ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ความเป็นระเบียบเรียบร้อยของเซตของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ดังที่คุณทราบ เราสามารถเรียงลำดับเซตของจำนวนธรรมชาติได้โดยใช้ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" แต่กฎสำหรับการสร้างทฤษฎีสัจพจน์นั้นต้องการให้ความสัมพันธ์นี้ไม่เพียงแต่ถูกกำหนดไว้เท่านั้น แต่ยังต้องทำบนพื้นฐานของแนวคิดที่กำหนดไว้แล้วในทฤษฎีนี้ด้วย ซึ่งสามารถทำได้โดยการกำหนดความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ผ่านการบวก

คำนิยาม. จำนวน a น้อยกว่าจำนวน b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = ข.

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ก็ยังบอกได้ว่าจำนวนนั้น ขมากกว่า กและเขียน ข > ก.

ทฤษฎีบท 12สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ กและ ขหนึ่งและมีเพียงหนึ่งในสามความสัมพันธ์เท่านั้นที่ถือครอง: ก = ข, ก > ข, ก < ข.

เราละเว้นการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้- จากทฤษฎีบทนี้ จะได้ว่าถ้า

ก ขทั้ง ก< b, หรือ ก > ข,เหล่านั้น. ความสัมพันธ์ "น้อย" มีคุณสมบัติเชื่อมโยงกัน

ทฤษฎีบท 13ถ้า ก< b และ ข< с. ที่ ก< с.

การพิสูจน์. ทฤษฎีบทนี้แสดงสมบัติการผ่านของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า"

เพราะ ก< b และ ข< с. ดังนั้นตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" จะได้เป็นจำนวนธรรมชาติ ถึงแล้วไงล่ะ b = a + k และ c = b + I.แต่แล้ว ค = (ก + เค)+ / และขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการเชื่อมโยงของการเติมที่เราได้รับ: ค = ก + (k +- เนื่องจาก เค + ฉัน -จำนวนธรรมชาติ ดังนั้น ตามนิยาม “น้อยกว่า” ก< с.

ทฤษฎีบท 14- ถ้า ก< b, มันไม่จริงอย่างนั้น ข< а. การพิสูจน์. ทฤษฎีบทนี้แสดงคุณสมบัติ ต่อต้านสมมาตรความสัมพันธ์ "น้อยลง"

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์ว่าไม่ใช่จำนวนธรรมชาติตัวเดียว กไม่ใช่คุณ-!>! ■ )ทัศนคติของเธอ ก< ก.สมมติว่าตรงกันข้ามคือ อะไร ก< а เกิดขึ้น จากนั้น ตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" จะได้จำนวนธรรมชาติ กับ,อะไร ก+ กับ= เอ,และสิ่งนี้ขัดแย้งกับทฤษฎีบทที่ 6

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าถ้า ก< ขมันก็ไม่เป็นความจริงอย่างนั้น ข < ก.สมมติว่าตรงกันข้ามคือ จะเกิดอะไรขึ้นถ้า ก< b , ที่ ข< а กำลังทำงานอยู่ แต่จากความเท่าเทียมกันเหล่านี้ ตามทฤษฎีบท 12 เราได้ ก< а, ซึ่งเป็นไปไม่ได้

เนื่องจากความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ที่เรากำหนดไว้นั้นเป็นความสัมพันธ์แบบแอนติสมมาตรและแบบสกรรมกริยา และมีคุณสมบัติของการเชื่อมโยงกัน จึงเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้นและเซตของจำนวนธรรมชาติ ชุดสั่งเชิงเส้น

จากคำจำกัดความของ "น้อยกว่า" และคุณสมบัติของมัน เราสามารถสรุปคุณสมบัติที่ทราบของเซตของจำนวนธรรมชาติได้

ทฤษฎีบท 15ในบรรดาจำนวนธรรมชาติทั้งหมด มีตัวหนึ่งเป็นจำนวนที่น้อยที่สุด นั่นคือ ฉัน< а для любого натурального числа ก¹1.

การพิสูจน์. อนุญาต เอ -จำนวนธรรมชาติใดๆ เป็นไปได้สองกรณี: ก = 1 และ a¹ 1. ถ้า ก = 1 แล้วจึงเป็นจำนวนธรรมชาติ ขตามด้วย ก: ก = ข " = ข +ฉัน = 1 + ขกล่าวคือ ตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" 1< ก.ดังนั้น จำนวนธรรมชาติใดๆ จะเท่ากับ 1 หรือมากกว่า 1 หรือจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด

ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" มีความเกี่ยวข้องกับการบวกและการคูณตัวเลขด้วยคุณสมบัติของความซ้ำซ้อน

ทฤษฎีบท 16

a = b => a + c = b + c และ a c = b c;

ก< b =>ก + ค< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c และ ac > bc

การพิสูจน์. 1) ความถูกต้องของข้อความนี้ตามมาจากเอกลักษณ์ของการบวกและการคูณ

2) ถ้า ก< b, ก็มีจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น เคอะไร ก + เค = ข
แล้ว ข+ ค = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (ค+ ถึง)= (ก + ค) + เคความเท่าเทียมกัน ข+ ค = (ก + ค) + คหมายความว่าอย่างนั้น ก + ค< b + กับ.

ในลักษณะเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า ก< b =>เครื่องปรับอากาศ< bс.

3) หลักฐานคล้ายกัน

ทฤษฎีบท 17(บทสนทนาของทฤษฎีบท 16)

1) ก+ ค = ข + คหรือ เอซี ~ บีซี-Þ ก = ข

2) ก + ค< Ь + с หรือ เครื่องปรับอากาศ< ก่อนคริสต์ศักราชÞ ก< Ь:

3) ก + ค > ข+ ด้วยหรือ เอซี > พ.ศÞ ก > ข

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างเช่นว่าจาก เครื่องปรับอากาศ< bс ควร ก< b สมมติว่าตรงกันข้ามคือ ว่าข้อสรุปของทฤษฎีบทไม่ถือ แล้วมันไม่สามารถเป็นอย่างนั้นได้ ก = ขตั้งแต่นั้นมาก็จะมีความเท่าเทียมกัน เอซี = พ.ศ(ทฤษฎีบท 16); มันไม่สามารถเป็นได้ ก> ขเพราะอย่างนั้นก็จะเป็นเช่นนั้น ac > bс(ทฤษฎีบท!6) ดังนั้นตามทฤษฎีบท 12 จะได้ว่า ก< b.

