Kama unavyojua, seti ya nambari za asili zinaweza kuamuru kwa kutumia uhusiano wa "chini ya". Lakini sheria za kujenga nadharia ya axiomatic zinahitaji kwamba uhusiano huu usifafanuliwe tu, bali pia ufanyike kwa misingi ya dhana zilizoelezwa tayari katika nadharia hii. Hii inaweza kufanywa kwa kufafanua uhusiano wa "chini ya" kupitia nyongeza.
Ufafanuzi. Nambari a ni chini ya nambari b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Chini ya masharti haya pia inasemekana kuwa idadi b zaidi A na kuandika b > a.
Nadharia 12. Kwa nambari yoyote ya asili A Na b uhusiano mmoja tu kati ya watatu unashikilia: a = b, a > b, A < b.
Tunaacha uthibitisho wa nadharia hii.. Kutoka kwa nadharia hii inafuata kwamba ikiwa
a¹ b, ama A< b, au a > b, hizo. uhusiano "chini" una mali ya kuunganishwa.
Nadharia 13. Kama A< b Na b< с. Hiyo A< с.
Ushahidi. Nadharia hii inaelezea sifa ya mpito ya uhusiano wa "chini ya".
Kwa sababu A< b Na b< с. basi, kwa ufafanuzi wa uhusiano "chini ya", kuna nambari za asili Kwa Kwa hiyo b = a + k na c = b + I. Lakini basi c = (a + k)+ / na kulingana na mali ya ushirika ya nyongeza tunapata: c = a + (k +/). Kwa sababu ya k + mimi - nambari ya asili, basi, kulingana na ufafanuzi wa "chini ya", A< с.
Nadharia 14. Kama A< b, sio kweli hiyo b< а. Ushahidi. Nadharia hii inaelezea mali antisymmetry uhusiano "chini".
Hebu kwanza tuthibitishe hilo kwa si nambari moja ya asili A sio wewe-!>! ■) mtazamo wake A< A. Hebu tuchukue kinyume chake, i.e. Nini A< а hutokea. Kisha, kwa ufafanuzi wa uhusiano "chini ya", kuna nambari ya asili Na, Nini A+ Na= A, na hii inapingana na nadharia ya 6.
Hebu sasa tuthibitishe hilo kama A< b, basi si kweli kwamba b < A. Hebu tuchukue kinyume chake, i.e. nini ikiwa A< b , Hiyo b< а kutekelezwa. Lakini kutoka kwa usawa huu, kwa Theorem 12 tunayo A< а, jambo ambalo haliwezekani.
Kwa kuwa uhusiano wa "chini ya" tuliofafanua ni wa kupinga ulinganifu na wa mpito na una sifa ya muunganisho, ni uhusiano wa mpangilio wa mstari, na seti ya nambari asilia. seti iliyoagizwa kwa mstari.
Kutoka kwa ufafanuzi wa "chini ya" na mali zake, tunaweza kuamua mali inayojulikana ya seti ya nambari za asili.
Nadharia 15. Kati ya nambari zote za asili, moja ni nambari ndogo zaidi, i.e. I< а для любого натурального числа a¹1.
Ushahidi. Hebu A - nambari yoyote ya asili. Kisha kesi mbili zinawezekana: a = 1 na a¹ 1. Kama a = 1, basi kuna nambari ya asili b, Ikifuatiwa na a: a = b " = b + Mimi = 1 + b, yaani, kwa ufafanuzi wa uhusiano wa "chini ya", 1< A. Kwa hivyo, nambari yoyote asilia ni sawa na 1 au kubwa kuliko 1. Au, nambari moja ni ndogo zaidi ya asili.
Uhusiano "chini ya" unahusishwa na kuongeza na kuzidisha namba kwa mali ya monotonicity.
Nadharia 16.
a = b => a + c = b + c na a c = b c;
A< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c na ac > bc.
Ushahidi. 1) Uhalali wa kauli hii unafuata kutokana na upekee wa kujumlisha na kuzidisha.
2) Kama A< b,
basi kuna nambari ya asili kama hiyo k, Nini A
+ k = b.
Kisha b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Kwa)= (a + c) + k. Usawa b+ c = (a + c) + k maana yake a + c< b
+ Na.
Vivyo hivyo inathibitishwa kuwa A< b =>ac< bс.
3) Uthibitisho unafanana.
Nadharia 17(mazungumzo ya Theorem 16).
1) A+ c = b + c au ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с au ac< bcÞ A< Ь:
3) a + c > b+ na au ac > bcÞ a > b.
Ushahidi. Hebu tuthibitishe, kwa mfano, kwamba kutoka ac< bс lazima A< b Hebu tuchukue kinyume chake, i.e. kwamba hitimisho la nadharia haishiki. Basi haiwezi kuwa hivyo a = b. tangu hapo usawa ungeridhika ac = bc(Nadharia 16); haiwezi kuwa A> b, kwa sababu basi itakuwa ac > bc(Nadharia!6). Kwa hivyo, kulingana na Theorem 12, A< b.
Kutoka kwa Nadharia za 16 na 17 tunaweza kupata sheria zinazojulikana za kuongeza muda baada ya muda na kuzidisha ukosefu wa usawa. Tunawaacha nje.
