เส้นโครงแบบขนานมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: อัตราส่วนของส่วนของเส้นตรงเท่ากับอัตราส่วนของเส้นโครง

ตัวอย่างเช่น เซ็กเมนต์ เอบีคั่นด้วยจุด ซี อินเคารพ เอซี/เอสวี = ที/พี(รูปที่ 3.13) มีการสร้างเส้นโครงแนวนอนของส่วนต่างๆ เอบีและจุด C ได้รับความสัมพันธ์แบบเดียวกัน A"C"/C"B" = ที/พี,ตั้งแต่ฉายเส้นตรง^", บีบี"และ เอสเอส"ขนานกัน ตำแหน่งนี้ใช้ได้กับระนาบการฉายภาพทั้งหมด เช่น

ดังนั้น ส่วนของเส้นตรงจึงสามารถแบ่งได้เป็น ในเรื่องนี้แบ่งปันการคาดการณ์ใด ๆ ในลักษณะเดียวกัน

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

เส้นตรงสามารถครอบครองตำแหน่งต่อไปนี้โดยสัมพันธ์กัน: ตัดกัน, ขนานกัน และตัดกัน

ตัดกันเป็นเส้นตรง.ที่เส้นตัดกันสองเส้นในภาพวาด เส้นโครงที่มีชื่อเดียวกันจะตัดกัน (รูปที่ 3.14) และจุดตัดกันนั้นอยู่บนเส้นเชื่อมต่อเส้นโครงเดียวกันสำหรับเส้นโครงที่มีชื่อเดียวกันแต่ละคู่

เส้นตรงขนาน.หากเส้นสองเส้นขนานกัน เส้นโครงที่มีชื่อเดียวกันก็จะขนานกันเช่นกัน เพื่อพิสูจน์ตำแหน่งนี้ จึงมีการกำหนดเส้นขนานสองเส้นไว้ในอวกาศ เอบีและ C/) และสร้างคู่ของการฉายภาพที่มีชื่อเดียวกันเช่นแนวนอน (รูปที่ 3.15, ก)

ครั้งแรกผ่านจุด กและ ใน,และการวาดเส้น C ที่ฉายเป็นเส้นตรง ซึ่งจะกำหนดระนาบอากาศฉายสองระนาบ ระนาบเหล่านี้ขนานกัน เนื่องจากแต่ละระนาบตั้งฉากกับระนาบ 71^

จากเรขาคณิตเบื้องต้น เป็นที่ทราบกันว่าระนาบขนานกันสองระนาบกับระนาบที่สามใดๆ (หรือ หมายเลข 2หรือ 7G 3) ตัดกันตามเส้นขนานสองเส้น ดังนั้นเส้นขนาน เอบีและ เอสการคาดคะเนชื่อเดียวกันจะขนานกัน (รูปที่ 3.15 ข)

ข้ามเส้นตรง.เส้นตัดกันเป็นเส้นที่ไม่ขนานกันและไม่ตัดกัน (รูปที่ 3.16) เส้นโครงที่มีชื่อเดียวกันของเส้นที่ตัดกันสามารถตัดกันได้ แต่จุดตัดกันไม่ได้อยู่บนเส้นเชื่อมต่อทั่วไปของเส้นโครง ในกรณีที่เส้นตัดกันสองเส้นอยู่ในระนาบขนาน เส้นโครงที่มีชื่อเดียวกันหนึ่งคู่จะขนานกัน (รูปที่ 3.17)

เกี่ยวกับการมองเห็นเส้นตรงสองเส้นตัดสินโดยคะแนนการแข่งขันที่อยู่ในเส้นต่างกัน แต่อยู่ในเส้นฉายเดียวกัน การมองเห็นของแต่ละระนาบการฉายภาพจะพิจารณาแยกกัน

การมองเห็นเส้นตัดกันสองเส้น เอบีและ NE(ดูรูปที่ 3.16) ถูกกำหนดที่จุดตัดของเส้นโครงที่มีชื่อเดียวกัน บนเครื่องบิน ปที่จุดตัดของการฉายเส้นแนวนอนจะมีจุดที่ตรงกันสองจุด 1" = 2". จุด 1 อยู่ในจุด SD โดยตรง 2 - โดยตรง เอบีคะแนน 1 และ 2 กำลังแข่งขันกันสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ ช,เหล่านั้น.

