ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ p-ಆಡಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ p-adic ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು - ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕು. ಈ ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಶೀಲನೆಯಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಆಡಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ, ಅವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವನ್ನು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂವಹನ ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕ - ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಇತರ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ - ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ

ವಿಭಜನೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು, ಆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಏನೆಂದು ತಿಳಿಯುವುದು ಮುಖ್ಯ - ವಿಲೋಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿರುವ ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಘಟಕ ಅಂಶಗಳು ಅಥವಾ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಡಿಕ್ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1:

ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಪುರಾವೆ:

ಒಂದಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆ - ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಡಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅರ್ಥ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಅದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಷರತ್ತಿನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಹೋಲಿಕೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅಂದಿನಿಂದ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಇದರರ್ಥ ಅನುಕ್ರಮವು ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ - ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದೆ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್‌ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವಾಗ ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕ b ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಇನ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. b/a ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು, ಈ ರೂಪದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ -ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಉಂಗುರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು:

ಪರಿಣಾಮ:

ಅಡಿಕ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಕ್ಕೆ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:

ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗ, k >= 0 ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಮತ್ತು, c ವೇಳೆ ಅದೇ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ.

ಎಲ್ಲಾ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು p ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು p ನಿಂದ p ಗೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತವೆ ಮತ್ತು p ಅನ್ನು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ.

2.9 ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರತಿ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

ಇಲ್ಲಿ m ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ p ನ ಘಟಕವಾಗಿದೆ.

2.10. ಪ್ರಮೇಯ. ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು: p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯು p ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ರಿಂಗ್ p ನಲ್ಲಿ ತಲೆಕೆಳಗಾದದ್ದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಮತ್ತು p ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲಿ x p ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ invertible ಆಗಿರುತ್ತದೆ, a . ಆದ್ದರಿಂದ, p ಕ್ಷೇತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವನ್ನು x p ನ ಗುಣಕವಲ್ಲದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು m ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ; m ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, p-ary ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಅಂತಹ p-adic ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ p-ary ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಮತ್ತು, ಪ್ರಾಯಶಃ, ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಮೊದಲು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಕೆಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು "ಶಾಲೆ" ನಿಯಮದಂತೆಯೇ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಲಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಕೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ

ಉನ್ನತ ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣದ ರಾಜ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ

ವ್ಯಾಟ್ಕಾ ರಾಜ್ಯ ಮಾನವೀಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನಗಳ ವಿಭಾಗ
ಗಣಿತ ಬೋಧನೆ

ಅಂತಿಮ ಅರ್ಹತಾ ಕೆಲಸ

ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ: ಗಾಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಉಂಗುರ.

ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ:

5 ನೇ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ

ಗ್ನುಸೊವ್ ವಿ.ವಿ.

___________________________

ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಕರು:

ವಿಭಾಗದ ಹಿರಿಯ ಉಪನ್ಯಾಸಕರು

ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ಸೆಮೆನೋವ್ A.N..

___________________________

ವಿಮರ್ಶಕ:

ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ವಿಜ್ಞಾನ, ಅಸೋಸಿಯೇಟ್ ಪ್ರೊಫೆಸರ್

ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತ ವಿಭಾಗ

ಕೊವ್ಯಾಜಿನಾ ಇ.ಎಂ.

___________________________

ರಾಜ್ಯ ದೃಢೀಕರಣ ಆಯೋಗದಲ್ಲಿ ರಕ್ಷಣೆಗೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರು

ತಲೆ ಇಲಾಖೆ_______________ ವೆಚ್ಟೊಮೊವ್ ಇ.ಎಂ.

« »________________

ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿಯ ಡೀನ್ __________________ ವರಂಕಿನಾ V.I.

ಪರಿಚಯ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ

ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು ಮತ್ತು ಅವನ ಗೌರವಾರ್ಥವಾಗಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾಯಿತು.

ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳ ಹುಡುಕಾಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕೆ.ಗೌಸ್ ಬಂದರು. ಅವರು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದರು

, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಭಾಜ್ಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತೆಯೇ ಭಾಜ್ಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕೆ.ಗೌಸ್ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ವಿಭಜನೆಯ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಅವರು ಸಮರ್ಥಿಸಿದರು; ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಅಂಶಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ: ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು, ಅಪವರ್ತನದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ; ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದೆ; ಸರಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು.

K. ಗೌಸ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಎಂಬ ತನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಿಮ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ:

1. ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.

2. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿ.

ಅಧ್ಯಾಯ 1. ಗಾಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್

, ಎಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈ ಸೆಟ್‌ಗಾಗಿ ರಿಂಗ್ ಆಕ್ಸಿಯಾಮ್‌ಗಳು ಹಿಡಿದಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಈ ಸೆಟ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ . ನಾವು ಇದನ್ನು ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅಂಶದಿಂದ ಉಂಗುರದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ: .

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಂಗುರವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅದಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ, ಸಬ್‌ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ರೂಢಿ , ಅಂದರೆ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಚೌಕ. ಹೀಗಾಗಿ . ರೂಢಿಯ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ: (1) (2) (3) (4) (5) - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್, ಅಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.

ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (2), (3), (5) ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಂಗುರವು ವಿಭಾಜಕಗಳು 0 ಇಲ್ಲದೆ ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಉಂಗುರದ ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ

ಅಂದರೆ (6)

1.1 ರಿವರ್ಸಿಬಲ್ ಮತ್ತು ಅಲೈಡ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್.

ಯಾವ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಲೆಕೆಳಗಾದವು ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಗುಣಾಕಾರ ತಟಸ್ಥವಾಗಿದೆ

. ಒಂದು ಗೌಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ , ನಂತರ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ಅಂತಹ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ. ಆಸ್ತಿ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ ರೂಢಿಗಳಿಗೆ ಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ . ಆದರೆ ಈ ರೂಢಿಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಇದರರ್ಥ, ಆಸ್ತಿ 4 ಮೂಲಕ, . ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಈ ಗುಂಪಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ತಲೆಕೆಳಗಾದವು, ರಿಂದ . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ರೂಢಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ತಲೆಕೆಳಗಾದವು, ಅಂದರೆ, , .

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಎಂದಿನಂತೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ

ಷೇರುಗಳು ಮೇಲೆ, ಯಾವುದೇ ಗಾಸಿಯನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. (7) (8) (9) (10) , ಅಲ್ಲಿ (11) (12)

ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ (8), (9), (11), (12). ನ್ಯಾಯ (7) (2) ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು (10) (6) ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ (9), ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳು

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಮಿರಿಂಗ್‌ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. a + x = bಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ.ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಮಿರಿಂಗ್‌ನಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ವ್ಯವಕಲನ.

3.1.5. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಉಂಗುರ ಕೊಡಲಿ (TO,+,?). ಯಾವುದಕ್ಕೂ a,beKವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಬಿ-ಎಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ a + x = b.ಪ್ರದರ್ಶನ KxK -» TO, ಇದು ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ (b>a)ಅಂಶ ಬಿ-ಎ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ವ್ಯವಕಲನದ ಮೂಲಕ, ಮತ್ತು ಅಂಶ ಬಿ-ಎಎಂದು ಕರೆದರು ವ್ಯತ್ಯಾಸಅಂಶಗಳು ಬಾ.

ನೇರ ತಪಾಸಣೆಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ b + (-a)ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ a + x = b,ಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಪರಿಹಾರದ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯಿಂದ b-a = b + (-a).

ಉಂಗುರದ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿಯೂ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

3.1.6. ಪ್ರಮೇಯ. ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಕೆ, +, ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ, ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರುವಾಗ (N 9 +, ), ಇದಲ್ಲದೆ, K ನಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದುನೈಸರ್ಗಿಕಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ a e K ಗೆಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಸೋಮಎನ್ಇ ಎನ್ ಅಂತಹ ಎ = ಟಿ -ಎನ್.