จากทฤษฎีบทที่ 16 และ 17 เราสามารถหากฎที่รู้จักกันดีสำหรับการบวกและการคูณอสมการแบบเทอมต่อเทอมได้ เราทิ้งพวกเขาไว้

ทฤษฎีบท 18- สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ กและ ข- มีจำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งเช่นนั้น พี ข> ก.

การพิสูจน์. สำหรับใครก็ตาม กมีจำนวนดังกล่าว n, อะไร n > กเมื่อต้องการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะทำ n = ก + 1. การคูณอสมการทีละเทอม n> กและ ข> 1 เราได้ พีบี > ก.

จากคุณสมบัติที่พิจารณาของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ลักษณะสำคัญของเซตของจำนวนธรรมชาติจะตามมา ซึ่งเรานำเสนอโดยไม่มีข้อพิสูจน์

1. ไม่ใช่สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ กไม่มีจำนวนธรรมชาติเช่นนั้น พีอะไร ก< п < а + 1. คุณสมบัตินี้เรียกว่า คุณสมบัติ
ความรอบคอบเซตของจำนวนธรรมชาติ และจำนวน กและ + 1 เรียกว่า ใกล้เคียง

2. เซตย่อยของจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่ไม่ว่างจะมีอยู่
จำนวนที่น้อยที่สุด

3. ถ้า ม- สับเซตที่ไม่ว่างของเซตของจำนวนธรรมชาติ
และมีจำนวนดังกล่าว ขสำหรับตัวเลขทั้งหมด x จาก มไม่ได้ดำเนินการ
ความเท่าเทียมกัน x< ขแล้วก็มีมากมาย มเป็นจำนวนที่มากที่สุด

เรามาแสดงคุณสมบัติ 2 และ 3 ด้วยตัวอย่างกัน อนุญาต ม- ชุดตัวเลขสองหลัก เพราะ มเป็นสับเซตของจำนวนธรรมชาติ และสำหรับจำนวนทั้งหมดในเซตนี้ อสมการ x< 100, то в множестве มคือจำนวนที่มากที่สุด 99 จำนวนที่น้อยที่สุดที่มีอยู่ในชุดที่กำหนด เอ็ม, -หมายเลข 10

ดังนั้น ความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ทำให้สามารถพิจารณา (และในบางกรณีพิสูจน์ได้) คุณสมบัติของเซตของจำนวนธรรมชาติจำนวนมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีการเรียงลำดับเชิงเส้น ไม่ต่อเนื่อง และมีเลข 1 น้อยที่สุด

นักเรียนชั้นประถมศึกษาจะคุ้นเคยกับความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ("มากกว่า") ของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่เริ่มต้นการศึกษา และบ่อยครั้ง ควบคู่ไปกับการตีความเชิงทฤษฎีเซต คำจำกัดความที่เราให้ไว้ภายในกรอบของทฤษฎีสัจพจน์ก็ถูกนำมาใช้โดยปริยาย ตัวอย่างเช่น นักเรียนสามารถอธิบายว่า 9 > 7 เพราะ 9 คือ 7+2 การใช้คุณสมบัติความซ้ำซ้อนของการบวกและการคูณโดยปริยายก็เป็นเรื่องปกติเช่นกัน เช่น เด็กอธิบายว่า “6 + 2”< 6 + 3, так как 2 < 3».

แบบฝึกหัด

1, เหตุใดจึงไม่สามารถเรียงลำดับเซตของจำนวนธรรมชาติโดยใช้ความสัมพันธ์ "ติดตามทันที" ได้

กำหนดทัศนคติ ก > ขและพิสูจน์ว่ามันเป็นสกรรมกริยาและต่อต้านสมมาตร

3. พิสูจน์ว่าถ้า ก ข คเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น:

ก) ก< b Þ ас < bс;

ข) ก+ กับ< ข + ซ> ก< Ь.

4. ทฤษฎีบทอะไรเกี่ยวกับความน่าเบื่อของการบวกและการคูณสามารถทำได้
ใช้โดยเด็กนักเรียนที่อายุน้อยกว่าเมื่อทำงาน "เปรียบเทียบโดยไม่ต้องคำนวณ":

ก) 27 + 8 ... 27 + 18;

ข) 27- 8 ... 27 -18

5. นักเรียนระดับประถมศึกษาใช้คุณสมบัติของชุดตัวเลขธรรมชาติโดยปริยายเมื่อทำงานต่อไปนี้:

A) เขียนตัวเลขที่มากกว่า 65 และน้อยกว่า 75

B) ตั้งชื่อหมายเลขก่อนหน้าและหมายเลขถัดไปให้สัมพันธ์กับหมายเลข 300 (800,609,999)

C) ตั้งชื่อตัวเลขสามหลักที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด

การลบ

ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวนธรรมชาติ การลบมักถูกกำหนดให้เป็นการดำเนินการผกผันของการบวก

คำนิยาม. การลบจำนวนธรรมชาติ a และ b เป็นการดำเนินการที่เป็นไปตามเงื่อนไข: a - b = c ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ b + c = a

ตัวเลข ก - ขเรียกว่าผลต่างระหว่างตัวเลข a และ ขตัวเลข ก– เลขท้าย, ตัวเลข ข-หักลดหย่อนได้

ทฤษฎีบท 19ผลต่างของจำนวนธรรมชาติ ก- ขมีอยู่ก็ต่อเมื่อและหากเท่านั้น ข< а.

การพิสูจน์. ปล่อยให้ความแตกต่าง ก- ขมีอยู่จริง จากนั้น ตามนิยามของผลต่าง จะได้จำนวนธรรมชาติ กับ,อะไร ข + ค = ก,ซึ่งหมายความว่า ข< а.