• (7 X 2)K-เมื่อสร้างการฉายภาพด้านหน้าของจุดแล้ว เราได้ > คอมเมอร์สันต์ดังนั้นบนเครื่องบิน สชณ จุดที่เส้นตัดกัน จะเห็นเส้น SD ที่อยู่เหนือเส้น เอ บีตั้งแต่ (7 จ เอสวี)ต ช,ก (เอบีที่ 2)
• (3 ? 4) หน้า 2จุด 3 เป็นของโดยตรง

ที่จุดตัดของการฉายภาพด้านหน้าของเส้นตรงสามารถสังเกตจุดที่ตรงกันสองจุดได้: 3" = 4", เหล่านั้น. ช่วง SD ของฉัน 4 - โดยตรง เอบีพวกมันนอนอยู่บนเส้นฉายภาพทั่วไปที่ตั้งฉากกับเครื่องบิน ถึง 2ดังนั้นส่วนที่มองเห็นได้ก็จะเป็นส่วนที่ถอดออกจากเครื่องบิน ถึง 2บน ระยะทางที่ยาวขึ้น- นี่คือประเด็น 3, ตั้งแต่_y 3 > เวลา 4และ (เอสวีที่ 3)ต k 2,(4e AB) T k 2 . จึงตรง NEผ่านไปก่อนเป็นเส้นตรง เอบี

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้นสามารถตัดสินได้โดยใช้เส้นโครงสองเส้น ยกเว้นในกรณีที่อย่างน้อยหนึ่งเส้นขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ แต่ถูกกำหนดโดยการฉายบนระนาบการฉายภาพอีกสองเส้น

โปรไฟล์ตรง เอบีและ NE(รูปที่ 3.18) ระบุโดยการฉายภาพแนวนอนและด้านหน้า เฉพาะการสร้างเส้นโครงโปรไฟล์เท่านั้นที่สามารถกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ได้ ใน ในกรณีนี้พวกมันผสมพันธุ์กันและตั้งอยู่

ภรรยาในระนาบฉายภาพขนานกันจนเป็นเส้นตรง บจกตั้งอยู่ใกล้กับระนาบลิ้นมากกว่า เอ วี.

เพื่อหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้น เอบีและ เอสไอ(รูปที่ 3.19) จำเป็นต้องสร้างการฉายภาพโปรไฟล์ แต่วิธีแก้ปัญหาสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยสร้างเส้นโครงเฉพาะเส้น C/ และจุดเท่านั้น อี (อีเอบี)เพื่อค้นหาว่ามีประเด็นอยู่หรือไม่ อีบน SD โดยตรงเช่น ทำโดยตรง เอบีและ เอสไอจุดทั่วไป

ปัญหาที่นำเสนอในรูปที่ 1 นั้นแก้ไขได้ง่ายยิ่งขึ้น 3.19 โดยใช้ทฤษฎีบทการแบ่งส่วนใน ให้ความสัมพันธ์- เมื่อดูจากรูปวาดแล้วคุณสามารถตรวจสอบได้ว่าจุดต่างๆ อี"และ อี"แบ่งส่วน ด้วย "โอ"และ ด้วย "โอ""วี ความสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน- เพราะฉะนั้นประเด็น อีไม่อยู่ในสาย บจกและตรง เอบีและ บจกอย่าตัดกัน แต่ตัดกัน และเพื่อกำหนดการมองเห็น จำเป็นต้องสร้างการฉายภาพโปรไฟล์และดำเนินการก่อสร้างที่คล้ายกับที่แสดงในรูปที่ 1 3.16.

