Од курсот за програмирање знаеме дека цел број може да се претстави во компјутерската меморија на различни начини, особено, ова претставување зависи од тоа како е опишано: како вредност од типот цел број, или реален или стринг. Покрај тоа, во повеќето програмски јазици, цели броеви се подразбираат како броеви од многу ограничен опсег: типичен случај е од -2 15 = -32768 до 2 15 - 1 = 32767. Системи компјутерска алгебрасе справи со големи цели броеви, особено, секој таков систем може да пресметува и прикажува броеви од формата 1000 во децимална нотација! (повеќе од илјада знаци).

Во овој курс, ќе го разгледаме претставувањето на цели броеви во симболична форма и нема да навлегуваме во детали за тоа каква меморија е наменета за снимање на еден знак (бит, бајт или друг). Највообичаено е да се претставуваат цели броеви во системи на позиционен број. Таквиот систем се одредува со изборот на база на броеви, на пример, 10. Множеството од децимални цели обично се опишува на следниов начин:

Писмената дефиниција за цели броеви дава недвосмислена претстава за секој таков број, а слична дефиниција (само, можеби, со различна основа) се користи во повеќето системи компјутерска алгебра. Користејќи го ова претставување, погодно е да се имплементираат аритметички операции на цели броеви. Покрај тоа, собирањето и одземањето се релативно „евтини“ операции, додека множењето и делењето се „скапи“. При проценка на сложеноста на аритметичките операции, треба да се земе предвид и цената на елементарната операција (едноцифрена) и бројот на едноцифрени операции за извршување на која било операција на повеќецифрени броеви. Комплексноста на множењето и делењето се должи, пред сè, на фактот дека како што се зголемува должината на бројот (неговото запишување во кој било броен систем), бројот на елементарни операции се зголемува според квадратен закон, за разлика од линеарните закон за собирање и одземање. Дополнително, она што обично го нарекуваме алгоритам за делење повеќецифрени броеви всушност се заснова на пребарување (често доста значајно) на можната следна цифра од количникот и не е доволно едноставно да се користат правилата за делење на едноцифрени броеви. Ако основата на нумеричкиот систем е голема (често може да биде од редот на 2 30), овој метод е неефикасен.

Нека е природен број (запишан во децимален систем). За да го добие неговиот рекорд во системот на броеви -ary, можете да го користите следниов алгоритам (го означува целиот дел од бројот):

Дадено: А-природен број во децимален броен систем k > 1-природен број Потребно е: А-запишување на бројот А во к-арискиот броен систем Започнете i:= 0 циклус до A > 0 bi:= A (мод k ) A:= i:= i + 1 крај на циклусот dA:= i - 1 крај

За да се врати децимален број од низата на неговата k-ари нотација, се користи следниов алгоритам:

Дадено: k > 1-природна броена низа од цифри што го претставуваат бројот А во к-арискиот систем Потребно е: А-запишување на бројот А во декадниот броен систем Почеток A:= 0 циклус до крајот на низата b:= следен елемент од низата A:= A * k + b крај на јамката Крај

1.2. ВЕЖБА. Објаснете зошто делењето се користи за претворање на број од децимален систем во к-ари систем, а множењето се користи за претворање од к-ари систем во децимален систем.

Со множење со „колона“ два двоцифрени броеви во декадниот броен систем, ги извршуваме следните операции:

(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + bd,

т.е. 4 операции на множење на едноцифрени броеви, 3 операции на собирање и 2 операции на множење со моќност на радиксот, кои се сведуваат на поместување. Кога ја оценувате сложеноста, можете да ги земете предвид сите елементарни операции без да ги делите по тежини (во овој пример имаме 9 елементарни операции). Со овој пристап, проблемот на оптимизирање на алгоритмот се сведува на минимизирање на вкупниот број на елементарни операции. Сепак, може да се смета дека множењето е „поскапа“ операција од собирањето, што, пак, е „поскапо“ од смената. Имајќи ги предвид само најскапите операции, го добиваме тоа мултипликативенТешкотијата за множење на двоцифрени броеви во колона е 4.

Во делот 5 се разгледуваат алгоритми за пресметување на најголемите заеднички делители и се проценува нивната сложеност.