Nadharia 18. Kwa nambari yoyote ya asili A Na b; kuna nambari ya asili n kama hiyo p b> a.
Ushahidi. Kwa mtu yeyote A kuna idadi kama hiyo P, Nini n > a. Ili kufanya hivyo ni ya kutosha kuchukua n = a + 1. Kuzidisha ukosefu wa usawa muda baada ya muda P> A Na b> 1, tunapata pb > A.
Kutoka kwa mali inayozingatiwa ya uhusiano "chini ya", sifa muhimu za seti ya nambari za asili hufuata, ambazo tunawasilisha bila uthibitisho.
1. Sio kwa nambari yoyote ya asili A hakuna nambari ya asili kama hiyo P, Nini A< п < а +
1. Mali hii inaitwa mali
uwazi seti za nambari asilia, na nambari A Na a + 1 inaitwa jirani.
2.
Seti ndogo yoyote isiyo tupu ya nambari asili ina
nambari ndogo zaidi.
3. Ikiwa M- sehemu ndogo isiyo na tupu ya seti ya nambari za asili
na kuna idadi kama hiyo b, hiyo kwa nambari zote x kutoka M haijatekelezwa
usawa x< b, kisha kwa wingi M ndio idadi kubwa zaidi.
Wacha tuonyeshe mali 2 na 3 kwa mfano. Hebu M- seti ya nambari mbili za tarakimu. Kwa sababu M ni kikundi kidogo cha nambari asilia na kwa nambari zote katika seti hii ukosefu wa usawa x< 100, то в множестве M ndio nambari kuu 99. Nambari ndogo zaidi iliyo katika seti fulani M, - nambari 10.
Kwa hivyo, uhusiano "chini ya" ulifanya iwezekanavyo kuzingatia (na katika baadhi ya matukio kuthibitisha) idadi kubwa ya mali ya seti ya nambari za asili. Hasa, imepangwa kwa mstari, tofauti, na ina nambari ndogo zaidi 1.
Watoto wa shule ya msingi wanatambulishwa kwa uhusiano wa "chini ya" ("mkubwa kuliko") kwa nambari asili mwanzoni mwa elimu yao. Na mara nyingi, pamoja na tafsiri yake ya kuweka-nadharia, ufafanuzi uliotolewa na sisi ndani ya mfumo wa nadharia ya axiomatic hutumiwa kikamilifu. Kwa mfano, wanafunzi wanaweza kueleza kuwa 9 > 7 kwa sababu 9 ni 7+2. Matumizi kamili ya sifa za monotonicity ya kuongeza na kuzidisha pia ni ya kawaida. Kwa mfano, watoto wanaelezea kuwa "6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Mazoezi
1, Kwa nini seti ya nambari za asili haiwezi kuagizwa kwa kutumia uhusiano wa "kufuata mara moja"?
Bainisha mtazamo a > b na kuthibitisha kwamba ni mpito na antisymmetric.
3. Thibitisha kwamba ikiwa a, b, c ni nambari za asili, basi:
A) A< b Þ ас < bс;
b) A+ Na< b + sawa> A< Ь.
4. Ni nadharia gani juu ya monotonicity ya kuongeza na kuzidisha inaweza
tumia na watoto wa shule wakati wa kumaliza kazi "Linganisha bila kufanya mahesabu":
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27- 8 ... 27 -18.
5. Ni sifa gani za seti ya nambari asilia zinazotumiwa na watoto wa shule ya msingi wakati wa kufanya kazi zifuatazo:
A) Andika nambari ambazo ni kubwa kuliko 65 na chini ya 75.
B) Taja namba za awali na zinazofuata kuhusiana na namba 300 (800,609,999).
C) Taja nambari ndogo na kubwa kabisa yenye tarakimu tatu.
Kutoa
Katika ujenzi wa axiomatic wa nadharia ya nambari za asili, kutoa kwa kawaida hufafanuliwa kama uendeshaji wa inverse wa kuongeza.
Ufafanuzi. Utoaji wa nambari za asili a na b ni operesheni inayokidhi hali: a - b = c ikiwa na ikiwa tu b + c = a.
Nambari a -b inaitwa tofauti kati ya nambari a na b, nambari A- dakika, nambari b- inayokatwa.
Nadharia 19. Tofauti ya nambari za asili A- b ipo ikiwa na tu ikiwa b< а.
Ushahidi. Acha tofauti A- b ipo. Kisha, kwa ufafanuzi wa tofauti, kuna nambari ya asili Na, Nini b + c = a, ambayo ina maana kwamba b< а.
Kama b< а, basi, kwa ufafanuzi wa uhusiano "chini ya", kuna nambari ya asili c kama hiyo b + c = a. Kisha, kwa ufafanuzi wa tofauti, c = a - b, hizo. tofauti a -b ipo.
Nadharia 20. Ikiwa tofauti ya nambari za asili A Na b ipo, basi ni ya kipekee.
Ushahidi. Tuseme kuna maadili mawili tofauti ya tofauti kati ya nambari A Na b;: a -b= s₁ Na a -b= s₂, na s₁ ¹ s₂ . Halafu, kwa ufafanuzi wa tofauti, tunayo: a = b + c₁, Na a = b + c₂ :. Inafuata hiyo b+ c ₁ = b + c₂ : na kwa kuzingatia nadharia ya 17 tunahitimisha, с₁ = ₂.. Tulikuja kupingana na dhana, ambayo ina maana kwamba ni ya uongo, lakini nadharia hii ni sahihi.