การคำนวณพิกัดของจุด C ซึ่งแบ่งส่วน AB ที่กำหนดในอัตราส่วนที่แน่นอนสามารถทำได้โดยใช้สูตร:

xC = (xA + แลมบ์B) / (1 + แลม), yC = (yA + แลมบ์) / (1 + แลมบ์),

โดยที่ (xA; yA) และ (xB; yB) เป็นพิกัดของจุดสิ้นสุด ส่วนที่กำหนดเอบี; หมายเลข แล = AC/CB – อัตราส่วนที่ส่วน AB หารด้วยจุด C ซึ่งมีพิกัด (xC; yC)

หากเซ็กเมนต์ AB หารครึ่งด้วยจุด C ดังนั้นตัวเลข แล = 1 และสูตรสำหรับ xC และ yC จะอยู่ในรูปแบบ:

xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2

ต้องคำนึงว่าในปัญหา แลคืออัตราส่วนของความยาวของเซ็กเมนต์ ดังนั้นตัวเลขที่รวมอยู่ในอัตราส่วนนี้จึงไม่ใช่ความยาวของเซ็กเมนต์ในหน่วยการวัดที่กำหนด ตัวอย่างเช่น AC = 12 ซม. CB = 16 ซม.: แล = AC/CB = 12 ซม. / 16 ซม. = 3/4

1. ค้นหาพิกัดตรงกลางของส่วนใดส่วนหนึ่งโดยใช้พิกัดที่กำหนดของส่วนปลาย

ตัวอย่างที่ 1

จุด A(-2; 3) และ B(6; -9) คือจุดสิ้นสุดของกลุ่ม AB ค้นหาจุด C ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB

สารละลาย.

คำชี้แจงปัญหาระบุว่า xA = -2; xB = 6; yA = 3 และ yB = -9 เราจำเป็นต้องค้นหา C(xC; yC)

การใช้สูตร xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 เราได้รับ:

xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3

ดังนั้น จุด C ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AB มีพิกัด (-2; 3) (รูปที่ 1)
2. การคำนวณพิกัดของส่วนท้ายของส่วนใดส่วนหนึ่งโดยรู้พิกัดของส่วนตรงกลางและส่วนอื่น ๆ

ตัวอย่างที่ 2

ปลายด้านหนึ่งของส่วน AB คือจุด A โดยมีพิกัด (-3; -5) และจุดกึ่งกลางคือจุด C(3; -2) คำนวณพิกัดของส่วนที่สองของส่วน - จุด B

สารละลาย.

ตามเงื่อนไขของปัญหา จะเห็นได้ชัดว่า xA = -3; ใช่ = -5; xC = 3 และ yC = -2

แทนที่ค่าเหล่านี้ลงในสูตร xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 เราได้รับ:

3 = (-3 + xB)/2 และ

2 = (-5 + ยูวี)/2

หลังจากแก้สมการแรกของ xB และสมการที่สองสำหรับ yB แล้ว เราพบว่า: xB = 9 และ yB = 1 ปรากฎว่า จุดที่ต้องการ B จะได้รับจากพิกัด (9; 1) (รูปที่ 2)

3. การคำนวณพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมจากพิกัดที่กำหนดของจุดกึ่งกลางของด้านข้าง

ตัวอย่างที่ 3

จุดกึ่งกลางของด้านสามเหลี่ยม ABC คือจุด D(1; 3), E(-1; -2) และ F(4; -1) ค้นหาพิกัดของจุดยอด A, B และ C ของสามเหลี่ยมนี้

สารละลาย.

ให้จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB, จุด E เป็นจุดกึ่งกลางของ BC และจุด F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC (รูปที่ 3)- คุณต้องค้นหาจุด A, B และ C

เราแสดงจุดยอดของสามเหลี่ยมด้วย A(xA; yA), B(xB; yB) และ C(xC; yC) และรู้พิกัดของจุด D, E และ F ตามสูตร xC = (xA + xB )/2, yC = (yA + уВ)/2 เราได้รับ:

(1 = (xA + xB)/2,
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,

(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (คุณ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.

ให้เราลดสมการให้เหลือทั้งรูปแบบ:

(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,

(уА + уВ = 6,
(คุณ + уС = -4,
(ยเอ + วายซี = -2.

เมื่อแก้ไขระบบแล้วเราจะได้:
xA = 6; xB = -4; xC = 2
ใช่ = 4; คุณ = 2; ใช่ = -6.