Разгледаната претстава не е единственото канонско претставување на цели броеви. Како што веќе беше забележано, за да изберете канонско претставување, можете да ја искористите единственоста на распаѓањето на природен број на прости фактори. Ова претставување на цел број може да се користи во оние задачи каде што се користат само операции за множење и делење, бидејќи тие стануваат многу „евтини“, но цената на операциите за собирање и одземање се зголемува несразмерно, што ја спречува употребата на такво претставување. Во некои проблеми, напуштањето на канонската репрезентација дава значителна добивка во перформансите, особено може да се користи делумна факторизација на одреден број. Сличен метод е особено корисен кога работите не со броеви, туку со полиноми.

Ако се знае дека за време на работата на програмата, сите цели броеви што се среќаваат во пресметките се ограничени во апсолутна вредност со одредена константа, тогаш за да се дефинираат таквите броеви, може да се користи нивниот систем на остатоци, модули на некои копрости броеви, чиј производ надминува споменатата константа. Пресметките со класите на остатоци се генерално побрзи од аритметиката со повеќе прецизност. И со овој пристап, аритметиката со повеќе прецизност треба да се користи само при внесување или издавање информации.

Забележете дека, заедно со канонските претстави во системите компјутерска алгебраСе користат и други претстави. Особено, пожелно е присуството или отсуството на знакот „+“ пред цел број да не влијае на перцепцијата на компјутерот за тоа. Така, за позитивните броеви се добива двосмислена претстава, иако формата на негативните броеви е единствено одредена.

Друг услов е дека на перцепцијата на број не треба да влијае присуството на нули пред првата значајна цифра.

1.3. ВЕЖБИ.

1. Проценете го бројот на едноцифрени множење што се користат при множење на m-цифрен број со n-цифрена колона.
2. Покажете дека два двоцифрени броеви можат да се множат со само 3 едноцифрени множење и зголемување на бројот на собирања.
3. Најдете алгоритам за делење долги броеви за кој не е потребно многу пребарување при наоѓање на првата цифра од количникот.
4. Опишете алгоритам за претворање на природни броеви од m-ary броен систем во n-ary броен систем.
5. ВО римско нумерирањеСледниве симболи се користат за пишување броеви: I - еден, V - пет, X - десет, L - педесет, C - сто, D - петстотини, M - илјади. Симболот се смета за негативен ако десно од него има симбол на поголем број, а инаку позитивен. На пример, бројот 1948 во овој систем ќе биде напишан вака: MCMXLVIII. Формулирајте алгоритам за претворање на број од римски во децимален и назад. Спроведување на добиениот алгоритам на еден од алгоритамските јазици (на пример, C). Ограничувања на изворните податоци: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Формулирајте алгоритам и напишете програма за собирање природни броеви во римско нумерирање.
7. Ќе кажеме дека имаме работа со броен систем со мешана или векторска основа, ако ни е даден вектор од n природни броеви M = (m 1 , . . . , m n) (радикс) и ознаката K = (k 0 , k 1 , . . , k n) го означува бројот k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · · + m n ·k n)...)). Напишете програма која, врз основа на податоци (ден во неделата, часови, минути, секунди), одредува колку секунди поминале од почетокот на неделата (понеделник, 0, 0, 0) = 0, и ја врши обратната трансформација.

Федерална агенција за образование

Државна образовна институција за високо стручно образование

Државниот хуманитарен универзитет Вјатка

Математички факултет

Катедра за математичка анализа и методи
настава по математика

Конечна квалификациска работа

на тема: Гаусовиот целоброен прстен.

Завршено:

студент од 5-та година

Математички факултет

Гнусов В.В.

___________________________

Научен раководител:

виш предавач на катедрата

алгебра и геометрија

Семенов А.Н.

___________________________

Рецензент:

Кандидат по физика и математика науки, вонреден професор

Катедра за алгебра и геометрија

Ковјазина Е.М.

___________________________

Примен на одбрана во Државната комисија за атестирање

Глава Одделение________________ Вечтомов Е.М.

« »________________

Деканот на Факултетот ____________________ Варанкина В.И.

Вовед.

Прстен од сложени цели броеви

бил откриен од Карл Гаус и наречен Гаусиан во негова чест.

К. Тој го префрли концептот на цел број на броеви од формата

, каде што се произволни цели броеви, и е коренот на равенката. Тој ја потврди валидноста на основните својства на деливоста; покажа дека во прстенот на сложени броеви има само четири инвертибилни елементи: ; ја докажа валидноста на теоремата за делење со остаток, теоремата за единственоста на факторизацијата; покажа кои прости природни броеви ќе останат прости во прстен; ја откри природата на едноставните цели и сложените броеви.

Теоријата развиена од К. Гаус, опишана во неговото дело Аритметички студии, беше фундаментално откритие за теоријата на броеви и алгебра.

