಾಂತರ ವಿನ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದಲ್ಲಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಚಿತ್ರ.

37. ಸ್ಮೂತ್ ಸಾಲುಗಳು. ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

38. ಎಲಿಪ್ಸ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಕೋನಿಕ್ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ. ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

39. ದೀರ್ಘವೃತ್ತ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಡೈರೆಕ್ಟರಿ ಆಸ್ತಿ. ಧ್ರುವೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

40. ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಗಳ ಡಬಲ್ ಅನುಪಾತ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ನಿರ್ಮಾಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

41. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಬ್ರಿಯಾನ್‌ಚಾನ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಧ್ರುವಗಳು ಮತ್ತು ಧ್ರುವಗಳು.

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

"ದೊಡ್ಡ" ಮತ್ತು "ಚಿಕ್ಕ" ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ 4 ("ಚಿಕ್ಕ" ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬಗ್ಗೆ). ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಇಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, "ಸಬ್ಸೆಟ್" ಇ ಪದದ ಬದಲಿಗೆ "ಸೆಟ್" ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪುರಾವೆ. O A C Z ಮತ್ತು A ಅನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಮಿತಿಗೊಳಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. 36? ZVa? ಎ(ಬಿ< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

ಈಗ ಬಿ ಎ.

ನಂತರ Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >ಬಗ್ಗೆ).

a - b ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ M ಅನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ A ಸೆಟ್ A ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಂ = (ಸಿ [ ಸಿ = ಎ - ಬಿ, ಎ ಇ ಎ)

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, A 74 0 ರಿಂದ M ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ

ಮೇಲೆ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಎಂ ಸಿ ಎನ್. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ (54, Ch.III) M ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ m ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರ m = a1 - b ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a1? A, ಮತ್ತು M ನಲ್ಲಿ m ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ Ua? ಎ(ಟಿ< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

ಪ್ರಮೇಯ 5 ("ದೊಡ್ಡ" ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬಗ್ಗೆ). ಪ್ರತಿ ಖಾಲಿಯಲ್ಲದ, ಸೀಮಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಪುರಾವೆ. O 74 A C Z ಮತ್ತು A ಅನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ b ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a? ಎ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸೆಟ್ M (r = -a, a? A ನೊಂದಿಗೆ) ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ (-6) ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೆಟ್ M ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಕ್ಕ? MUs? ಎಂ (ರು< с).

ಇದರರ್ಥ ವಾಹ್? ಎ(ಸಿ)< -а), откуда Уа? А(-с >ಎ)

H. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳು. ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗ ಪ್ರಮೇಯ

ಪ್ರಮೇಯ 1 (ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಮೊದಲ ರೂಪ). P(c) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ Z ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು-ಸ್ಥಳದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಾಗಿರಲಿ, 4. ನಂತರ ಕೆಲವು NUMBER a Z ಗಾಗಿ P(o) ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಮತ್ತು P(K) ನಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ K > a ಗೆ P(K -4- 1) ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ P(r) ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ > a (ಅಂದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರವು Z ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ:

Р(а) ಬಿಲ್ಲು > + 1)) ಉಸ್ > аР(с)

ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ a

ಪುರಾವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಎಲ್ಲವೂ P (c) ವಾಕ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಲಿ, ಅಂದರೆ.

1) ಪಿ (ಎ) - ನಿಜ;

2) UK Shch k + ಸಹ ನಿಜ.

ಎದುರುಗಡೆಯಿಂದ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

b > a, ಅದು RF) ತಪ್ಪು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ b a, P(a) ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ನಾವು ಸೆಟ್ M = (z ? > a, P(z) ತಪ್ಪು) ಅನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ನಂತರ ಸೆಟ್ M 0, ರಿಂದ b? M ಮತ್ತು M- ಕೆಳಗಿನಿಂದ a ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ (ಪ್ರಮೇಯ 4, 2), M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಪೂರ್ಣಾಂಕ c ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ c > a, ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, c - 1 > a ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

P(c-1) ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. c-1 = a ಆಗಿದ್ದರೆ, P (c-1) ಸ್ಥಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದ ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ಸಿ-1 > ಎ. ನಂತರ P(c-1) ತಪ್ಪು ಎಂಬ ಊಹೆಯು 1 ಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ? M, ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು M ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, c - 1 > a ಮತ್ತು P(c - 1) ನಿಜ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, P((c-1) + 1) ವಾಕ್ಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಆರ್(ಗಳು) - ನಿಜ. ಇದು c ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ c? ಎಂ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಪೀನೊದ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಕೊರೊಲರಿ 1 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 2 (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಎರಡನೇ ರೂಪ). P(c) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ Z ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಒಂದು-ಸ್ಥಳದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ P(c) ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ K ಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ s K ಗಾಗಿ P(c) ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವದಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ K ಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >TO.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮೇಯ 1, 55, ಅಧ್ಯಾಯ III).