ถ้า ข< а, ดังนั้นตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" จึงมีเลขธรรมชาติ c เช่นนั้น ข + ค = ก.จากนั้นตามคำจำกัดความของความแตกต่าง ค = ก - ขเหล่านั้น. ความแตกต่าง ก - ขมีอยู่จริง

ทฤษฎีบทที่ 20 ถ้าผลต่างของจำนวนธรรมชาติ กและ ขมีอยู่แล้วมันก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

การพิสูจน์. สมมติว่ามีค่าที่แตกต่างกันสองค่าของความแตกต่างระหว่างตัวเลข กและ ข;: ก – ข= ส₁และ ก - ข= ส₂, และ ซ₁ ¹ s₂ .จากนั้น ตามคำจำกัดความของความแตกต่าง เรามี: ก = b + c₁,และ ก = ข + ค₂ : .มันเป็นไปตามนั้น ข+ ค ₁ = ข + ค₂ :และตามทฤษฎีบทที่ 17 เราก็สรุปได้ว่า ซ₁ = ซ₂..เรามาขัดแย้งกับสมมติฐาน ซึ่งหมายความว่ามันเป็นเท็จ แต่ทฤษฎีบทนี้ถูกต้อง

ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของความแตกต่างของจำนวนธรรมชาติและเงื่อนไขของการดำรงอยู่ของมัน มันเป็นไปได้ที่จะปรับกฎที่รู้จักกันดีในการลบตัวเลขออกจากผลรวมและผลรวมจากตัวเลข

ทฤษฎีบท 21- อนุญาต ก. ขและ กับ- ตัวเลขธรรมชาติ

ก) ถ้า a > c จากนั้น (a + b) - c = (a - c) + b

ข) ถ้า ข > ค จากนั้น (a + b) - c - a + (b - c)

ค) ถ้า ก > ค และ ข > คจากนั้นคุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้
การพิสูจน์. กรณี ก) ผลต่างของตัวเลข กและ คมีอยู่เพราะว่า ก > สให้เราแสดงมันด้วย x: ก - ค = xที่ไหน ก = ค + x- ถ้า (ก+ ข) - ค = ย.จากนั้นตามคำจำกัดความของความแตกต่าง ก+ ข = กับ+ ที่- ให้เราแทนความเท่าเทียมนี้แทน กการแสดงออก ค + x:(ค + x) + ข = ค + yลองใช้คุณสมบัติการเชื่อมโยงของการบวก: ค + (x + b) = ค+ ที่- ให้เราแปลงความเท่าเทียมกันนี้ตามคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจของการบวกและรับ:

x + ข = คุณ. การแทนที่ x ในความเท่าเทียมนี้ด้วยนิพจน์ เอ - คเราจะมี (ก-ช) + ข = ย.ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ได้ว่าถ้า a > c จากนั้น (a + b) - c = (a - c) + b

การพิสูจน์จะดำเนินการในทำนองเดียวกันในกรณี b)

ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสามารถกำหนดได้ในรูปแบบของกฎที่สะดวกสำหรับการจดจำ: หากต้องการลบตัวเลขออกจากผลรวม ก็เพียงพอที่จะลบตัวเลขนี้ออกจากเทอมหนึ่งของผลรวมแล้วบวกอีกเทอมหนึ่งเข้ากับผลลัพธ์ที่ได้

ทฤษฎีบท 22อนุญาต ก ข และค -ตัวเลขธรรมชาติ ถ้า ก > ข+s แล้ว ก- (ข + ค) = (ก - ข) - คหรือ ก - (ข + ค) = (ก - ค) - ข

การพิสูจน์ทฤษฎีนี้คล้ายคลึงกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 21

สามารถกำหนดทฤษฎีบท 22 ได้ตามกฎ: เพื่อที่จะลบผลรวมของตัวเลขออกจากตัวเลข ก็เพียงพอที่จะลบแต่ละเทอมออกจากตัวเลขนี้ทีละเทอม

ในการสอนคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา คำจำกัดความของการลบซึ่งเป็นผลตรงกันข้ามของการบวก ตามกฎแล้วไม่ได้กำหนดไว้ในรูปแบบทั่วไป แต่มีการใช้อย่างต่อเนื่อง โดยเริ่มจากการดำเนินการกับตัวเลขหลักเดียว นักเรียนควรเข้าใจอย่างชัดเจนว่าการลบเกี่ยวข้องกับการบวก และใช้ความสัมพันธ์นี้ในการคำนวณ ตัวอย่างเช่น การลบเลข 16 ออกจากเลข 40 นักเรียนให้เหตุผลดังนี้: “การลบเลข 16 จาก 40 หมายถึงการหาตัวเลขที่เมื่อบวกเข้ากับเลข 16 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 40; จำนวนนี้จะเป็น 24 เนื่องจาก 24 + 16 = 40 ดังนั้น 40 - 16 = 24"

กฎสำหรับการลบตัวเลขออกจากผลรวมและผลรวมจากตัวเลขในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้นเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับเทคนิคการคำนวณต่างๆ ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ (40 + 16) - 10 สามารถพบได้ไม่เพียงโดยการคำนวณผลรวมในวงเล็บแล้วลบตัวเลข 10 ออกจากค่านั้น แต่ยังด้วยวิธีนี้ด้วย

ก) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

ข) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46

แบบฝึกหัด

1. จริงหรือไม่ที่จำนวนธรรมชาติแต่ละตัวจะได้มาจากจำนวนถัดไปถัดไปโดยการลบออกหนึ่ง?

2. โครงสร้างเชิงตรรกะของทฤษฎีบทที่ 19 มีความพิเศษอย่างไร สามารถกำหนดโดยใช้คำว่า “จำเป็นและเพียงพอ” ได้หรือไม่?

3. พิสูจน์ว่า:

ก) ถ้า ข > ค,ที่ (ก + ข) - ค = ก + (ข - ค);

ข) ถ้า ก > ข + ค, ที่ ก - (ข+ ค) = (ก - ข) - ค.

4. เป็นไปได้หรือไม่หากไม่ทำการคำนวณเพื่อบอกว่านิพจน์ใดจะมีค่าเท่ากัน:

ก) (50 + 16)- 14; ง) 50 + (16 -14 ),

ข) (50 - 14) + 16; จ) 50 - (16 - 14);
ค) (50 - 14) - 16, ฉ) (50 + 14) - 16

ก) 50 - (16 + 14); ง) (50 - 14) + 16;

ข) (50 - 16) + 14; จ) (50 - 14) - 16;

ค) (50 - 16) - 14; จ) 50 - 16-14.

5. คุณสมบัติของการลบที่เป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับเทคนิคการคำนวณต่อไปนี้ที่ศึกษาในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น:

12 - 2-3 12 -5 = 7

ข) 16-7 = 16-6 - ป;

ค) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;

ง) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45

6. อธิบายวิธีที่เป็นไปได้ในการประเมินค่าของนิพจน์ของแบบฟอร์ม ก - ข- กับและอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

7.พิสูจน์ว่าเมื่อไร ข< а และ c ตามธรรมชาติใดๆ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง (ก – ข) ค = เอซี - บีซี

บันทึก. การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่ 4

8. กำหนดค่าของนิพจน์โดยไม่ต้องคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษร ปรับคำตอบของคุณ

ก) 7865 × 6 – 7865 ×5: ข) 957 × 11 – 957; ค) 12 × 36 – 7 × 36

แผนก

ในการสร้างสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวนธรรมชาติ การหารมักถูกกำหนดให้เป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ

คำนิยาม. การหารจำนวนธรรมชาติ a และ b เป็นการดำเนินการที่เป็นไปตามเงื่อนไข: a: b = c ถ้าและก็ต่อเมื่อถึง เมื่อข× ค = ก.