Во последната работа беа поставени следните цели:

1. Развијте ја теоријата за деливост во прстенот на Гаусови броеви.

2. Откријте ја природата на простите гаусови броеви.

3. Покажете ја употребата на гаусови броеви при решавање на обични диофантински задачи.

ГЛАВА 1. ПОДЕЛБА ВО ПРстенот на БРОЕВИТЕ НА ГАУС.

Да го разгледаме множеството сложени броеви. По аналогија со множеството реални броеви, во него може да се разликува одредено подмножество цели броеви. Збир на броеви на формуларот

, Каде Да ги наречеме сложени цели броеви или Гаусови броеви. Лесно е да се потврди дали важат аксиомите на прстенот за овој сет. Така, ова збир на сложени броеви е прстен и се нарекува прстен од Гаусови цели броеви . Да го означиме како , бидејќи е продолжување на прстенот по елемент: .

Бидејќи прстенот на Гаусови броеви е подмножество на сложени броеви, некои дефиниции и својства на сложените броеви важат за него. Така, на пример, за секој Гаусов број

одговара на вектор со почеток во точката и крај во . Оттука, модул има Гаусови броеви. Забележете дека во множеството што се разгледува, субмодуларниот израз е секогаш ненегативен цел број. Затоа, во некои случаи е поудобно да се користи нормата , односно квадратот на модулот. Така. Може да се разликуваат следните својства на нормата. За сите гаусови броеви е точно следново: (1) (2) (3) (4) (5) - множество природни броеви, односно позитивни цели броеви.

Валидноста на овие својства е тривијално потврдена со помош на модулот. Привремено, забележуваме дека (2), (3), (5) важат и за сите сложени броеви.

Гаусовиот броен прстен е комутативен прстен без 0 делители, бидејќи е подпрстен на полето сложени броеви. Ова подразбира мултипликативна контрактилност на прстенот

, тоа е (6)

1.1 РЕВЕРЗИБИЛНИ И СОЈУЗНИ ЕЛЕМЕНТИ.

Ајде да видиме кои гаусови броеви ќе бидат инверзибилни. Множењето неутрално е

. Ако е гаусовиот број реверзибилна , тогаш, по дефиниција, постои такво што . Поминувајќи кон нормите, според својството 3, добиваме . Но, затоа овие норми се природни. Ова значи, со својство 4, . Спротивно на тоа, сите елементи на ова множество се инвертибилни, бидејќи . Следствено, броевите со норма еднаква на една ќе бидат инверзибилни, односно , .

Како што можете да видите, не сите гаусови броеви ќе бидат инверзибилни. Затоа е интересно да се разгледа прашањето за деливост. Како и обично, ние го кажуваме тоа

акции на , ако постои таков што за кои било гаусови броеви, како и за инвертибилните, својствата се валидни. (7) (8) (9) (10) , каде што (11) (12)

Лесно се проверува (8), (9), (11), (12). Правдата (7) следи од (2), а (10) следи од (6). Поради својство (9), елементите на множеството

Природните броеви не се прстен, бидејќи 0 не е природен број, а исто така и за природните броеви нема природни спротивности. Структурата формирана од природни броеви се нарекува половина прстен.Поточно,

Половина прстенсе нарекува комутативна полугрупа во однос на собирање и полугрупа во однос на множење, во која операциите собирање и множење се поврзани со дистрибутивни закони.

Сега да воведеме строги дефиниции за цели броеви и да ја докажеме нивната еквивалентност. Врз основа на идеите за алгебарските структури и фактот дека множеството на природни броеви е семиречки, но не е прстен, можеме да ја воведеме следната дефиниција:

Дефиниција 1.Целобројниот прстен е минимален прстен кој содржи семириум на природни броеви.

Оваа дефиниција не кажува ништо за појавата на такви бројки. Во училишниот курс, цели броеви се дефинираат како природни броеви, нивните спротивности и 0. Оваа дефиниција може да се земе и како основа за конструирање строга дефиниција.

Дефиниција 2.Прстен од цели броеви е прстен чии елементи се природни броеви, нивните спротивности и 0 (и само тие).

Теорема 1. Дефинициите 1 и 2 се еквивалентни.