จุด A(6; 4), B(-4; 2) และ C(2; -6) คือจุดยอดที่จำเป็นของรูปสามเหลี่ยม

4. การคำนวณพิกัดของจุดที่แบ่งส่วนในอัตราส่วนที่กำหนดตามพิกัดที่กำหนดของจุดสิ้นสุดของส่วนนี้

ตัวอย่างที่ 4

ส่วน AB หารด้วยจุด C ในอัตราส่วน 3:5 (นับจากจุด A ถึงจุด B) ส่วนปลายของส่วน AB คือจุด A(2; 3) และ B(10; 11) หาจุด C

สารละลาย.

คำชี้แจงปัญหาระบุว่า xA = 2; xB = 10; ใช่ = 3; คุณ = 11; แล = เอซี/เอสวี = 3/5 หา C(xC; yC) (รูปที่ 4)

ใช้สูตร xC = (xA + แลมบ์) / (1 + แลม), yC = (yA + แลมบ์) / (1 + แลม) ที่เราได้รับ:

xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 และ yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6 ดังนั้นเราจึงได้ C( 5; 6).

มาตรวจสอบกัน:เอซี = 3√2, NE = 5√2, แล = เอซี/เอสวี = 3√2/5√2 = 3/5

ความคิดเห็น เงื่อนไขของปัญหาระบุว่าการแบ่งส่วนจะดำเนินการในอัตราส่วนที่กำหนดจากจุด A ถึงจุด B หากไม่ได้ระบุไว้ ปัญหาก็จะมีวิธีแก้ปัญหาสองวิธี วิธีที่สอง: การแบ่งส่วนจากจุด B ไปยังจุด A

ตัวอย่างที่ 5

AB ส่วนใดส่วนหนึ่งแบ่งออกเป็นอัตราส่วน 2: 3: 5 (นับจากจุด A ถึงจุด B) ปลายของมันคือจุดที่มีพิกัด A (-11; 1) และ B (9; 11) ค้นหาจุดหารของส่วนนี้

สารละลาย.

ให้เราแสดงจุดหารของเซ็กเมนต์จาก A ถึง B ด้วย C และ D คำแถลงปัญหาระบุว่า
xA = -11; xB = 9; ใช่ = 1; yB = 11. ค้นหา C(xC; yC) และ D(xD; yD) ถ้า AC: CD: DB = 2: 3: 5

จุด C หารส่วน AB ในอัตราส่วน แล = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4

ใช้สูตร xC = (xA + แลมบ์) / (1 + แลม), yC = (yA + แลมบ์) / (1 + แลม) ที่เราได้รับ:

xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 และ yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3

ดังนั้น C(-7; 3)

จุด D คือจุดกึ่งกลางของส่วน AB การใช้สูตร xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 เราพบว่า:

xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6 ซึ่งหมายความว่า D มีพิกัด (-1; 6)

5. การคำนวณพิกัดของจุดที่แบ่งส่วนหากได้รับพิกัดของจุดสิ้นสุดของส่วนนี้และจำนวนส่วนที่แบ่งส่วนนี้

ตัวอย่างที่ 6

ส่วนท้ายของส่วนคือจุด A(-8; -5) และ B(10; 4) ค้นหาจุด C และ D ที่แบ่งส่วนนี้ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กัน

สารละลาย.

จากเงื่อนไขของปัญหาทราบว่า xA = -8; xB = 10; ใช่ = -5; yB = 4 และ n = 3 หา C(xC; yC) และ D(xD; yD) (รูปที่ 5)

มาหาจุด C โดยแบ่งส่วน AB ด้วยอัตราส่วน แล = 1/2 เราหารจากจุด A ไปยังจุด B โดยใช้สูตร xC = (xA + แลมบ์) / (1 + แลม), yC = (yA + แลมบ์) / (1 + แลม) เรามี:

xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 และ yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2 ดังนั้น C(-2; -2)

การแบ่งส่วน CB ดำเนินการในอัตราส่วน 1: 1 ดังนั้นเราจึงใช้สูตร

xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:

xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1 ดังนั้น D(4; 1)

คะแนนดิวิชั่น C(-2; -2) และ D(4; 1)

หมายเหตุ: สามารถหาจุด D ได้โดยการหารส่วน AB ในอัตราส่วน 2: 1 ในกรณีนี้ จำเป็นต้องใช้สูตรอีกครั้ง xD = (xA + แลมบ์) / (1 + แลม), yD = (yA + แลมบ์) / (1 + แลมบ์)

ตัวอย่างที่ 7

จุด A(5; -6) และ B(-5; 9) คือจุดสิ้นสุดของส่วนนี้ ค้นหาจุดที่จะแบ่งส่วนที่กำหนดออกเป็นห้าส่วนเท่า ๆ กัน

สารละลาย.