Kulingana na ufafanuzi wa tofauti ya nambari za asili na masharti ya kuwepo kwake, inawezekana kuhalalisha sheria zinazojulikana za kuondoa nambari kutoka kwa jumla na jumla kutoka kwa nambari.
Nadharia 21. Hebu A. b Na Na- nambari kamili.
na kama a > c, kisha (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Kama b > c. basi (a + b) - c - a + (b - c).
c) Kama a > c na b > c. basi unaweza kutumia yoyote ya fomula hizi.
Ushahidi. Katika kesi a) tofauti ya nambari A Na c ipo kwa sababu a > s. Hebu tuashirie kwa x: a - c = x. wapi a = c + x. Kama (A+ b) - c = y. basi, kwa ufafanuzi wa tofauti, A+ b = Na+ katika. Wacha tubadilishe usawa huu badala yake A kujieleza c + x:(c + x) + b = c + y. Wacha tutumie mali ya ushirika ya kuongeza: c + (x + b) = c+ katika. Wacha tubadilishe usawa huu kulingana na mali ya monotonicity ya kuongeza na kupata:
x + b = u..Ikibadilisha x katika usawa huu na usemi a -c, itakuwa na (A- G) + b = y. Kwa hivyo, tumethibitisha kwamba ikiwa a > c, kisha (a + b) - c = (a - c) + b
Uthibitisho unafanywa vivyo hivyo katika kesi b).
Nadharia iliyothibitishwa inaweza kutengenezwa kwa namna ya sheria ambayo ni rahisi kukumbuka: ili kuondoa nambari kutoka kwa jumla, inatosha kuondoa nambari hii kutoka kwa muhula mmoja wa jumla na kuongeza neno lingine kwa matokeo yanayotokana.
Nadharia 22. Hebu a, b na c - nambari kamili. Kama a > b+ s, basi A- (b + c) = (a - b) - c au a - (b + c) = (a - c) - b.
Uthibitisho wa nadharia hii ni sawa na uthibitisho wa Theorem 21.
Nadharia ya 22 inaweza kutengenezwa kama sheria: ili kuondoa jumla ya nambari kutoka kwa nambari, inatosha kutoa kutoka kwa nambari hii kila muhula moja baada ya nyingine.
Katika ufundishaji wa hisabati ya msingi, ufafanuzi wa kutoa kama kinyume cha kuongeza ni, kama sheria, haijatolewa kwa fomu ya jumla, lakini hutumiwa mara kwa mara, kuanzia na kufanya shughuli kwenye nambari za tarakimu moja. Wanafunzi wanapaswa kuelewa wazi kwamba kutoa kunahusiana na kuongeza na kutumia uhusiano huu katika hesabu. Kwa mfano, wakiondoa nambari 16 kutoka kwa nambari 40, wanafunzi husababu hivi: “Kuondoa nambari 16 kutoka 40 kunamaanisha kupata nambari hivi kwamba ikiongezwa kwenye nambari 16, matokeo ni 40; nambari hii itakuwa 24, tangu 24 + 16 = 40. Hivyo. 40 - 16 = 24."
Kanuni za kutoa nambari kutoka kwa jumla na jumla kutoka kwa nambari katika kozi ya awali ya hisabati ni msingi wa kinadharia wa mbinu mbalimbali za hesabu. Kwa mfano, thamani ya usemi (40 + 16) - 10 inaweza kupatikana sio tu kwa kuhesabu jumla katika mabano na kisha kuondoa nambari 10 kutoka kwake, lakini pia kwa njia hii;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Mazoezi
1. Je, ni kweli kwamba kila nambari ya asili inapatikana kutoka kwa inayofuatia kwa kutoa moja?
2. Ni nini maalum kuhusu muundo wa kimantiki wa Theorem 19? Je, inaweza kutengenezwa kwa kutumia maneno “lazima na ya kutosha”?
3. Thibitisha kwamba:
na kama b > c, Hiyo (a + b) - c = a + (b - c);
b) ikiwa a > b + c, Hiyo a - (b+ c) = (a-b) - c.
4. Je, inawezekana, bila kufanya mahesabu, kusema ni maneno gani yatakuwa na maadili sawa:
a) (50 + 16)- 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Ni sifa gani za kutoa ni msingi wa kinadharia wa mbinu zifuatazo za hesabu zilizosomwa katika kozi ya awali ya hisabati:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6 - P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Eleza njia zinazowezekana za kutathmini thamani ya usemi wa fomu. a -b- Na na kuwaonyesha kwa mifano maalum.
7. Thibitisha hilo lini b< а na yoyote ya asili c usawa ni kweli (a – b) c = ac - bc.
Kumbuka. Uthibitisho unategemea axiom 4.
8. Tambua thamani ya usemi bila kufanya mahesabu ya maandishi. Thibitisha majibu yako.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.
Mgawanyiko
Katika ujenzi wa axiomatic wa nadharia ya nambari za asili, mgawanyiko kawaida hufafanuliwa kama operesheni inverse ya kuzidisha.
Ufafanuzi. Mgawanyiko wa nambari asilia a na b ni operesheni inayokidhi hali: a: b = c ikiwa na tu ikiwa Kwa wakati b× c = a.