Доказ: Да го означиме со Z 1 прстенот од цели броеви во смисла на Дефиниција 1, а со Z 2 прстенот од цели броеви во смисла на Дефиниција 2. Прво докажуваме дека Z 2 е вклучен во Z 1 . Навистина, сите елементи на Z 2 се или природни броеви (тие му припаѓаат на Z 1, бидејќи Z 1 содржи семирирање на природни броеви), или нивни спротивности (тие исто така припаѓаат на Z 1, бидејќи Z 1 е прстен, што значи за секој елемент од овој прстен има спротивност, и за секој природен број n О Z 1, –n исто така припаѓа на Z 1), или 0 (0 О Z 1, бидејќи Z 1 е прстен, а во секој прстен има 0), така што секој елемент од Z 2 исто така припаѓа на Z 1, што значи Z 2 Í Z 1. Од друга страна, Z 2 содржи semiring на природни броеви, а Z 1 е минимален прстен кој содржи природни броеви, односно не може да содржи никакви другпрстени кои ја задоволуваат оваа состојба. Но, покажавме дека содржи Z 2, што значи Z 1 = Z 2. Теоремата е докажана.

Дефиниција 3.Прстен од цели броеви е прстен чии елементи се сите можни елементи, претставени како разлика b – a (сите можни решенија на равенката a + x = b), каде што a и b се произволни природни броеви.

Теорема 2. Дефиницијата 3 е еквивалентна на претходните две.

Доказ: Да го означиме со Z 3 прстенот на цели броеви во смисла на Дефиниција 3, а со Z 1 = Z 2, како и досега, прстенот од цели броеви во смисла на дефинициите 1 и 2 (нивната еднаквост е веќе утврдена). Прво докажуваме дека Z 3 е вклучен во Z 2 . Навистина, сите елементи на Z 3 можат да се претстават како некои разлики на природните броеви b – a. За кои било два природни броја, според теоремата за трихотомија, можни се три опции:

Во овој случај, разликата b – и е исто така природен број и затоа припаѓа на Z 2 .

Во овој случај, разликата на два еднакви елементи ја означуваме со симболот 0. Да докажеме дека тоа е навистина нула на прстенот, односно неутрален елемент во однос на собирањето. За да го направите ова, ќе ја искористиме дефиницијата за разликата a – a = x ó a = a + x и ќе докажеме дека b + x = b за кое било природно b. За да се докаже, доволно е да се додаде елементот b на десната и левата страна на еднаквоста a = a + x, а потоа да се користи законот за редукција (сите овие дејства можат да се извршат врз основа на познатите својства на прстените). Нулата му припаѓа на Z 2 .

Во овој случај, разликата a – b е природен број, означуваме

b – a = – (a – b). Да докажеме дека елементите a – b и b – a се навистина спротивни, односно се собираат на нула. Всушност, ако означиме a – b = x, b – a = y, тогаш добиваме дека a = b + x, b = y + a. Со собирање на добиените еднаквости член по член и намалување на b, добиваме a = x + y + a, односно x + y = a – a = 0. Така, a – b = – (b – a) е спротивно на природниот број, односно повторно му припаѓа Z2. Така, Z 3 Í Z 2 .

Од друга страна, Z 3 содржи semiring на природни броеви, бидејќи секој природен број n секогаш може да се претстави како

n = n / – 1 О Z 3 ,

што значи Z 1 Í Z 3 , бидејќи Z 1 е минимален прстен кој содржи природни броеви. Користејќи го веќе докажаниот факт дека Z 2 = Z 1, добиваме Z 1 = Z 2 = Z 3. Теоремата е докажана.

Иако на прв поглед може да изгледа дека нема аксиоми во наведените дефиниции за цели броеви, овие дефиниции се аксиоматски, бидејќи сите три дефиниции велат дека множеството цели броеви е прстен. Според тоа, аксиомите во аксиоматската теорија на цели броеви се условите од дефиницијата за прстен.

Да го докажеме тоа аксиоматската теорија на цели броеви е конзистентна. За да се докаже тоа, неопходно е да се конструира модел на прстен од цели броеви, користејќи очигледно конзистентна теорија (во нашиот случај, ова може да биде само аксиоматска теорија на природни броеви).

Според дефиницијата 3, секој цел број може да се претстави како разлика на два природни броја z = b – a. Дозволете ни да го поврземе со секој цел број z соодветниот пар . Недостаток на оваа кореспонденција е нејзината двосмисленост. Особено, бројот 2 одговара на парот<3, 1 >, и пар<4, 2>, како и многу други. Бројот 0 одговара на пар<1, 1>, и пар<2,2>, и пар<3, 3>, и така натаму. Концептот помага да се избегне овој проблем еквивалентни парови. Да речеме дека двојка еквивалентдвојка , ако a +d = b + c (нотација: @ ).