ให้จุดการหารต่อเนื่องจาก A ถึง B เป็น C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) และ F(xF; yF) เงื่อนไขของปัญหาบอกว่า xA = 5; xB = -5; ใช่ = -6; คุณ = 9 และ n = 5

ใช้สูตร xC = (xA + แลมบ์) / (1 + แลม), yC = (yA + แลมบ์) / (1 + แลมบ์) เราพบจุด C โดยแบ่งส่วน AB ในอัตราส่วน แล = 1/4:

xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 และ yС = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3 เรา จะได้ว่าจุด C มีพิกัด (3; -3)

การแบ่งส่วน AB ตามจุด D ถูกสร้างขึ้นในอัตราส่วน 2: 3 (เช่น แล = 2/3) ดังนั้น:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 และ yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0 ดังนั้น D (1; 0)

มาหาจุด E โดยแบ่งส่วน AB ในอัตราส่วน แล = 2/3:

XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 และ yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3 ดังนั้น ดังนั้น E(-1; 3)

จุด F แบ่งส่วน AB ในอัตราส่วน แล = 4/1 ดังนั้น:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 และ yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6)

คะแนนดิวิชั่น C(-2; -2); ง(4; 1); อี(-1; 3) และ เอฟ(-3; 6)

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้จะแก้ปัญหาการแบ่งกลุ่มอย่างไร?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

ให้จุด M 1, M 2, M 3 อยู่ในบรรทัดเดียวกัน พวกเขาบอกว่าจุด M แบ่งส่วน M 1 M 2 ในความสัมพันธ์ แล(λ≠-1) ถ้า .
ให้ทราบพิกัดของจุด M 1 และ M 2 สัมพันธ์กับระบบพิกัดบางระบบ: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) จากนั้นพิกัดของ พบจุด M(x, y, z ) ที่เกี่ยวข้องกับระบบพิกัดเดียวกันโดยใช้สูตร:
หากจุด M อยู่ตรงกลางของส่วน M 1 M 2 แสดงว่า นั่นคือ แลมบ์=1 และสูตร (*) จะอยู่ในรูปแบบ:

(**)

ในการแก้ปัญหา ให้ใช้เครื่องคิดเลขต่อไปนี้:

1. จุดจะถูกระบุด้วยสองพิกัด: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)
2. จุดจะถูกระบุด้วยสามพิกัด: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2)

ตัวอย่างหมายเลข 1 รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยพิกัดของจุดยอด A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) ค้นหาพิกัดของ D(x, y, z) – จุดตัดของค่ามัธยฐาน

สารละลาย- ให้เราแสดงด้วย M(x 0 , y 0 , z 0) ตรงกลางของ BC จากนั้นตามสูตร (**) และ ม(7/2, ½, 4) จุด D หารค่ามัธยฐาน AM ในอัตราส่วน แล = 2 เราพบการใช้สูตร (*)
.

ตัวอย่างหมายเลข 2 ส่วน AB หารด้วยจุด C(4,1) ในอัตราส่วน แล = 1/4 นับจากจุด A ค้นหาพิกัดของ A ถ้า B(8,5)
สารละลาย- การใช้สูตร (*) เราได้รับ:
จากที่เราพบ x=3, y=0

ตัวอย่างหมายเลข 3 ส่วน AB แบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันโดยจุด C(3, -1) และ D(1,4) ค้นหาพิกัดของส่วนท้ายของส่วน
สารละลาย- ให้เราแสดงว่า A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). จุด C อยู่ตรงกลางของส่วน AD ดังนั้นเราจึงพบโดยใช้สูตร (**): โดยที่ x 1 = 5, y 1 = -6 พิกัดของจุด B พบในทำนองเดียวกัน: x 2 = -1, y 2 = 9