Nambari a:b kuitwa Privat nambari A Na b, nambari A kugawanyika, nambari b- mgawanyiko.
Kama inavyojulikana, mgawanyiko kwenye seti ya nambari za asili haipo kila wakati, na hakuna ishara rahisi kama hiyo ya uwepo wa mgawo kama upo kwa tofauti. Kuna hali ya lazima tu kwa kuwepo kwa fulani.
Nadharia 23. Ili kuwe na mgawo wa nambari mbili za asili A Na b, ni lazima hiyo b< а.
Ushahidi. Hebu mgawo wa nambari za asili A Na b ipo, i.e. kuna nambari ya asili c kama hiyo bc = a. Kwa kuwa kwa nambari yoyote ya asili 1 ukosefu wa usawa 1 £ Na, kisha, kuzidisha sehemu zake zote mbili kwa nambari asilia b, tunapata b£ bc. Lakini bc = a, hivyo, b£ A.
Nadharia 24. Ikiwa mgawo wa nambari za asili A Na b ipo, basi ni ya kipekee.
Uthibitisho wa nadharia hii ni sawa na uthibitisho wa nadharia juu ya upekee wa tofauti ya nambari za asili.
Kulingana na ufafanuzi wa mgawo wa nambari za asili na masharti ya kuwepo kwake, inawezekana kuhalalisha sheria zinazojulikana za kugawanya jumla (tofauti, bidhaa) kwa nambari.
Nadharia 25. Ikiwa nambari A Na b kugawanywa kwa nambari Na, kisha jumla yao a + b kugawanywa na c, na mgawo uliopatikana kwa kugawanya jumla A+ b kwa nambari Na, sawa na jumla ya migawo iliyopatikana kwa kugawanya A juu Na Na b juu Na, i.e. (a + b):c = a:c + b:Na.
Ushahidi. Tangu nambari A kugawanywa na Na, basi kuna nambari ya asili x = A; s hiyo a = cx. Vile vile, kuna idadi hiyo ya asili y = b:Na, Nini
b= su. Lakini basi a + b = cx+ cy = - c (x + y). Ina maana kwamba a + b imegawanywa na c, na mgawo unaopatikana kwa kugawanya jumla A+ b kwa nambari c, sawa na x + y, hizo. shoka + b: c.
Nadharia iliyothibitishwa inaweza kutengenezwa kama sheria ya kugawa jumla na nambari: ili kugawanya jumla na nambari, inatosha kugawanya kila neno na nambari hii na kuongeza matokeo yanayotokana.
Nadharia 26. Ikiwa nambari za asili A Na b kugawanywa kwa nambari Na Na a > b, kisha tofauti a -b imegawanywa na c, na mgawo uliopatikana kwa kugawanya tofauti na nambari c ni sawa na tofauti ya nukuu zilizopatikana kwa kugawanya. A juu Na Na b kwenye c, i.e. (a - b):c = a:c - b:c.
Uthibitisho wa nadharia hii ni sawa na uthibitisho wa nadharia iliyotangulia.
Nadharia hii inaweza kutengenezwa kama sheria ya kugawanya tofauti na nambari: Kwa Ili kugawanya tofauti kwa nambari, inatosha kugawanya minuend na subtrahend kwa nambari hii na kuondoa ya pili kutoka kwa mgawo wa kwanza.
Nadharia 27. Ikiwa nambari ya asili A inagawanywa kwa nambari asilia c, kisha kwa nambari yoyote asilia b kazi ab kugawanywa na s. Katika kesi hii, mgawo uliopatikana kwa kugawanya bidhaa ab kwa nambari s , sawa na bidhaa ya mgawo uliopatikana kwa kugawanya A juu Na, na nambari b: (a × b):c - (a:c) × b.
Ushahidi. Kwa sababu A kugawanywa na Na, basi kuna nambari ya asili x kama hiyo a:c= x, wapi a = cx. Kuzidisha pande zote mbili za usawa kwa b, tunapata ab = (cx) b. Kwa kuwa kuzidisha ni ushirika, basi (cx) b = c(x b). Kutoka hapa (a b):c = x b= (a:c) b. Nadharia inaweza kutengenezwa kama sheria ya kugawa bidhaa na nambari: ili kugawanya bidhaa na nambari, inatosha kugawanya moja ya sababu kwa nambari hii na kuzidisha matokeo kwa sababu ya pili.
Katika elimu ya msingi ya hisabati, ufafanuzi wa mgawanyiko kama operesheni ya kinyume ya kuzidisha, kama sheria, haijatolewa kwa fomu ya jumla, lakini hutumiwa mara kwa mara, kuanzia masomo ya kwanza ya kufahamiana na mgawanyiko. Wanafunzi wanapaswa kuelewa wazi kwamba mgawanyiko unahusiana na kuzidisha na kutumia uhusiano huu wakati wa kufanya hesabu. Kwa mfano, wanapogawanya 48 kwa 16, wanafunzi husababu hivi: “Kugawanya 48 kwa 16 kunamaanisha kupata nambari ambayo, ikizidishwa na 16, matokeo yake ni 48; nambari kama hiyo itakuwa 3, kwani 16 × 3 = 48. Kwa hiyo, 48: 16 = 3.