Воведената релација е рефлексна, симетрична и транзитивна (доказот е оставен на читателот).

Како и секоја еквивалентна релација, оваа релација генерира поделба на множеството од сите можни парови природни броеви во класи на еквивалентност, кои ќе ги означиме како [ ] (секоја класа се состои од сите парови еквивалентни на пар ). Сега можеме да го поврземе секој цел број со добро дефинирана класа на парови природни броеви кои се еквивалентни еден на друг. Множеството од такви класи на парови на природни броеви може да се користи како модел на цели броеви. Да докажеме дека сите аксиоми на прстенот се задоволни во овој модел. За да го направите ова, неопходно е да се воведат концептите на собирање и множење на класи на парови. Ние ќе го направиме тоа според следниве правила:

1) [] + [] = [];

2) [] × [ ] = [].

Да покажеме дека воведените дефиниции се точни, односно не зависат од изборот на конкретни претставници од класите на парови. Со други зборови, ако паровите се еквивалентни @ И @ , тогаш соодветните суми и производи се еквивалентни @ , како и @ .

Доказ: Да ја примениме дефиницијата за еквивалентност на парови:

@ ó a + b 1 = b + a 1 (1),

@ ó c + d 1 = d + c 1 (2).

Додавајќи ги еднаквостите (1) и (2) по член по член, добиваме:

a + b 1 + c + d 1 = b + a 1 + d + c 1.

Сите поими во последното равенство се природни броеви, така што имаме право да ги применуваме комутативните и асоцијативните закони за собирање, што нè води до еднаквост

(a + c) + (b 1 + d 1) = (b + d) + (a 1 + c 1),

што е еквивалентно на условот @ .

За да ја докажеме исправноста на множењето, ја множиме еднаквоста (1) со c, добиваме:

ac + b 1 s = bc + a 1 s.

Потоа ја препишуваме еднаквоста (1) во форма b + a 1 = a + b 1 и се множиме со d:

bd + a 1 d = ad + b 1 d.

Дозволете ни да ги додадеме добиените еднаквости по член по член:

ac + bd + a 1 d + b 1 c = bc + ad + b 1 d + a 1 c,

што значи дека @ (со други зборови, овде го докажавме тоа × @ ,× ).

Потоа ќе ја направиме истата постапка со еднаквост (2), само ќе ја помножиме со a 1 и b 1. Добиваме:

a 1 c + a 1 d 1 = a 1 d + a 1 c 1

b 1 d + b 1 c 1 = b 1 c + b 1 d 1,

a 1 c + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 d 1 = a 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 c 1 ó

ó @

(тука го докажавме тоа × @ ,× ). Користејќи го својството на транзитивност на еквивалентната врска на парови, доаѓаме до потребната еднаквост @ еквивалентен услов

× @ ,× .

Така, се докажа исправноста на воведените дефиниции.

Следно, директно се проверуваат сите својства на прстените: асоцијативниот закон за собирање и множење за класите на парови, комутативниот закон на собирање и дистрибутивните закони. Да дадеме како пример доказ за асоцијативниот закон за собирање:

+ ( +) = + = .

Бидејќи сите компоненти на паровите броеви се природни

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

= <(a + c), (b + d)> + = ( + ) +.

Останатите закони се проверуваат на ист начин (забележете дека посебната трансформација на левата и десната страна на потребната еднаквост на истата форма може да биде корисна техника).

Исто така, неопходно е да се докаже присуството на неутрален елемент со додавање. Тие можат да послужат како класа на парови од формата [<с, с>]. Навистина,

[] + [] = [] @ [], бидејќи

a + c + b = b + c + a (точно за сите природни броеви).

Покрај тоа, за секоја класа на парови [ ] има спротивно на тоа. Таква класа би била класата [ ]. Навистина,

[] + [] = [] = [] @ [].

Може да се докаже и дека воведеното множество класи на парови е комутативен прстен со идентитет (единицата може да биде класа на парови [ ]), и дека сите услови за дефинициите на операциите собирање и множење за природни броеви се зачувани за нивните слики во овој модел. Особено, разумно е да се воведе следниот елемент за природен пар според правилото:

[] / = [].

Дозволете ни да ја провериме, користејќи го ова правило, валидноста на условите C1 и C2 (од дефиницијата за собирање природни броеви). Условот C1 (a + 1 = a /) во овој случај ќе се препише како:

[] + [] =[] / = []. Навистина,

[] + [] = [] = [], бидејќи

a + c / +b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + c + a /

(уште еднаш да ве потсетиме дека сите компоненти се природни).