ตัวเลข ก:ขเรียกว่า ส่วนตัวตัวเลข กและ ขตัวเลข กหารได้, จำนวน ข- ตัวหาร

ดังที่ทราบกันดีว่าการหารเซตของจำนวนธรรมชาตินั้นไม่ได้มีอยู่เสมอไป และไม่มีสัญญาณที่สะดวกของการมีอยู่ของผลหารที่มีอยู่สำหรับผลต่าง มีเพียงเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสิ่งนั้นเท่านั้น

ทฤษฎีบท 23เพื่อให้เป็นผลหารของจำนวนธรรมชาติสองตัว กและ ขมันจำเป็นอย่างนั้น ข< а.

การพิสูจน์. ให้ผลหารของจำนวนธรรมชาติ กและ ขมีอยู่เช่น มีจำนวนธรรมชาติ c แบบนั้น พ.ศ. = ก.เนื่องจากจำนวนธรรมชาติ 1 ใดๆ ความไม่เท่าเทียมกันคือ 1 ปอนด์ กับ,จากนั้นจึงคูณทั้งสองส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ ขเราได้รับ ข£ ก่อนคริสต์ศักราชแต่ พ.ศ. = ก,เพราะฉะนั้น, ข£ ก.

ทฤษฎีบท 24ถ้าผลหารของจำนวนธรรมชาติ กและ ขมีอยู่แล้วมันก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้คล้ายคลึงกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องความเป็นเอกลักษณ์ของผลต่างของจำนวนธรรมชาติ

ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของผลหารของจำนวนธรรมชาติและเงื่อนไขของการดำรงอยู่ของมัน มีความเป็นไปได้ที่จะปรับกฎที่รู้จักกันดีสำหรับการหารผลรวม (ผลต่าง ผลคูณ) ด้วยตัวเลข

ทฤษฎีบท 25ถ้าเป็นตัวเลข กและ ขหารด้วยตัวเลข กับ,แล้วผลรวมของพวกเขา ก + ขหารด้วย c และผลหารที่ได้จากการหารผลรวม ก+ ขต่อหมายเลข กับ,เท่ากับผลรวมของผลหารที่ได้จากการหาร กบน กับและ ขบน กับ, เช่น. (ก + ข):ค = ก:ค + ข:กับ.

การพิสูจน์. ตั้งแต่จำนวน กหารด้วย กับ,แล้วจะมีจำนวนธรรมชาติ x = ก;นั่นสินะ ก = cxในทำนองเดียวกัน ก็มีจำนวนธรรมชาติเช่นกัน ย = ข:กับ,อะไร

ข= ซูแต่แล้ว ก + ข = ซีเอ็กซ์+ ไซ = - ค(x + y)นี่หมายความว่า ก + ขหารด้วย c และผลหารที่ได้จากการหารผลรวม ก+ ขตามจำนวน c เท่ากับ x + ใช่เหล่านั้น. ขวาน + b: ค.

ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสามารถกำหนดเป็นกฎสำหรับการหารผลรวมด้วยตัวเลข: เพื่อที่จะหารผลรวมด้วยตัวเลข ก็เพียงพอที่จะหารแต่ละเทอมด้วยตัวเลขนี้แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

ทฤษฎีบท 26ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ กและ ขหารด้วยตัวเลข กับและ ก > ข,แล้วความแตกต่าง ก - ขหารด้วย c และผลหารที่ได้จากการหารผลต่างด้วยจำนวน c เท่ากับผลต่างของผลหารที่ได้จากการหาร กบน กับและ ขบนคเช่น (ก - ข):ค = ก:ค - ข:ค

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้คล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทก่อนหน้า

ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดเป็นกฎสำหรับการหารผลต่างด้วยตัวเลข: สำหรับหากต้องการหารผลต่างด้วยตัวเลข ก็เพียงพอที่จะหารค่า minuend และค่าลบด้วยตัวเลขนี้ แล้วลบค่าที่สองจากผลหารแรก

ทฤษฎีบท 27ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ กหารด้วยจำนวนธรรมชาติ c ลงตัว แล้วหารด้วยจำนวนธรรมชาติใดๆ ขงาน เกี่ยวกับหารด้วย ส. ในกรณีนี้ ผลหารที่ได้จากการหารผลคูณ เกี่ยวกับถึงหมายเลข s , เท่ากับผลคูณของผลหารที่ได้จากการหาร กบน กับ,และตัวเลข ข: (ก × ข):ค - (ก:ค) × ข

การพิสูจน์. เพราะ กหารด้วย กับ,แล้วจะมีจำนวนธรรมชาติ x แบบนั้น ก:ค= x โดยที่ ก = cxคูณความเท่ากันทั้งสองข้างด้วย ขเราได้รับ ab = (cx)ข.เนื่องจากการคูณมีความสัมพันธ์กัน (cx) ข = ค(x ข)จากที่นี่ (ก ข):ค = x ข= (ก:ค) ข.ทฤษฎีบทสามารถกำหนดเป็นกฎสำหรับการหารผลิตภัณฑ์ด้วยตัวเลข: ในการหารผลิตภัณฑ์ด้วยตัวเลข ก็เพียงพอที่จะหารตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งด้วยตัวเลขนี้แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวประกอบตัวที่สอง

ในการศึกษาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ตามกฎแล้วไม่ได้ให้คำจำกัดความของการหารว่าเป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ แต่จะใช้อย่างต่อเนื่อง โดยเริ่มจากบทเรียนแรกของการทำความคุ้นเคยกับการหาร นักเรียนควรเข้าใจอย่างชัดเจนว่าการหารเกี่ยวข้องกับการคูณ และใช้ความสัมพันธ์นี้ในการคำนวณ ตัวอย่างเช่น เมื่อหาร 48 ด้วย 16 นักเรียนให้เหตุผลดังนี้: “การหาร 48 ด้วย 16 หมายถึงการหาตัวเลขที่เมื่อคูณด้วย 16 จะได้ผลลัพธ์เป็น 48; จำนวนดังกล่าวจะเป็น 3 เนื่องจาก 16×3 = 48 ดังนั้น 48: 16 = 3

แบบฝึกหัด

1. พิสูจน์ว่า:

ก) ถ้าผลหารของจำนวนธรรมชาติ ก และ ขมีอยู่แล้วมันก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

b) ถ้าเป็นตัวเลข ก และ ขจะถูกแบ่งออกเป็น กับและ ก > ข,ที่ (ก - ข): ค = ก: ค - ข: ค
2. เป็นไปได้ไหมที่จะบอกว่าความเท่าเทียมกันทั้งหมดนี้เป็นจริง:
ก) 48:(2×4) = 48:2:4; ข) 56:(2×7) = 56:7:2;

ค) 850:170 = 850:10:17.