Mazoezi
1. Thibitisha kwamba:
a) ikiwa mgawo wa nambari asilia a na b ipo, basi ni ya kipekee;
b) ikiwa nambari a na b zimegawanywa katika Na Na a > b, Hiyo (a - b): c = a: c - b: c.
2. Je, inawezekana kusema kwamba usawa huu wote ni kweli:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 =850:10:17.
Je! ni sheria gani inayofanya kesi hizi kuwa za jumla? Uunde na uthibitishe.
3. Ni mali gani ya mgawanyiko ni msingi wa kinadharia
kukamilisha kazi zifuatazo zinazotolewa kwa wanafunzi wa shule ya msingi:
Inawezekana, bila kufanya mgawanyiko, kusema ni maneno gani yatakuwa na maadili sawa:
a) (40+ 8):2; c) 48:3; e) (20+ 28):2;
b) (30 + 16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;
Je, usawa ni kweli:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Eleza njia zinazowezekana za kukokotoa thamani ya usemi
aina:
A) (A+ b):c; b) A:b: Na; V) ( a × b): Na .
Onyesha njia zilizopendekezwa na mifano maalum.
5. Tafuta maana ya usemi huo kwa njia ya kimantiki; zao
kuhalalisha matendo yako:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Thibitisha mbinu zifuatazo za kugawanya kwa nambari ya tarakimu mbili:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Bila kugawanya na kona, pata busara zaidi
kwa njia ya quotient; Thibitisha njia iliyochaguliwa:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Hotuba ya 34. Mali ya seti ya nambari zisizo hasi
1. Seti ya nambari kamili zisizo hasi. Sifa za seti ya nambari kamili zisizo hasi.
2. Dhana ya sehemu ya mfululizo wa asili wa nambari na vipengele vya kuhesabu vya seti ya mwisho. Nambari za asili na za kardinali.
Kwa mtihani wa serikali katika utaalam
1. Nafasi ya mstari (vekta) juu ya shamba. Mifano. Subspaces, mali rahisi zaidi. Utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta.
2. Msingi na mwelekeo wa nafasi ya vector. Kuratibu matrix ya mfumo wa vector. Mpito kutoka msingi mmoja hadi mwingine. Isomorphism ya nafasi za vector.
3. Kufungwa kwa algebra ya uwanja wa nambari ngumu.
4. Pete ya nambari kamili. Kuagiza nambari kamili. Nadharia za nambari kamili "kubwa" na "ndogo".
5. Kundi, mifano ya vikundi. Tabia rahisi zaidi za vikundi. Vikundi vidogo. Homomorphism na isomorphism ya vikundi.
6. Mali ya msingi ya mgawanyiko wa integers. Nambari kuu. Infinity ya seti ya nambari kuu. Mtengano wa kisheria wa nambari ya mchanganyiko na upekee wake.
7. Kronecker-Capelli theorem (kigezo cha uthabiti kwa mfumo wa milinganyo ya mstari).
8. Mali ya msingi ya kulinganisha. Mifumo kamili na iliyopunguzwa ya makato ya modulo. pete ya darasa la mabaki ya Modulo. Nadharia za Euler na Fermat.
9. Utumiaji wa nadharia ya ulinganisho kwa kupata vigezo vya mgawanyiko. Kubadilisha sehemu kuwa desimali na kuamua urefu wa kipindi chake.
10. Uhusiano wa mizizi ya kufikiria ya polynomia yenye coefficients halisi. Polynomia zisizoweza kupunguzwa juu ya uwanja wa nambari halisi.
11. Ulinganisho wa mstari na tofauti moja (kigezo cha utatuzi, mbinu za ufumbuzi).
12. Mifumo sawa ya milinganyo ya mstari. Njia ya uondoaji wa mfululizo wa haijulikani.
13. Pete. Mifano ya pete. Mali rahisi zaidi ya pete. Pete ndogo. Homomorphisms na isomorphisms ya pete. Shamba. Mifano ya mashamba. Sifa rahisi zaidi. Uchache wa uwanja wa nambari za busara.
14. Nambari za asili (misingi ya nadharia ya axiomatic ya namba za asili). Nadharia juu ya nambari za asili "kubwa" na "ndogo".
15. Polynomials juu ya shamba. Nadharia juu ya mgawanyiko na salio. Mgawanyiko mkubwa zaidi wa polynomials mbili, mali zake na njia za kutafuta.
16. Mahusiano ya binary. Uhusiano wa usawa. Madarasa ya usawa, seti ya sababu.
17. Uingizaji wa hisabati kwa nambari za asili na kamili.
18. Mali ya idadi kubwa kiasi. Idadi ndogo zaidi ya nambari kamili, mali zake na njia za kupata.
19. Shamba la nambari tata, sehemu za nambari. Uwakilishi wa kijiometri na aina ya trigonometriki ya nambari changamano.
20. Nadharia ya mgawanyiko na salio kwa nambari kamili. Mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari, mali zake na njia za kupata.
21. Waendeshaji wa mstari wa nafasi ya vector. Kernel na picha ya mwendeshaji laini. Aljebra ya waendeshaji mstari katika nafasi ya vekta. Eigenvalues na eigenvectors ya operator linear.
22. Affine mabadiliko ya ndege, mali zao na mbinu za kubainisha. Kikundi cha mabadiliko ya ushirika wa ndege na vikundi vyake vidogo.