Состојбата C2 ќе изгледа вака:

[] + [] / = ([] + []) / .

Дозволете ни да ги трансформираме левата и десната страна на оваа еднаквост одделно:

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].

Така, гледаме дека левата и десната страна се еднакви, што значи дека условот C2 е точно. Доказот за состојбата U1 е оставен на читателот. условот U2 е последица на дистрибутивниот закон.

Значи, моделот на прстенот од цели броеви е конструиран, и, следствено, аксиоматската теорија на цели броеви е конзистентна ако аксиоматската теорија на природните броеви е конзистентна.

Својства на операции на цели броеви:

2) а×(–b) = –a×b = –(ab)

3) – (– а) = а

4) (–a)×(–b) = ab

5) a×(–1) = – a

6) a – b = – b + a = – (b – a)

7) – a – b = – (a +b)

8) (a – b) ×c = ac – bc

9) (а – б) – в = а – (б + в)

10) a – (b – c) = a – b + c.

Доказите за сите својства ги повторуваат доказите за соодветните својства за прстените.

1) a + a×0 = a×1 + a×0 = a ×(1 + 0) = a×1 = a, односно a×0 е неутрален елемент во однос на собирањето.

2) a×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0, односно елементот a×(–b) е спротивен на елементот a×b.

3) (– а) + a = 0 (по дефиниција на спротивниот елемент). Слично (– а) +(– (– а)) = 0. Изедначувајќи ги левите страни на еднаквостите и применувајќи го законот за поништување, добиваме – (– а) = а.

4) (–а)×(–б) = –(а×(–б)) = –(–(а×б)) = аб.

5) a×(–1) + a = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0

a×(–1) + a = 0

a×(–1) = –a.

6) По дефиниција, разликата a – b е број x таков што a = x + b. Додавајќи –b од левата страна на десната и левата страна на еднаквоста и користејќи го комутативниот закон, ја добиваме првата еднаквост.

– b + a + b – a = –b + b + a – a = 0 + 0 = 0, што ја докажува втората еднаквост.

7) – a – b = – 1×a – 1×b = –1×(a +b) = – (a +b).

8) (a – b) ×c = (a +(–1)× b) ×c = ac +(–1)×bc = ac – bc

9) (a – b) – c = x,

a – b = x + c,

a – (b + c) = x, т.е

(а – б) – в = а – (б + в).

10) a – (b – c) = a + (– 1)×(b – c) = a + (– 1×b) + (–1)× (– c) = a – 1×b + 1× c = = a – b + c.

Задачи за самостојно решение

бр. 2.1. Во десната колона од табелата, најдете парови еквивалентни на паровите дадени во левата колона од табелата.

А)<7, 5>	1) <5, 7>
б)<2, 3>	2) <1, 10>
V)<10, 10>	3) <5, 4>
G)<6, 2>	4) <15, 5>
	5) <1, 5>
	6) <9, 9>

За секој пар, означете го спротивното.

бр.2.2. Пресметај

А) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; б)[<3, 8>] + [<4, 7>];

V) [<7, 4>] – [<8, 3>]; Г) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

д) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; д) [<2, 10>]× [<10, 2>].

бр.2.3. За моделот на цели броеви опишан во овој дел, проверете го комутативниот закон на собирање, асоцијативните и комутативните закони за множење и дистрибутивните закони.

Деф.Прстенот K се нарекува прстен од цели броеви ако адитивната група на прстенот K е адитивна група на цели броеви и множењето во прстенот K е комутативно и го продолжува множењето на природните броеви (во системот на N природни броеви).

Т1.Нека - адитивна група на цели броеви, во неа има природно множење и 1 е единица на системот од N природни броеви. Тогаш алгебрата Z= е прстен од цели броеви.

Доц.Да покажеме дека алгебрата Z е комутативен прстен. По услов, алгебра - адитивната група на прстен е абелова група, како адитивната група на цели броеви.

Нека a, b, c се произволни елементи од множеството Z. Тие можат да се претстават како радост на природните броеви. Нека (1) a=m-n, b=p-q, c=r-s (m, n, p, q, r, s N).

Природното множење во Z се определува со формулата (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np).

Природното множење е комутативно, бидејќи b*a= (p-q)*(m-n)=(pm+qn)-(pn+qm), а собирањето и множењето на природните броеви се комутативни.