กฎข้อใดที่สรุปกรณีเหล่านี้? กำหนดและพิสูจน์มัน

3. คุณสมบัติของการหารเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับอะไร
ทำงานต่อไปนี้ให้กับนักเรียนชั้นประถมศึกษาให้เสร็จสิ้น:

เป็นไปได้ไหมถ้าไม่ทำการหารเพื่อบอกว่าสำนวนใดจะมีความหมายเหมือนกัน:

ก) (40+ 8):2; ค) 48:3; จ) (20+ 28):2;

ข) (30 + 16):3; ก)(21+27):3; ฉ) 48:2;

ความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ก) 48:6:2 = 48:(6:2); ข) 96:4:2 = 96:(4-2);

ค) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. อธิบายวิธีที่เป็นไปได้ในการคำนวณค่าของนิพจน์
พิมพ์:

ก) (ก+ ข):ค;ข) ก:ข: กับ; วี) ( ก × ข): กับ .

อธิบายวิธีการที่เสนอพร้อมตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

5. ค้นหาความหมายของสำนวนอย่างมีเหตุผล ของพวกเขา
ปรับการกระทำของคุณ:

ก) (7 × 63):7; ค) (15 × 18):(5× 6);

ข) (3 × 4× 5): 15; ง) (12 × 21): 14.

6. ระบุวิธีการหารด้วยตัวเลขสองหลักดังต่อไปนี้:

ก) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

ข) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

ค) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

ง) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120

7. หาเหตุผลมากที่สุดโดยไม่หารด้วยมุม
ในทางเชาวน์; ปรับวิธีการที่เลือก:

ก) 495:15; ค) 455:7; จ) 275:55;

6) 425:85; ง) 225:9; จ) 455:65.

การบรรยายครั้งที่ 34. คุณสมบัติของเซตของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ

1. เซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ คุณสมบัติของเซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

2. แนวคิดเรื่องส่วนของชุดตัวเลขธรรมชาติและองค์ประกอบการนับของเซตจำกัด จำนวนธรรมชาติลำดับและคาร์ดินัล

สำหรับการสอบของรัฐในสาขาวิชาพิเศษ

1. พื้นที่เชิงเส้น (เวกเตอร์) เหนือสนาม ตัวอย่าง. สเปซย่อย คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของเวกเตอร์

2. พื้นฐานและมิติของปริภูมิเวกเตอร์ เมทริกซ์พิกัดของระบบเวกเตอร์ การเปลี่ยนจากพื้นฐานหนึ่งไปอีกพื้นฐานหนึ่ง สมสัณฐานของปริภูมิเวกเตอร์

3. ความปิดพีชคณิตของสนามจำนวนเชิงซ้อน

4. วงแหวนของจำนวนเต็ม การเรียงลำดับจำนวนเต็ม ทฤษฎีบทเรื่องจำนวนเต็ม "ใหญ่ที่สุด" และ "เล็กที่สุด"

5. กลุ่มตัวอย่างของกลุ่ม คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของกลุ่ม กลุ่มย่อย โฮโมมอร์ฟิซึมและมอร์ฟิซึมของกลุ่ม

6. คุณสมบัติพื้นฐานของการหารจำนวนเต็มลงตัว เลขเด่น. อนันต์ของเซตของจำนวนเฉพาะ การสลายตัวตามหลักการของจำนวนประกอบและความเป็นเอกลักษณ์

7. ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี (เกณฑ์ความสอดคล้องสำหรับระบบสมการเชิงเส้น)

8. คุณสมบัติพื้นฐานของการเปรียบเทียบ ระบบการหักแบบโมดูโลที่สมบูรณ์และลดจำนวนลง วงแหวนคลาสสารตกค้างโมดูโล่ ทฤษฎีบทของออยเลอร์และแฟร์มาต์

9. การประยุกต์ทฤษฎีการเปรียบเทียบกับการได้มาของเกณฑ์การหาร การแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมและกำหนดความยาวของช่วงเวลา

10. การรวมกันของรากจินตภาพของพหุนามกับสัมประสิทธิ์จริง พหุนามที่ลดไม่ได้ในสนามของจำนวนจริง

11. การเปรียบเทียบเชิงเส้นกับตัวแปรเดียว (เกณฑ์ความสามารถในการละลาย วิธีการแก้ปัญหา)

12. ระบบสมการเชิงเส้นสมการ วิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ

13. แหวน. ตัวอย่างแหวน. คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของวงแหวน วงแหวนย่อย โฮโมมอร์ฟิซึมและมอร์ฟิซึมของวงแหวน สนาม. ตัวอย่างของเขตข้อมูล คุณสมบัติที่ง่ายที่สุด ค่าน้อยที่สุดของสนามของจำนวนตรรกยะ

14. จำนวนธรรมชาติ (พื้นฐานของทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติ) ทฤษฎีบทเรื่องจำนวนธรรมชาติที่ “ใหญ่ที่สุด” และ “เล็กที่สุด”

15. พหุนามเหนือสนาม ทฤษฎีบทเรื่องการหารด้วยเศษ ตัวหารร่วมมากที่สุดของพหุนามสองตัว คุณสมบัติและวิธีการหา

16. ความสัมพันธ์แบบไบนารี ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน คลาสที่เท่าเทียมกัน เซตตัวประกอบ

17. การปฐมนิเทศทางคณิตศาสตร์สำหรับจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม

18. คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็ม คุณสมบัติ และวิธีการค้นหา

19. ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน, ฟิลด์ตัวเลข การแสดงเรขาคณิตและรูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

20. ทฤษฎีบทเรื่องการหารด้วยเศษของจำนวนเต็ม ตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็ม คุณสมบัติ และวิธีการค้นหา

21. ตัวดำเนินการเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ เคอร์เนลและอิมเมจของตัวดำเนินการเชิงเส้น พีชคณิตของตัวดำเนินการเชิงเส้นในปริภูมิเวกเตอร์ ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น

22. กำหนดการแปลงของระนาบ คุณสมบัติ และวิธีการระบุ กลุ่มการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ของระนาบและกลุ่มย่อย

23. รูปหลายเหลี่ยม พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์

24. ขนาดเท่ากันและมีองค์ประกอบเท่ากันของรูปหลายเหลี่ยม

25. เรขาคณิตของ Lobachevsky ความสอดคล้องของระบบสัจพจน์ของเรขาคณิต Lobachevsky

26. แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมในเรขาคณิตของ Lobachevsky ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นบนระนาบ Lobachevsky

27. สูตรการเคลื่อนไหว การจำแนกประเภทของการเคลื่อนที่ของเครื่องบิน การประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา

28. ตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบสองระนาบ เส้นตรงและระนาบ เส้นตรงสองเส้นในอวกาศ (ในการนำเสนอเชิงวิเคราะห์)

29. การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงการ ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ สูตรสำหรับการแปลงโปรเจ็กต์

30. สเกลาร์ เวกเตอร์ และผลคูณของเวกเตอร์ การประยุกต์ในการแก้ปัญหา

31. ระบบไวล์สัจพจน์ของปริภูมิยูคลิดสามมิติและความสอดคล้องของเนื้อหา

32. การเคลื่อนที่ของเครื่องบินและคุณสมบัติของเครื่องบิน กลุ่มการเคลื่อนไหวของเครื่องบิน ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ของการเคลื่อนที่

33. เครื่องบินฉายภาพและแบบจำลอง การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงการ คุณสมบัติของมัน กลุ่มของการเปลี่ยนแปลงที่ฉายภาพ

34. การแปลงความคล้ายคลึงกันของเครื่องบิน, คุณสมบัติของพวกมัน กลุ่มของการแปลงความคล้ายคลึงกันของระนาบและกลุ่มย่อย

35. พื้นผิวเรียบ. รูปแบบกำลังสองแรกของพื้นผิวและการประยุกต์

36. การออกแบบแบบขนานและคุณสมบัติของมัน รูปภาพของตัวเลขแบนและเชิงพื้นที่ในการฉายภาพคู่ขนาน

37. เส้นเรียบ ความโค้งของเส้นโค้งเชิงพื้นที่และการคำนวณ

38. วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลาที่เป็นส่วนรูปกรวย สมการ Canonical

39. สมบัติทางไดเร็กทอรีของวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา สมการเชิงขั้ว

40. อัตราส่วนสองเท่าของจุดสี่จุดบนเส้น คุณสมบัติและการคำนวณ การแยกคู่จุดแบบฮาร์มอนิก รูปสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์และคุณสมบัติของมัน การประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาการก่อสร้าง

41. ทฤษฎีบทของปาสคาลและบริอันชอน เสาและขั้วโลก

ตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทเรื่องจำนวนเต็ม "ใหญ่ที่สุด" และ "เล็กที่สุด"

ทฤษฎีบท 4 (เกี่ยวกับจำนวนเต็ม "น้อยที่สุด") ชุดจำนวนเต็มที่ไม่ว่างทุกชุดที่ขอบเขตจากด้านล่างจะเป็นจำนวนที่น้อยที่สุด (ในที่นี้เช่นเดียวกับในกรณีของจำนวนธรรมชาติ จะใช้คำว่า “เซต” แทนคำว่า “เซตย่อย” E

การพิสูจน์. ให้ O A C Z และ A มีขอบเขตด้านล่าง นั่นคือ 36? ซีวา? เอ(ข< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.

ตอนนี้ให้ b A

แล้ว Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >เกี่ยวกับ).

ขอให้เราสร้างเซต M ของตัวเลขทั้งหมดในรูปแบบ a - b โดยที่ a วิ่งผ่านเซต A นั่นคือ M = (ค [ c = a - b, a E A)

แน่นอนว่าเซต M ไม่ว่างเปล่า เนื่องจาก A 74 0

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น M C N . ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติ (54, Ch.III) ในชุด M จะมีจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุด m ดังนั้น m = a1 - b สำหรับจำนวน a1 บางตัว? A และเนื่องจาก m มีขนาดเล็กที่สุดใน M แล้ว Ua? ที่< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.

ทฤษฎีบท 5 (เกี่ยวกับจำนวนเต็ม "ใหญ่ที่สุด") ชุดจำนวนเต็มจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าทุกชุดจะมีจำนวนมากที่สุด

การพิสูจน์. ให้ O 74 A C Z และ A ถูกจำกัดจากด้านบนด้วยหมายเลข b นั่นคือ - ZVa อี A(ก< Ь). Тогда -а >b สำหรับตัวเลขทั้งหมด a? ก.

ดังนั้น เซต M (ที่มี r = -a, a? A) จึงไม่ว่างเปล่าและถูกจำกัดไว้ด้านล่างด้วยตัวเลข (-6) ดังนั้น ตามทฤษฎีบทที่แล้ว จำนวนที่น้อยที่สุดจึงเกิดขึ้นในเซต M นั่นคือ เอซ? ใช่ไหม? เอ็ม (ส< с).

นี่หมายถึงวาใช่ไหม? เอ(ค)< -а), откуда Уа? А(-с >ก)

ซ. วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบต่างๆ สำหรับจำนวนเต็ม ทฤษฎีบทการหารด้วยเศษ

ทฤษฎีบท 1 (รูปแบบแรกของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์) กำหนดให้ P(c) เป็นภาคแสดงตำแหน่งเดียวที่กำหนดบนเซต Z ของจำนวนเต็ม 4 จากนั้น ถ้าข้อเสนอ P(o) สำหรับ NUMBER a Z และสำหรับจำนวนเต็มใดๆ K > a จาก P(K) ตามหลัง P(K -4- 1) แล้วข้อเสนอ P(r) จะใช้ได้กับจำนวนเต็มทั้งหมดที่มี > a (กล่าวคือ สูตรแคลคูลัสภาคแสดงต่อไปนี้เป็นจริงบนเซต Z:

Р(а) คำนับ > + 1)) Ус > аР(с)

สำหรับจำนวนเต็มคงที่ a

การพิสูจน์. ปล่อยให้ทุกสิ่งที่กล่าวไว้ในเงื่อนไขของทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับประโยค P (c) เช่น