ಪುರಾವೆ. (=>) K, +, ) ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಲಿ ಮೇ ಕೆ.ಅಂಶ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ಎಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ 2) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.1.2 ರಿಂದ, ಕೆ = Z= N^j(0)kj-N. EcnuaeN, ನಂತರ a =(ಎ+ 1)-1; th g (0) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ a = p-p,ಎಲ್ಲಿ ಎನ್ ಇ ಎನ್; ಒಂದು ವೇಳೆ ಇ-ಎನ್, ಅದು ಎ = -ಪುಮತ್ತು ಎ = 1 - (ಪು +1).

(K, +, ) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಮಿರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಎನ್,+,) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ TOಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ TO= ;Vu(0)u-;V = Z. ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ aeKಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ t, p eಎನ್ಅಂತಹ a = m -p.ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಟಿಮತ್ತು ಎನ್ಒಂದು ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು ಹೊಂದಿದೆ: ಎರಡೂ ಟಿ = ಎನ್ + ಗೆಕೆಲವು ನಲ್ಲಿ ಕೆ ಇ ಎನ್, ಅಥವಾ ಟಿ = ಎನ್, ಅಥವಾ n = t + 1ಕೆಲವು ಕಡೆ / ಇ ಎನ್. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ a = m-n = k e N,ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ a = t - n= 0 € (0), ಮತ್ತು ಮೂರನೇಯಲ್ಲಿ ಎ = m - n = -le -N. ?

ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು

• 1. ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಸೆಮಿರಿಂಗ್‌ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಎ+ .v = ಗಂಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
• 2. ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ a+x - bಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
• 3. ಉಂಗುರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ: ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಮತ್ತು ನಾನ್-ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್, ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದೆ, ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ.
• 4. ಯಾವುದೇ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಕೋಚನದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೇರ್ಪಡೆ ಹೊಂದಿದೆಯೇ (ಅಂದರೆ a + c = b + cಮಾಡಬೇಕು a -b)1ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ (ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ac = ಕ್ರಿ.ಪೂಮತ್ತು ಇದರೊಂದಿಗೆ* 0 ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ a = bу>
• 5. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಚಿತ್ರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
• 6. ಅವರು ಉಂಗುರ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ (TO,+,) ಒಂದರೊಂದಿಗೆ ಇ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ 0 ಎನ್€ L" ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಲ್ಲ * 0. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ( ಅಲ್ಲ|« e Z J ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರಿಂಗ್‌ಗೆ ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಕಿರು-ರೂಪದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ ? ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ 0.
• 7. ಒಂದು ಉಂಗುರವನ್ನು ನೀಡಲಿ (TO,+, > ಒಂದರ ಜೊತೆಗೆ ಇ.ಅಂಶ aeKಎಂದು ಕರೆದರು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ, ಅದಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ a~"ಅಂತಹ a~ [ = a "a=e.ರಿಂಗ್ನ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ, ಅದು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ ವಿಲೋಮ ಅಂಶವಿದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ, ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗುಣಾಕಾರ ರಿಂಗ್ ಗುಂಪುಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಗೆ*.ಉಂಗುರಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ (Z, +, > ಮತ್ತು (?А+, ).
• 8. ಎರಡು ಸಬ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಛೇದಕವು ಸಬ್ರಿಂಗ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. 2Z ಮತ್ತು 3Z, 6Z ಮತ್ತು 15Z ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, kZಮತ್ತು mZ
• 9. ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್‌ನ ಸಬ್ರಿಂಗ್ // (TO,+, > ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ ಆದರ್ಶ,ಅದು ಉಂಗುರದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳಬಲ್ಲದು, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಗಂಇ ಎನ್

ಮತ್ತು EC ಗೆಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಖಮತ್ತು hkಸೇರಿದೆ ಎನ್. ಯಾವುದೇ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ a,a2 *..."e LG, ಸೆಟ್ ಎನ್ = {ಕ + ಕೆ2 (i2 + -- + k n a n)ಉಂಗುರದ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ (TO,+, ), ಇದನ್ನು (d,a 2 "-"i i > (ಓದಿ: A|,a 2 ಎಂಬ ಅಂಶಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾದ ಆದರ್ಶ, ಎ").ನಲ್ಲಿ;; = 1 ಅಂತಹ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯಮತ್ತು (a,) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಿ mZಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಪ್ರಮುಖ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ (Z, +, >.

10. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಆದರ್ಶವು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. (ಸೂಚನೆ: ವೇಳೆ ಎನ್ಉಂಗುರದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ (Z, +, >, ನಂತರ ಎನ್ = (ಟಿ), ಎಲ್ಲಿ ಟಿ- R ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.)

ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೆಮೊರಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಪ್ರಕಾರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಅಥವಾ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಸೀಮಿತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣ -2 15 = -32768 ರಿಂದ 2 15 - 1 = 32767. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ದಶಮಾಂಶ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮ್ 1000 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು! (ಸಾವಿರಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಅಕ್ಷರಗಳು).

ಈ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಾಂಕೇತಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಕ್ಷರವನ್ನು (ಬಿಟ್, ಬೈಟ್, ಅಥವಾ ಇತರ) ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಲು ಎಷ್ಟು ಮೆಮೊರಿಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ವಿವರವಾಗಿ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಸ್ಥಾನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರದ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10. ದಶಮಾಂಶ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಲಿಖಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು (ಕೇವಲ, ಬಹುಶಃ, ಬೇರೆ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ) ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ "ಅಗ್ಗದ" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯು "ದುಬಾರಿ". ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ, ಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವೆಚ್ಚ (ಏಕ-ಅಂಕಿಯ) ಮತ್ತು ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡನ್ನೂ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದ್ದವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ (ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್) ರೇಖೀಯಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಕಾನೂನು. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಂಶದ ಸಂಭವನೀಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ) ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಧಾರವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು 2 30 ರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರಬಹುದು), ಈ ವಿಧಾನವು ನಿಷ್ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ (ದಶಮಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ). ಅವರ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು -ary ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ):

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ A-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ k > 1-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ: k-ary ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ A ಸಂಖ್ಯೆಯ A-ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ A > 0 bi:= A ವರೆಗೆ i:= 0 ಚಕ್ರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ (mod k ) A:= i:= i + 1 ಚಕ್ರದ ಅಂತ್ಯ dA:= i - 1 ಅಂತ್ಯ

ಅದರ k-ary ಸಂಕೇತದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನೀಡಲಾಗಿದೆ: k > 1-ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು k-ary ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ A ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ: A- ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ A ಸಂಖ್ಯೆಯ A- ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ A:= 0 ಚಕ್ರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ b:= ಸರಣಿಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಶ A:= A * k + b ಲೂಪ್ ಅಂತ್ಯದ ಅಂತ್ಯ

1.2. ವ್ಯಾಯಾಮ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದಶಮಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ k-ary ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಏಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು k-ary ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಏಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ "ಕಾಲಮ್" ಎರಡು ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

ಅಂದರೆ ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ 4 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಸೇರ್ಪಡೆಯ 3 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ರ್ಯಾಡಿಕ್ಸ್‌ನ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದ 2 ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಇವುಗಳನ್ನು ಶಿಫ್ಟ್‌ಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ತೂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸದೆಯೇ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು 9 ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ). ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗುಣಾಕಾರವು ಸೇರ್ಪಡೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು "ದುಬಾರಿ" ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಶಿಫ್ಟ್ಗಿಂತ "ಹೆಚ್ಚು ದುಬಾರಿ" ಆಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ದುಬಾರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಗುಣಿಸುವಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ತೊಂದರೆ 4 ಆಗಿದೆ.

ವಿಭಾಗ 5 ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಏಕೈಕ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಲ್ಲ. ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು, ನೀವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ತುಂಬಾ "ಅಗ್ಗ" ಆಗುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವೆಚ್ಚವು ಅಸಮಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಲಾಭವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಶೇಷಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಕಾಪ್ರೈಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಬಳಸಬಹುದು, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೀರಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿರ. ಶೇಷ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹು-ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸುವಾಗ ಅಥವಾ ಔಟ್‌ಪುಟ್ ಮಾಡುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಬಹು-ನಿಖರವಾದ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು.