23. Poligoni. Eneo la poligoni. Nadharia ya uwepo na upekee.
24. Ukubwa sawa na muundo sawa wa poligoni.
25. Jiometri ya Lobachevsky. Msimamo wa mfumo wa axioms ya jiometri ya Lobachevsky.
26. Dhana ya usawa katika jiometri ya Lobachevsky. Nafasi ya jamaa ya mistari kwenye ndege ya Lobachevsky.
27. Fomula za harakati. Uainishaji wa harakati za ndege. Maombi ya kutatua shida.
28. Msimamo wa jamaa wa ndege mbili, mstari wa moja kwa moja na ndege, mistari miwili ya moja kwa moja katika nafasi (katika uwasilishaji wa uchambuzi).
29. Mabadiliko ya matarajio. Nadharia ya uwepo na upekee. Mifumo ya mabadiliko yanayotarajiwa.
30. Scalar, vector na bidhaa mchanganyiko wa vectors, maombi yao ya kutatua matatizo.
31. Mfumo wa axiom wa Weyl wa nafasi ya Euclidean yenye mwelekeo-tatu na uthabiti wa maudhui yake.
32. Mienendo ya ndege na mali zao. Kundi la harakati za ndege. Nadharia ya kuwepo na pekee ya mwendo.
33. Ndege ya mradi na mifano yake. Mabadiliko ya mradi, mali zao. Kundi la mabadiliko yanayotarajiwa.
34. Mabadiliko ya kufanana kwa ndege, mali zao. Kundi la mabadiliko ya kufanana kwa ndege na vikundi vyake vidogo.
35. Nyuso za laini. Fomu ya kwanza ya quadratic ya uso na matumizi yake.
36. Muundo sambamba na mali zake. Picha ya takwimu bapa na anga katika makadirio sambamba.
37. Mistari laini. Mviringo wa curve ya anga na hesabu yake.
38. Ellipse, hyperbola na parabola kama sehemu za conic. Milinganyo ya kisheria.
39. Mali ya saraka ya duaradufu, hyperbola na parabola. Milinganyo ya polar.
40. Uwiano wa mara mbili wa pointi nne kwenye mstari, mali zake na hesabu. Mgawanyiko wa Harmonic wa jozi za pointi. Kamilisha pande nne na mali zake. Maombi ya kutatua matatizo ya ujenzi.
41. Nadharia za Pascal na Brianchon. Nguzo na polar.
Maswali ya mfano juu ya uchambuzi wa hisabati
Nadharia za nambari kamili "kubwa" na "ndogo".
Nadharia ya 4 (kuhusu nambari kamili "ndogo"). Kila seti isiyo tupu ya nambari kamili inayopakana kutoka chini ina nambari ndogo zaidi. (Hapa, kama ilivyo kwa nambari asilia, neno "seti" hutumiwa badala ya neno "seti ndogo" E.
Ushahidi. Hebu O A C Z na A zifungwe chini, i.e. 36? ZVa? A(b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Hebu sasa b A.
Kisha Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >KUHUSU).
Hebu tuunde seti ya M ya nambari zote za fomu a - b, ambapo a hupitia seti A, i.e. M = (c [ c = a - b, a E A)
Ni wazi, seti M sio tupu, kwani A 74 0
Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, M C N . Kwa hivyo, kwa nadharia ya nambari za asili (54, Ch.III) katika seti M kuna nambari ndogo zaidi ya asili m. Kisha m = a1 - b kwa nambari fulani a1? A, na kwa kuwa m ndio ndogo zaidi katika M, basi Ua? Katika< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Nadharia ya 5 (kuhusu nambari "kubwa zaidi"). Kila seti isiyo tupu na yenye mipaka ya nambari kamili ina nambari kubwa zaidi.
Ushahidi. Acha O 74 A C Z na A iwe na kikomo kutoka juu kwa nambari b, i.e. ? ZVa na A(a< Ь). Тогда -а >b kwa nambari zote a? A.
Kwa hivyo, seti M (na r = -a, a? A) sio tupu na imefungwa chini na nambari (-6). Kwa hivyo, kwa mujibu wa nadharia ya awali, nambari ndogo zaidi hutokea katika kuweka M, i.e. Ace? MUs? M (s< с).
Je, hii inamaanisha Wah? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >A)
H. Aina mbalimbali za mbinu ya induction ya hisabati kwa nambari kamili. Nadharia ya mgawanyiko na salio
Nadharia 1 (aina ya kwanza ya njia ya induction ya hisabati). Acha P(c) iwe kihusishi cha mahali pamoja kinachofafanuliwa kwenye seti ya Z ya nambari kamili, 4. Halafu ikiwa kwa NUMBER a Z pendekezo P(o) na nambari kamili K > a kutoka P(K) inafuata P(K -4- 1), basi pendekezo P(r) ni halali kwa nambari zote zilizo na > > a (yaani, fomula ifuatayo ya kihesabu kiima ni kweli kwenye seti ya Z:
Р(а) upinde > + 1)) Ус > аР(с)
kwa nambari yoyote isiyobadilika a
Ushahidi. Hebu kila kitu kinachosemwa katika hali ya theorem kiwe kweli kwa sentensi P (c), i.e.