ಪ್ರಮೇಯ 3 (ಗಣಿತದ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನದ ಮೂರನೇ ರೂಪ). ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ Z ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ P(c) ಒಂದು ಸ್ಥಳದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕೆಲವು ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗದ M ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ P(c) ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಗೆ, P(a) ನ ಸತ್ಯವು P(a - 1) ನ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ P(c) ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವ್ಯಾಯಾಮವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ಮೂರನೇ ರೂಪವು ಇತರರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗ M ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟದ ಕೆಲಸ.

ಆದರೆ ಇತರರ ಮೇಲೆ ಮೂರನೇ ರೂಪದ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ P(c) ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಕೆಳಗೆ ನಾವು ಮೂರನೇ ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ." ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ

0, ಒಂದು ವೇಳೆ ಒ ಎ, ಒಂದು ವೇಳೆ > ಒ

ಮತ್ತು, ಒಂದು ವೇಳೆ< 0.

ಹೀಗಾಗಿ, 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ? ಎನ್.

ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಓದುಗರನ್ನು ವ್ಯಾಯಾಮವಾಗಿ ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯ (ಉಳಿದ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ). ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, ಅಲ್ಲಿ b 0, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು q U m ಅಂದರೆ r: bq + T L D.

ಪುರಾವೆ.

1. ಜೋಡಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ (q, m).

ಎ, ಬಿ? Z ಮತ್ತು 0. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು q ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ

ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ b ಗಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ನಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ.

M = (mlm= n lbl,n? N).

M C ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ f: N M, ಯಾವುದೇ n ಗೆ f(n) = nlbl ನಿಯಮದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ? ಎನ್, ಒಂದು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಎಂ ಎನ್, ಅಂದರೆ. ಎಂ- ಅನಂತವಾಗಿ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ a? q ಮತ್ತು m ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯದ M (ಮತ್ತು b- ಸ್ಥಿರ) ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, a (- M. ನಂತರ ಒಂದು pf! ಕೆಲವು n? N? N.

b > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, a = n + O. ಈಗ q = n ಮತ್ತು m O ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ q ಮತ್ತು m ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. b ವೇಳೆ< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

ನಾವು ಈಗ ಅನುಗಮನದ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಿ (ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರ ಬಿ 0) ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (q, m) ಇವೆ

ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ (1 ನೊಂದಿಗೆ) ಸಹ ನಿಜವೆಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಸಮಾನತೆಯಿಂದ c = bq -4- ಇದು bq + (m - 1) ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. (1)

ಪ್ರಕರಣಗಳು ಇರಬಹುದು.

1) m > 0. ನಂತರ 7" - 1 > 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಾಕುವುದು - m - 1, ನಾವು c - 1 - bq + Tl ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜೋಡಿ (q, 7"1,) ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ

0. ನಂತರ c - 1 bq1 + 711 , ಅಲ್ಲಿ q1

0 ಎಂದು ನಾವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು< < Д.

ಹೀಗಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆಯು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ

ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

P. ಜೋಡಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ q, ಇತ್ಯಾದಿ.

a ಮತ್ತು b 0 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (q, m) ಮತ್ತು (q1, ನಂತರ, ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು (*) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ

ಅವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಕಾಶ

ಮತ್ತು bq1 L O< Д.

ಇದು b(q1 -q) m- 7 1 1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ನಾವು ಈಗ q ql ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಂತರ q - q1 0, ಎಲ್ಲಿಂದ lq - q1l 1. ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು lbl ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು φ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ! - q11 D. (3)

ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು:

1. ಪ್ರಮೇಯಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ರ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು 5 1 ರಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

2. ಪ್ರಮೇಯ 3, 1 ರಿಂದ ಕೊರೊಲರಿ 2 ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

3. ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪವಿಭಾಗ H C Z ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ< п + 1, 1 >(ಎನ್? ಎನ್), ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

4. H ಎಂದರೆ ವ್ಯಾಯಾಮ 3 ರಲ್ಲಿನ ಅದೇ ಸೆಟ್ ಎಂದರ್ಥ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ј : M ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1) ј - ಬೈಜೆಕ್ಷನ್;

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) ಮತ್ತು j(nm) = ј(n) j(m) ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ n, m (ಅಂದರೆ ј ಬೀಜಗಣಿತಗಳ (N) ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ , 4, ಮತ್ತು (H, + ,).