Природното множење е асоцијативно. Всушност, врз основа на (1) и (2) имаме:

a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(r-s)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+ mqr +npr+nqs);

(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](r-s)=[(mp+nq)-(mq+np)](r-s)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+ nqs +mqr+npr).

Според тоа, поради комутативноста на собирање на природни броеви, a*(b*c)= (a*b)*c.

Елементот 1 е неутрален во однос на природното множење. Всушност, за кое било a од 2 имаме a*1=(m-n)(1-0)=m*1-n*1=m-n=a.

Затоа алгебра е комутативен моноид.

Деф.Ако за цели броеви a и b постои природен број k таков што a + k = b и k 0, тогаш тие велат дека „a е помало од или b“ и запишуваат a б ако и само ако б

Т2.Нека Z= прстен од цели броеви. Тогаш: 1) за сите цели броеви a и b, еден и само еден од трите услови е исполнет: a

2) за кој било цел број a, исполнет е еден и само еден од трите услови: а<0, a=0, 0

3) став< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

а

4) став<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

ако а 0, потоа ac

T. за делење со остаток.Нека a е цел број, а b природен број различен од нула. Поделувањето на број a и b со остаток значи негово претставување во форма a=bq+r, каде што 0 r

Поделбата со остаток е секогаш изводлива, а парцијалниот количник и остатокот се единствено определени од дивидендата и делителот.

Т.За сите цели броеви a, b и b>0, постои единствен пар на цели броеви q и r кои ги задоволуваат условите: (1) a=bq+r и 0 r

Доц.Да докажеме дека има барем еден пар на броеви q, r кои ги задоволуваат условите (1). Прво, да го разгледаме случајот кога a е природен број. Го поправаме b и докажуваме со индукција на a дека (2) постои пар цели броеви q, r задоволува (1).

За a=0, тврдењето (2) е точно, бидејќи 0=b*0+0. Да претпоставиме дека (2) е точно за a=n, т.е. има цели броеви q, r такви што (3) n=bq+r и 0 r

Најголем заеднички делител.Цел број c се нарекува заеднички делител на цели броеви a 1, ..., a n ако c е делител на секој од овие броеви.

Деф. Најголемиот заеднички делител на цели броеви a 1, ..., a n е нивниот заеднички делител кој е делив со кој било заеднички делител на овие броеви.

Целите броеви a 1 , …, a n се нарекуваат релативно прости ако нивниот најголем заеднички делител е еднаков на еден.

Gcd од броевите a 1 , ..., a n се означува gcd(a 1 , ..., a n), позитивниот gcd од овие броеви се означува nod(a 1 , ..., a n).

Следно 1. Ако d е gcd од цели броеви a 1, ..., a n, тогаш множеството на сите заеднички делители на овие броеви се совпаѓа со множеството од сите делители на бројот d.

Следно 2. Било кои два gcds од цели броеви a 1 , …, a n се поврзани, т.е. може да се разликува само по знак. Ако d е gcd на броевите a 1, …, a n, тогаш бројот (-d) е исто така gcd на овие броеви.

Евклидовиот алгоритам.Метод за наоѓање на gcd од два цели броеви.

Понуда. Нека a и b се два цели броеви, b≠0 и (1) a=bq+r (0 r<|b|).

Потоа јазол(a,b)=nod(b,r).

Доц. Од (1) произлегува дека секој заеднички делител на броевите a и b е делител на бројот r=a-bq и секој заеднички делител на броевите b и r е делител на бројот a. Според тоа, множеството на сите заеднички делители на броевите a и b се совпаѓа со множеството на сите заеднички делители на броевите b и r. Следи дека позитивниот заеднички делител на броевите a и b се совпаѓа со позитивниот заеднички делител на броевите b и r, т.е. јазол(a,b)=nod(b,r).

Ако b|a, каде b≥1, тогаш очигледно јазол(a,b)=b. За да се пронајдат јазлите од два цели броеви, се користи метод на „секвенцијално делење“, наречен Евклидов алгоритам. Суштината на овој метод е дека, поради предлогот докажан погоре, проблемот со наоѓање на јазлите на броевите a и b се сведува на поедноставната задача за наоѓање на јазлите на броевите b и r, каде што 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

Ако a=0, тогаш b=0*c=0 и теоремата е вистинита. Ако a≠0, тогаш од (1) следува cd=1. Според теоремата, од еднаквоста cd=1 произлегува дека d= 1. Дополнително, a=bd; затоа a= b. Докажано.