1) P (a) - kweli;
2) Uingereza Shch k + pia ni kweli.
Kutoka kinyume. Tuseme kuna nambari kama hiyo
b > a, hiyo RF) ni ya uwongo. Ni wazi b a, kwani P(a) ni kweli. Wacha tuunde seti M = (z ? > a, P(z) sio kweli).
Kisha kuweka M 0, tangu b? M na M- zimepunguzwa kutoka chini kwa nambari a. Kwa hivyo, kwa nadharia ya nambari kamili ya chini zaidi (Nadharia 4, 2), kuna nambari kamili c katika seti ya M. Kwa hivyo c > a, ambayo, kwa upande wake, inamaanisha c - 1 > a.
Wacha tuthibitishe kuwa P (c-1) ni kweli. Ikiwa c-1 = a, basi P (c-1) ni kweli kwa mujibu wa hali hiyo.
Hebu c- 1 > a. Halafu dhana kwamba P(c- 1) ni ya uwongo inajumuisha mali ya 1? M, ambayo haiwezi kuwa, kwani nambari c ndio ndogo zaidi katika seti ya M.
Kwa hivyo, c - 1 > a na P (c - 1) ni kweli.
Kwa hiyo, kwa mujibu wa masharti ya nadharia hii, sentensi P ((c- 1) + 1) ni kweli, i.e. R(s) - kweli. Hii inapingana na uchaguzi wa nambari c, kwani c? M Nadharia imethibitishwa.
Kumbuka kuwa nadharia hii inajumlisha Corollary 1 ya axioms za Peano.
Nadharia 2 (aina ya pili ya njia ya uingizaji wa hisabati kwa integers). Acha P(c) iwe kihusishi cha mahali pamoja kifafanuliwe kwenye seti ya Z ya nambari kamili. Kisha ikiwa pendekezo P(c) ni halali kwa nambari kamili K na kwa nambari kamili ya K kutoka kwa uhalali wa pendekezo P(c) Kwa nambari zote zinazokidhi ukosefu wa usawa K.< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >KWA.
Uthibitisho wa nadharia hii kwa kiasi kikubwa unarudia uthibitisho wa nadharia sawa ya nambari za asili (Theorem 1, 55, Sura ya III).
Nadharia 3 (aina ya tatu ya njia ya induction ya hisabati). Acha P(c) iwe kihusishi cha mahali pamoja kinachofafanuliwa kwenye seti Z ya nambari kamili NAMBA. Halafu ikiwa P(c) ni kweli kwa nambari zote za kitengo kidogo cha M cha seti ya nambari asilia na kwa nambari kiholela a, ukweli wa P(a) unamaanisha ukweli wa P(a - 1), basi pendekezo hilo. P(c) ni halali kwa nambari zote.
Uthibitisho ni sawa na uthibitisho wa nadharia inayolingana ya nambari asilia.
Tunatoa kama zoezi la kuvutia.
Kumbuka kwamba katika mazoezi, aina ya tatu ya induction ya hisabati ni ya kawaida kuliko wengine. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba kuitumia, ni muhimu kujua subset isiyo na kipimo M ya seti ya namba za asili, ambayo inajadiliwa katika theorem. Kupata seti kama hiyo inaweza kuwa kazi ngumu.
Lakini faida ya fomu ya tatu juu ya zingine ni kwamba kwa msaada wake pendekezo P (c) linaweza kuthibitishwa kwa nambari zote.
Hapa chini tutatoa mfano wa kuvutia wa utumiaji wa kidato cha tatu." Lakini kwanza, hebu tupe dhana moja muhimu sana.
Ufafanuzi. Thamani kamili ya nambari kamili a ni nambari inayoamuliwa na sheria
0, ikiwa O a, ikiwa a > O
Na, ikiwa a< 0.
Kwa hivyo, ikiwa 0, basi? N.
Tunamwalika msomaji, kama zoezi, kuthibitisha sifa zifuatazo za thamani kamili:
Theorem (kuhusu mgawanyiko na salio). Kwa nambari kamili a na b, ambapo b 0, kuna na, zaidi ya hayo, jozi moja tu ya nambari q U m hivi kwamba r: bq + T L D.
Ushahidi.
1. Kuwepo kwa jozi (q, m).
Hebu a, b? Z na 0. Hebu tuonyeshe kwamba kuna jozi ya namba q na kukidhi masharti
Tunatekeleza uthibitisho kwa kuingiza katika fomu ya tatu kwenye nambari a kwa nambari maalum b.
M = (mlm= n lbl,n? N).
Ni dhahiri kwamba M C ni ramani f: N M, inayofafanuliwa na kanuni f(n) = nlbl kwa n yoyote? N, ni chuki. Hii ina maana kwamba M N, i.e. M- usio na mwisho.
Hebu tuthibitishe hilo kwa nambari ya kiholela a? Taarifa ya M (na b-fixed) ya nadharia kuhusu kuwepo kwa jozi ya nambari q na m ni kweli.
Kwa kweli, acha (- M. Kisha pf! kwa baadhi n? N.