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತಇತರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮುಂದೆ "+" ಚಿಹ್ನೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನ ಗ್ರಹಿಕೆಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರೂಪವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಅವಶ್ಯಕತೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗ್ರಹಿಕೆಯು ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಕಿಯ ಮೊದಲು ಸೊನ್ನೆಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಬಾರದು.

1.3. ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು.

1. m-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n-ಅಂಕಿಯ ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾಗ ಬಳಸಲಾಗುವ ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ.
2. ಎರಡು ಎರಡು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೇವಲ 3 ಏಕ-ಅಂಕಿಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.
3. ಅಂಶದ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುವಾಗ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹುಡುಕಾಟದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ದೀರ್ಘ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
4. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು m-ary ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ n-ary ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
5. IN ರೋಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: I - ಒಂದು, V - ಐದು, X - ಹತ್ತು, L - ಐವತ್ತು, C - ನೂರು, D - ಐದು ನೂರು, M - ಸಾವಿರ. ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆ 1948 ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: MCMXLVIII. ರೋಮನ್‌ನಿಂದ ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿ). ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳು: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಮತ್ತು ರೋಮನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
7. ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮಿಶ್ರ ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಧಾರ, ನಮಗೆ n ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಿದರೆ M = (m 1 , . . . , m n) (radix) ಮತ್ತು K = (k 0 , k 1 , . . , k n) ಸಂಕೇತವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · ·+m n ·k n)...)). ಡೇಟಾವನ್ನು (ವಾರದ ದಿನ, ಗಂಟೆಗಳು, ನಿಮಿಷಗಳು, ಸೆಕೆಂಡುಗಳು) ಆಧರಿಸಿ, ವಾರದ ಆರಂಭದಿಂದ ಎಷ್ಟು ಸೆಕೆಂಡುಗಳು ಕಳೆದಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ (ಸೋಮವಾರ, 0, 0, 0) = 0, ಮತ್ತು ರಿವರ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಡೆಫ್.ರಿಂಗ್ K ಯ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಮತ್ತು K ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದರೆ (N ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ) ರಿಂಗ್ K ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

T1.ಅವಕಾಶ - ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು, ಅದರಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಣಾಕಾರವಿದೆ ಮತ್ತು 1 N ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಬೀಜಗಣಿತ Z= ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರವಾಗಿದೆ.

ಡಾಕ್.ಬೀಜಗಣಿತ Z ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಉಂಗುರ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಬೀಜಗಣಿತ - ಉಂಗುರದ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಯೋಜಕ ಗುಂಪಿನಂತೆ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

a, b, c ಗಳು Z ಸೆಟ್‌ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶಗಳಾಗಿರಲಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂತೋಷವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಲೆಟ್ (1) a=m-n, b=p-q, c=r-s (m, n, p, q, r, s N).

Z ನಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np) ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ b*a= (p-q)*(m-n)=(pm+qn)-(pn+qm), ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಣಾಕಾರವು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, (1) ಮತ್ತು (2) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(r-s)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+ mqr) +npr+nqs);

(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](r-s)=[(mp+nq)-(mq+np)](r-s)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+ nqs +mqr+npr).

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, a*(b*c)= (a*b)*c.

ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಂಶ 1 ತಟಸ್ಥವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 2 ರಿಂದ ಯಾವುದೇ a ಗೆ ನಾವು a*1=(m-n)(1-0)=m*1-n*1=m-n=a ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತ ಪರಿವರ್ತಕ ಮಾನೋಯಿಡ್ ಆಗಿದೆ.