Најмалку заеднички множител.Цел број се нарекува заеднички множител на цели броеви a 1, ..., a n ако е делив со секој од овие броеви.

Деф. Најмалиот заеднички множител на цели броеви a 1, ..., a n е нивниот заеднички множител што го дели секој заеднички множител од овие броеви. Об-и: LCM(a 1, …, a n). Позитивниот најмал заеднички множител на броевите a 1, ..., a n, различен од нула, се изразува преку .

Сл-т.е. Било кои две најмали заеднички множители на цели броеви a 1 , ..., a n се поврзани во Z, т.е. може да се разликува само по знак. Ако бројот m е LCM(a 1, …, a n), тогаш бројот (-m) е LCM(a 1, …, a n).

Сл-т.е. Ако m е најмалиот заеднички множител на броевите a 1, ..., a n, тогаш множеството од сите заеднички множители на овие броеви се совпаѓа со множеството од сите множители на бројот m.

Дефиниција:

Збирот и производот на p-адични цели броеви дефинирани со низите и се нарекуваат p-адични цели броеви дефинирани соодветно со низите и.

За да бидеме сигурни во точноста на оваа дефиниција, мора да докажеме дека низите дефинираат некои цели броеви - адиски броеви и дека овие броеви зависат само од, а не од изборот на низите што ги дефинираат. И двете од овие својства може да се докажат со очигледна проверка.

Очигледно е дека со дадената дефиниција за операции на адични цели броеви, тие формираат комуникативен прстен кој го содржи прстенот од рационални цели броеви како подпрстен.

Деливоста на цел број - адични броеви е дефинирана на ист начин како и во кој било друг прстен: ако постои цел број - адичен број таков што

За проучување на својствата на делењето, важно е да се знае кои се тие цели броеви - адични броеви за кои има инверзни цели броеви - адични броеви. Таквите броеви се нарекуваат единични фактори или единици. Ќе ги наречеме адични единици.

Теорема 1:

Цел број е адичен број дефиниран со низа ако и само ако е единица кога.

Доказ:

Нека е едно, тогаш постои цел број - адиски број таков што. Ако е определено со низа, тогаш условот значи дека. Особено, и затоа, обратно, нека Лесно произлегува од условот дека, така што. Затоа, за кое било n може да се најде такво што споредбата е валидна. Оттогаш и тогаш. Тоа значи дека низата дефинира некој цел број - адичен број Споредбите покажуваат дека, т.е. што е единица.

Од докажаната теорема произлегува дека цел број е рационален број. Се смета како елемент на прстенот, ако и само ако е единица кога. Ако овој услов е исполнет, тогаш тој е содржан во. Следи дека секој рационален цел број b е делив со таков во, т.е. дека секој рационален број од формата b/a, каде што a и b се цели броеви и, е содржан во рационалните броеви од оваа форма се нарекуваат -цели броеви. Тие формираат очигледен прстен. Нашиот резултат сега може да се формулира на следниов начин:

Последица:

Прстенот од адични цели броеви содржи подпрстен изоморфен на прстенот на рационални цели броеви.

Дробни p-адични броеви

Дефиниција:

Дропка од формата, k >= 0 дефинира фракционо p-адичен број или едноставно p-адичен број. Две дропки и, дефинирајте ист p-адичен број ако c.

Збирката на сите p-адични броеви се означува со стр. Лесно е да се потврди дека операциите собирање и множење продолжуваат од p до p и го претвораат p во поле.

2.9. Теорема. Секој p-адичен број може да биде единствено претставен во форма

каде што m е цел број и е единица на прстенот p.

2.10. Теорема. Секој р-адичен број што не е нула може да биде единствено претставен во формата

Својства:Полето на p-адични броеви го содржи полето на рационални броеви. Не е тешко да се докаже дека кој било цел број p-адичен број кој не е повеќекратен од p е инвертибилен во прстенот p, а множителот на p е единствено напишан во форма каде што x не е множител на p и затоа е инвертибилен, a . Затоа, секој ненулти елемент од полето p може да се напише во форма каде што x не е множител на p, а m е произволна; ако m е негативен, тогаш, врз основа на претставувањето на целобројни p-adic броеви како низа од цифри во системот p-ary, можеме да напишеме таков p-адичен број како низа, односно формално да го претставиме како p-ary дропка со конечен број на цифри по децималната точка и, можеби, бесконечен број цифри не-нула пред децималната точка. Поделбата на таквите броеви исто така може да се направи слично на правилото „училиште“, но почнувајќи од пониските, а не од највисоките цифри на бројот.