5. 2 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

6. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ a, b, c ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

7. Z ನಿಂದ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

8. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್ Z ಶೂನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಬೌರ್ಬಕಿ ಎನ್. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಎಂ.: ಮಿರ್, 1965.

2. ವಿನೋಗ್ರಾಡೋವ್ I. M. ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು. M.: ನೌಕಾ, 1972. Z. ಡೆಮಿಡೋವ್ I. T. ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯ. ಎಂ.: ಉಚ್ಪೆಡ್ಗಿಜ್, 1963.

4. ಕಾರ್ಗಪೋಲೋವ್ M.I., ಮೆರ್ಜ್ಲ್ಯಾಕೋವ್ ಯು.ಐ. ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು.

ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1972.

5. ಕೋಸ್ಟ್ರಿಕಿನ್ A.I. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಚಯ. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1994.

ಬಿ. ಕುಲಿಕೋವ್ ಎಲ್ ಯಾ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಎಂ.: ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಶಾಲೆ, 1979.

7. ಕುರೋಶ್ ಎ.ಜಿ. ಉನ್ನತ ಬೀಜಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1971.

8. ಲ್ಯುಬೆಟ್ಸ್ಕಿ V. A. ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1987.

9. ಲಿಯಾಪಿನ್ EU. ಮತ್ತು ಇತರರು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1967.

10. ಮಾಲ್ಟ್ಸೆವ್ A.I. ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1970.

11. ಮೆನ್ಡೆಲ್ಸನ್ ಇ. ಗಣಿತದ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯ. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1971.

12. ನೆಚೇವ್ V.I. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1975.

13. ನೋವಿಕೋವ್ ಪಿ.ಎಸ್. ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಅಂಶಗಳು. ಎಂ.. ವಿಜ್ಞಾನ, 1973.

14. ಪೆಟ್ರೋವಾ V. T. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು.: 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ.

CHL. ಎಂ.: ವ್ಲಾಡೋಸ್, 1999.

15. ಶಾಲೆಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್ ದೃಢೀಕರಣದ ಆಧುನಿಕ ಅಡಿಪಾಯ. ಕಲಂ.: ವಿಲೆಂಕಿನ್ ಎನ್.ಯಾ., ಡುನಿಚೆವ್ ಕೆ.ಐ., ಕಾಲ್ಟ್ಜ್ನಿನ್ LA ಸ್ಟೋಲಿಯಾರ್ A.A. ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 1980.

16. Skornyakov L. A. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳು. ಎಂ.: ನೌಕಾ, 1980.

17. ಸ್ಟೊಮ್ ಆರ್.ಆರ್. ಸೆಟ್, ತರ್ಕ, ಅಕ್ಷೀಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು. ಎಂ.; ಜ್ಞಾನೋದಯ, 1968.

18. ಸ್ಟೋಲಿಯಾರ್ A. A. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಚಯ. ಮಿನ್ಸ್ಕ್: ಅತ್ಯುನ್ನತ. ಶಾಲೆ, 1971.

19. ಫಿಲಿಪ್ಪೋವ್ V.P. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ವೋಲ್ಗೊಗ್ರಾಡ್: ವಿಜಿಪಿಐ, 1975.

20. ಫ್ರೆಂಕೆಲ್ ಎ., ಬಾರ್-ಹಿಲೆಲ್ I. ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್. ಎಂ.: ಮೀರ್, 1966.

21. Fuchs L. ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಎಂ.: ಮಿರ್, 1965.

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪ್ರಕಟಣೆ ಆವೃತ್ತಿ

ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನೋವಿಚ್ ಕಾರ್ತಶೋವ್

ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್

ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್

O.I. ಮೊಲೊಕಾನೋವಾ ಅವರ ಸಂಪಾದಕೀಯ ತಯಾರಿಕೆ ಮೂಲ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು A. P. ಬೋಸ್ಚೆಂಕೊ ಅವರು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ.

“PR 020048 ದಿನಾಂಕ 12/20/96

ಆಗಸ್ಟ್ 28, 1999 ರಂದು ಪ್ರಕಟಣೆಗಾಗಿ ಸಹಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ 60x84/16. ಕಚೇರಿ ಮುದ್ರಣ ಬೂಮ್. ಮಾದರಿ. M 2. Uel. ಒಲೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್. 8.2 ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಆವೃತ್ತಿ. ಎಲ್. 8.3 ಪರಿಚಲನೆ 500 ಪ್ರತಿಗಳು. ಆದೇಶ 2

ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್ "ಪೆರೆಮೆನಾ"