Ikiwa b > 0, basi a = n + O. Sasa kuweka q = n na m O, tunapata jozi zinazohitajika za nambari q na m. Ikiwa b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Wacha sasa tufanye dhana ya kufata neno. Wacha tuchukue kwamba kwa nambari kamili ya kiholela c (na iliyowekwa kiholela b 0) taarifa ya nadharia ni kweli, i.e. kuna jozi ya nambari (q, m) kama hiyo
Wacha tuthibitishe kuwa ni kweli pia kwa nambari (na 1). Kutoka kwa usawa c = bq -4- inafuata kwamba bq + (m - 1). (1)
Kunaweza kuwa na kesi.
1) m > 0. Kisha 7" - 1 > 0. Katika kesi hii, kuweka - m - 1, tunapata c - 1 - bq + Tl, ambapo jozi (q, 7"1,) ni wazi inakidhi hali hiyo.
0. Kisha c - 1 bq1 + 711 , ambapo q1
Tunaweza kuthibitisha kwa urahisi kuwa 0< < Д.
Kwa hivyo, taarifa hiyo pia ni kweli kwa jozi ya nambari
Sehemu ya kwanza ya nadharia imethibitishwa.
P. Upekee wa jozi q, nk.
Tuseme kwamba kwa nambari a na b 0 kuna jozi mbili za nambari (q, m) na (q1, basi, kukidhi masharti (*)
Wacha tuthibitishe kuwa zinalingana. Basi basi
na bq1 L O< Д.
Hii ina maana kwamba b(q1 -q) m- 7 1 1. Kutokana na usawa huu inafuatia kwamba.
Ikiwa sasa tunadhani kwamba q ql, kisha q - q1 0, kutoka wapi lq - q1l 1. Kuzidisha usawa huu kwa muda na idadi lbl, tunapata φ! - q11 D. (3)
Wakati huo huo, kutoka kwa usawa 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Mazoezi:
1. Kamilisha uthibitisho wa Nadharia 2 na 3 kutoka 5 1.
2. Thibitisha Corollary 2 kutoka Theorem 3, 1.
3. Thibitisha kuwa sehemu ndogo ya H C Z, inayojumuisha nambari zote za fomu< п + 1, 1 >(n? N), imefungwa kwa kujumlisha na kuzidisha.
4. Acha H imaanishe seti sawa na katika Zoezi la 3. Thibitisha kuwa uchoraji wa ramani ј : M unakidhi masharti:
1) ј - pingamizi;
2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) na j(nm) = ј(n) j(m) kwa nambari zozote n, m (yaani ј hutekeleza isomorphism ya algebra (N) , 4, na (H, +,).
5. Kamilisha uthibitisho wa Nadharia 1 kati ya 2.
6. Thibitisha kuwa kwa nambari zozote kamili a, b, c athari zifuatazo zinashikilia:
7. Thibitisha nadharia za pili na tatu kutoka kwa Z.
8. Thibitisha kuwa pete Z ya nambari kamili haina vigawanya sifuri.
Fasihi
1. Bourbaki N. Weka nadharia. M.: Mir, 1965.
2. Vinogradov I. M. Misingi ya nadharia ya nambari. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. Misingi ya hesabu. M.: Uchpedgiz, 1963.
4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Misingi ya nadharia ya kikundi.
M.: Nauka, 1972.
5. Kostrikin A.I. Utangulizi wa algebra. M.: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya. Algebra na nadharia ya nambari. M.: Juu zaidi. shule, 1979.
7. Kurosh A.G. Kozi ya juu ya algebra. M.: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Dhana za msingi za hisabati ya shule. M.: Elimu, 1987.
9. Lyapin EU. na wengine.Mazoezi ya nadharia ya kikundi. M.: Nauka, 1967.
10. Maltsev A.I. Mifumo ya Algebraic. M.: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Utangulizi wa mantiki ya hisabati. M.: Nauka, 1971.
12. Nechaev V.I. Mifumo ya nambari. M.: Elimu, 1975.
13. Novikov P.S. Vipengele vya mantiki ya hisabati. M.. Sayansi, 1973.
14. Petrova V. T. Mihadhara juu ya algebra na jiometri.: Saa 2.
CHL. M.: Vlados, 1999.
15. Misingi ya kisasa ya kozi ya hisabati ya shule Auth. Kanali: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M.: Elimu, 1980.
16. Skornyakov L. A. Vipengele vya algebra. M.: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Kuweka, mantiki, nadharia za axiomatic. M.; Mwangaza, 1968.
18. Stolyar A. A. Utangulizi wa kimantiki wa hisabati. Minsk: JUU ZAIDI. shule, 1971.
19. Filippov V.P. Algebra na nadharia ya nambari. Volgograd: VGPI, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Misingi ya nadharia iliyowekwa. M.: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Mifumo iliyoagizwa kwa sehemu. M.: Mir, 1965.
Uchapishaji wa kielimuToleo
Vladimir Konstantinovich Kartashov
KOZI YA UTANGULIZI YA HISABATI
Mafunzo
Maandalizi ya uhariri na O. I. Molokanova Mpangilio wa awali uliandaliwa na A. P. Boschenko
“PR 020048 ya tarehe 12/20/96
Ilitiwa saini ili kuchapishwa mnamo Agosti 28, 1999. Umbizo la 60x84/16. Uchapishaji wa ofisi Bomu. aina. M 2. Uel. tanuri l. 8.2. Mh. l. 8.3. Mzunguko wa nakala 500. Agizo 2
Nyumba ya uchapishaji "Peremena"