1) P(ก) - จริง;

2) UK Shch k + ก็เป็นจริงเช่นกัน

จากสิ่งที่ตรงกันข้าม สมมติว่ามีจำนวนดังกล่าว

b > a, RF นั้น) เป็นเท็จ แน่นอน b a เนื่องจาก P(a) เป็นจริง ขอให้เราสร้างเซต M = (z ? > a, P(z) เป็นเท็จ)

แล้วเซต M 0 เนื่องจาก b? M และ M- ถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยหมายเลข a ดังนั้น ตามทฤษฎีบทของจำนวนเต็มน้อยที่สุด (ทฤษฎีบท 4, 2) จะมีจำนวนเต็มน้อยที่สุด c ในชุด M ดังนั้น c > a ซึ่งในทางกลับกันก็หมายถึง c - 1 > a

ขอให้เราพิสูจน์ว่า P(c-1) เป็นจริง ถ้า c-1 = a แล้ว P (c-1) เป็นจริงตามเงื่อนไข

ให้ c- 1 > a ถ้าอย่างนั้นสมมติฐานที่ว่า P(c- 1) เป็นเท็จนั้นเกี่ยวข้องกับ 1 หรือไม่? M ซึ่งไม่สามารถเป็นได้ เนื่องจากเลข c มีค่าน้อยที่สุดในชุด M

ดังนั้น c - 1 > a และ P(c - 1) เป็นจริง

ดังนั้น โดยอาศัยเงื่อนไขของทฤษฎีบทนี้ ประโยค P((c- 1) + 1) จึงเป็นจริง กล่าวคือ R(s) - จริง สิ่งนี้ขัดแย้งกับการเลือกหมายเลข c เนื่องจาก c? M ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้เป็นการสรุปข้อพิสูจน์ข้อที่ 1 ของสัจพจน์ของพีอาโน

ทฤษฎีบท 2 (รูปแบบที่สองของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์สำหรับจำนวนเต็ม) กำหนดให้ P(c) เป็นภาคแสดงตำแหน่งเดียวที่กำหนดบนเซต Z ของจำนวนเต็ม แล้วถ้าข้อเสนอ P(c) ใช้ได้กับจำนวนเต็ม K บางจำนวนและสำหรับจำนวนเต็มใดๆ s K จากความถูกต้องของข้อเสนอ P(c) สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดที่เป็นไปตามอสมการ K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >ถึง.

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ส่วนใหญ่จะเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่คล้ายกันซ้ำสำหรับจำนวนธรรมชาติ (ทฤษฎีบท 1, 55, บทที่ 3)

ทฤษฎีบท 3 (รูปแบบที่สามของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์) กำหนดให้ P(c) เป็นภาคแสดงตำแหน่งเดียวที่กำหนดบนเซต Z ของจำนวนเต็ม NUMBERS จากนั้น ถ้า P(c) เป็นจริงสำหรับจำนวนทั้งหมดของเซตย่อย M ที่เป็นอนันต์ของเซตของจำนวนธรรมชาติ และสำหรับจำนวนเต็มใดๆ a ความจริงของ P(a) ก็แสดงถึงความจริงของ P(a - 1) ดังนั้นประพจน์ P(c) ใช้ได้กับจำนวนเต็มทุกจำนวน

การพิสูจน์นั้นคล้ายคลึงกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สอดคล้องกันของจำนวนธรรมชาติ

เราเสนอให้เป็นแบบฝึกหัดที่น่าสนใจ

โปรดทราบว่าในทางปฏิบัติ รูปแบบที่สามของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์นั้นพบได้น้อยกว่ารูปแบบอื่นๆ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าในการใช้งานจำเป็นต้องรู้เซตย่อย M ของเซตของจำนวนธรรมชาติซึ่งจะกล่าวถึงในทฤษฎีบท การค้นหาชุดดังกล่าวอาจเป็นงานที่ยาก

แต่ข้อดีของรูปแบบที่สามเหนือรูปแบบอื่นๆ ก็คือ ด้วยความช่วยเหลือของรูปแบบนี้ ทำให้สามารถพิสูจน์ข้อเสนอ P(c) สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดได้

ด้านล่างนี้เราจะยกตัวอย่างการประยุกต์ใช้แบบฟอร์มที่สามที่น่าสนใจ" แต่ก่อนอื่น เราจะให้แนวคิดที่สำคัญมากประการหนึ่ง

คำนิยาม. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม a คือตัวเลขที่กำหนดโดยกฎ

0 ถ้าเป็น O ถ้าเป็น > O

และถ้าก< 0.

ดังนั้น ถ้าเป็น 0 แล้ว ? เอ็น.

เราขอเชิญชวนผู้อ่านให้เป็นแบบฝึกหัดเพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์ต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท (เกี่ยวกับการหารด้วยเศษ) สำหรับจำนวนเต็ม a และ b ใดๆ โดยที่ b 0 มีอยู่ และยิ่งไปกว่านั้น มีตัวเลขเพียงคู่เดียวเท่านั้น q U m ที่ทำให้ a r: bq + T L D

การพิสูจน์.

1. การมีอยู่ของคู่ (q, m)

ให้ a, b? Z และ 0 ให้เราแสดงว่ามีตัวเลข q คู่หนึ่งและเป็นไปตามเงื่อนไข

เราดำเนินการพิสูจน์โดยการอุปนัยในรูปแบบที่สามกับตัวเลข a สำหรับจำนวนคงที่ b

M = (mlm= n ปอนด์,n? N)

เห็นได้ชัดว่า M C เป็นการจับคู่ f: N M ซึ่งกำหนดโดยกฎ f(n) = nlbl สำหรับ n ใดๆ? N เป็นคำโต้แย้ง ซึ่งหมายความว่า M N คือ M- ไม่มีที่สิ้นสุด

ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนใดๆ a? ข้อความ m (และ b-fixed) ของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของคู่ของตัวเลข q และ m เป็นจริง

แน่นอน ให้ (- ม. แล้ว pf! สำหรับบางคน n? N.