ಡೆಫ್.ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b ಗಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ k ಇದ್ದರೆ a + k = b ಮತ್ತು k 0, ಆಗ ಅವರು "a ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ b" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು a ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ b ವೇಳೆ ಮತ್ತು b ವೇಳೆ ಮಾತ್ರ

T2. Z= ಎಂದು ಬಿಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ. ನಂತರ: 1) ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ a ಮತ್ತು b, ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ: a

2) ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ a, ಒಂದು ಮತ್ತು ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ: a<0, a=0, 0

3) ವರ್ತನೆ< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

ಎ

4) ವರ್ತನೆ<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

ಒಂದು ವೇಳೆ 0, ನಂತರ ac

ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಟಿ. a ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು b ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಬೇರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದನ್ನು a=bq+r ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ, ಅಲ್ಲಿ 0 r

ಶೇಷದೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಶೇಷವನ್ನು ಲಾಭಾಂಶ ಮತ್ತು ಭಾಜಕದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟಿ.ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ a, b ಮತ್ತು b>0, ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ q ಮತ್ತು r ಇರುತ್ತದೆ: (1) a=bq+r ಮತ್ತು 0 r

ಡಾಕ್.ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು q, r ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ (1). ಮೊದಲಿಗೆ, a ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಾವು b ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು (2) q, r ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ (1) ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆ ಎಂದು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

a=0 ಗಾಗಿ, ಹೇಳಿಕೆ (2) ನಿಜ, ಏಕೆಂದರೆ 0=b*0+0. a=n ಗೆ (2) ಸರಿ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. q, r ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆ ಅಂದರೆ (3) n=bq+r ಮತ್ತು 0 r

ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕ.ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ c ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಭಾಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ a 1, ..., a n ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಜಕವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಡೆಫ್. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮಹಾನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕ a 1, ..., a n ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ.

ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು a 1 , …, a n ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

a 1 , ..., a n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ gcd ಅನ್ನು gcd (a 1 , ..., a n) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ gcd ಅನ್ನು nod (a 1 , ..., a n) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ 1. d ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ gcd ಆಗಿದ್ದರೆ a 1, ..., a n, ನಂತರ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಸೆಟ್ d ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಜಕಗಳ ಸೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ 2. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಜಿಸಿಡಿಗಳು a 1 , …, a n ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. d ಎಂಬುದು a 1, …, a n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ gcd ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ (-d) ಕೂಡ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ gcd ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಜಿಸಿಡಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನ.

ಆಫರ್. a ಮತ್ತು b ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ, b≠0 ಮತ್ತು (1) a=bq+r (0 r<|b|).

ನಂತರ ನೋಡ್(a,b)=nod(b,r).

ಡಾಕ್. (1) ರಿಂದ a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು r=a-bq ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು b ಮತ್ತು r ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಸೆಟ್ b ಮತ್ತು r ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕವು b ಮತ್ತು r ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ನೋಡ್(ಎ,ಬಿ)=ನಾಡ್(ಬಿ,ಆರ್).

b|a, ಅಲ್ಲಿ b≥1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ನೋಡ್(a,b)=b. ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, "ಅನುಕ್ರಮ ವಿಭಜನೆ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ, ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಿಂದಾಗಿ, a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು b ಮತ್ತು r ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನೋಡ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

a=0 ಆಗಿದ್ದರೆ, b=0*c=0 ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯವು ನಿಜವಾಗಿದೆ. a≠0 ಆಗಿದ್ದರೆ, (1) ರಿಂದ ಅದು cd=1 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮಾನತೆ cd=1 ಇದು d= 1 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, a=bd; ಆದ್ದರಿಂದ a= b. ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಡಿಮೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಸಂಖ್ಯೆ.ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ a 1, ..., a n ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ.

ಡೆಫ್. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರ a 1, ..., a n ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. Ob-i: LCM(a 1, ..., a n). ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವು 1, ..., a n, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Sl-ಅಂದರೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಕಗಳು a 1 , …, a n Z ನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. m ಸಂಖ್ಯೆಯು LCM (a 1 , …, a n) ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆ (-m) LCM (a 1 , …, a n) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

Sl-ಅಂದರೆ. m ಎಂಬುದು a 1, ..., a n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಸೆಟ್ m ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಸೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.