ถ้า b > 0 ดังนั้น a = n + O ตอนนี้ตั้งค่า q = n และ m O เราจะได้คู่ของตัวเลขที่ต้องการ q และ m ถ้า b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q

ตอนนี้ให้เราสร้างสมมติฐานแบบอุปนัย ให้เราสมมติว่าสำหรับจำนวนเต็มตามอำเภอใจ c (และค่าคงที่ตามอำเภอใจ b 0) ข้อความของทฤษฎีบทนั้นเป็นจริง กล่าวคือ มีตัวเลขคู่หนึ่ง (q, m) แบบนั้น

ให้เราพิสูจน์ว่ามันเป็นจริงสำหรับจำนวนนั้นด้วย (ด้วย 1) จากความเท่าเทียมกัน c = bq -4- มันจะตามมาด้วย bq + (m - 1) (1)

อาจมีกรณี.

1) m > 0 จากนั้น 7" - 1 > 0 ในกรณีนี้ เมื่อใส่ - m - 1 เราจะได้ c - 1 - bq + Tl โดยที่คู่ (q, 7"1,) เป็นไปตามเงื่อนไขอย่างเห็นได้ชัด

0. จากนั้น c - 1 bq1 + 711 โดยที่ q1

เราพิสูจน์ได้ง่ายๆ ว่า 0< < Д.

ดังนั้น ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับคู่ของตัวเลขด้วย

ส่วนแรกของทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

P. ความเป็นเอกลักษณ์ของคู่ q เป็นต้น

สมมติว่าสำหรับตัวเลข a และ b 0 มีตัวเลขสองคู่ (q, m) และ (q1 จากนั้นตรงตามเงื่อนไข (*)

ให้เราพิสูจน์ว่าพวกเขาตรงกัน ดังนั้นให้

และ bq1 L O< Д.

นี่บอกเป็นนัยว่า b(q1 -q) m- 7 1 1 จากความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามนั้น

หากตอนนี้เราถือว่า q ql แล้ว q - q1 0 โดยที่ lq - q1l 1 การคูณความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ในระยะต่อเทอมด้วยจำนวน lbl เราจะได้ φ! - q11 ง. (3)

ขณะเดียวกันจากอสมการ 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.

แบบฝึกหัด:

1. พิสูจน์ทฤษฎีบท 2 และ 3 จากข้อ 5 1.

2. พิสูจน์ข้อพิสูจน์ 2 จากทฤษฎีบท 3, 1

3. จงพิสูจน์ว่าสับเซต H C Z ประกอบด้วยตัวเลขทุกตัวในแบบฟอร์ม< п + 1, 1 >(n? N) ปิดภายใต้การบวกและการคูณ

4. ให้ H หมายถึงเซตเดียวกับในแบบฝึกหัดที่ 3 พิสูจน์ว่าการแมป ј : M เป็นไปตามเงื่อนไข:

1) ј - การบิดเบี้ยว;

2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) และ j(nm) = ј(n) j(m) สำหรับตัวเลขใด ๆ n, m (เช่น ј ดำเนินการ isomorphism ของพีชคณิต (N , 4 และ (H, + ,)

5. พิสูจน์ทฤษฎีบท 1 จาก 2 ให้สมบูรณ์

6. พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็มใดๆ a, b, c จะมีความหมายดังต่อไปนี้:

7. พิสูจน์ทฤษฎีบทที่สองและสามจาก Z

8. พิสูจน์ว่าวงแหวน Z ของจำนวนเต็มไม่มีตัวหารเป็นศูนย์

วรรณกรรม

1. ทฤษฎีบูบากิ เอ็น. เซต. อ.: มีร์ 2508

2. Vinogradov I. M. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. รากฐานของเลขคณิต. อ.: อุชเพ็ดกิซ, 1963.

4. Kargapolov M.I. , Merzlyakov Yu.I. ความรู้พื้นฐานของทฤษฎีกลุ่ม

อ.: เนากา, 2515.

5. Kostrikin A.I. พีชคณิตเบื้องต้น อ.: เนากา, 1994.

ข. Kulikov L. Ya. พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน ม.: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2522

7. คูรอช เอ.จี. หลักสูตรพีชคณิตขั้นสูง อ.: เนากา, 2514.

8. Lyubetsky V. A. แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน อ.: การศึกษา, 2530.

9. ไลปินอียู และอื่นๆ แบบฝึกหัดเรื่องทฤษฎีกลุ่ม อ.: เนากา, 2510.

10. ระบบพีชคณิต Maltsev อ.: เนากา, 1970.

11. MenDelson E. ตรรกะทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น อ.: เนากา, 2514.

12. Nechaev V.I. ระบบตัวเลข อ.: การศึกษา, 2518.

13. โนวิคอฟ ป.ล. องค์ประกอบของตรรกะทางคณิตศาสตร์ วท.. วิทยาศาสตร์, 2516.

14. Petrova V. T. การบรรยายเรื่องพีชคณิตและเรขาคณิต: เวลา 2 ชั่วโมง

ช.ล. อ.: วลาดอส, 1999.

15. รากฐานสมัยใหม่ของโรงเรียนวิชาคณิตศาสตร์รับรองความถูกต้อง พ.อ.: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. อ.: การศึกษา, 2523.

16. Skornyakov L. A. องค์ประกอบของพีชคณิต อ.: เนากา, 1980.

17. สตอม อาร์.อาร์. เซต ตรรกะ ทฤษฎีสัจพจน์ ม.; การตรัสรู้ พ.ศ. 2511

18. Stolyar A. A. ความรู้เบื้องต้นทางคณิตศาสตร์เชิงตรรกะ มินสค์: สูงสุด โรงเรียน พ.ศ. 2514

19. Filippov V.P. พีชคณิตและทฤษฎีจำนวน โวลโกกราด: VGPI, 1975.

20. Frenkel A., Bar-Hilel I. รากฐานของทฤษฎีเซต. อ.: มีร์, 2509.

21. Fuchs L. ระบบสั่งบางส่วน อ.: มีร์ 2508

สิ่งพิมพ์ทางการศึกษาฉบับ

วลาดิมีร์ คอนสแตนติโนวิช คาร์ตาชอฟ

หลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น

บทช่วยสอน

การเตรียมบรรณาธิการโดย O. I. Molokanova เค้าโครงดั้งเดิมจัดทำโดย A. P. Boshchenko

“PR 020048 ลงวันที่ 20/12/96

ลงนามเผยแพร่เมื่อ 28 สิงหาคม 2542 รูปแบบ 60x84/16. การพิมพ์ในสำนักงาน บูม. พิมพ์. ม2.อูเอล. เตาอบ ล. 8.2. นักวิชาการศึกษา ล. 8.3. ยอดจำหน่าย 500 เล่ม สั่งซื้อ2

สำนักพิมพ์ "เปเรมีนา"