จากหลักสูตรการเขียนโปรแกรม เรารู้ว่าสามารถแสดงจำนวนเต็มในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ได้หลายวิธี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแสดงนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการอธิบาย: เป็นค่าประเภทจำนวนเต็ม หรือจำนวนจริง หรือสตริง ยิ่งไปกว่านั้น ในภาษาการเขียนโปรแกรมส่วนใหญ่ จำนวนเต็มเข้าใจว่าเป็นตัวเลขจากช่วงที่จำกัดมาก กรณีทั่วไปคือตั้งแต่ -2 15 = -32768 ถึง 2 15 - 1 = 32767 ระบบ พีชคณิตคอมพิวเตอร์จัดการกับจำนวนเต็มขนาดใหญ่ ระบบใดๆ ก็ตามสามารถคำนวณและแสดงตัวเลขในรูปแบบ 1,000 ในรูปแบบทศนิยมได้! (มากกว่าหนึ่งพันตัวอักษร)
ในหลักสูตรนี้ เราจะพิจารณาการแสดงจำนวนเต็มในรูปแบบสัญลักษณ์ และจะไม่ลงรายละเอียดเกี่ยวกับหน่วยความจำที่จัดสรรไว้สำหรับการบันทึกอักขระหนึ่งตัว (บิต ไบต์ หรืออื่นๆ) วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการแสดงจำนวนเต็ม ระบบตัวเลขตำแหน่ง- ระบบดังกล่าวถูกกำหนดโดยการเลือกฐานตัวเลข เช่น 10 ชุดของจำนวนเต็มทศนิยมมักจะอธิบายได้ดังนี้:
คำจำกัดความที่เป็นลายลักษณ์อักษรของจำนวนเต็มให้การแสดงจำนวนแต่ละจำนวนอย่างชัดเจน และคำจำกัดความที่คล้ายกัน (อาจใช้พื้นฐานต่างกันเท่านั้น) จะใช้ในระบบส่วนใหญ่ พีชคณิตคอมพิวเตอร์- การใช้การแทนค่านี้จะสะดวกในการนำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไปใช้กับจำนวนเต็ม นอกจากนี้ การบวกและการลบเป็นการดำเนินการที่ค่อนข้าง "ถูก" ในขณะที่การคูณและการหารมี "ราคาแพง" เมื่อประเมินความซับซ้อนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เราควรพิจารณาทั้งต้นทุนของการดำเนินการเบื้องต้น (หลักเดียว) และจำนวนการดำเนินการหลักเดียวในการดำเนินการใดๆ กับตัวเลขหลายหลัก ความซับซ้อนของการคูณและการหารนั้นเกิดจากความจริงที่ว่าเมื่อความยาวของตัวเลขเพิ่มขึ้น (การบันทึกในระบบตัวเลขใด ๆ ) จำนวนการดำเนินการเบื้องต้นจะเพิ่มขึ้นตามกฎกำลังสองตรงกันข้ามกับเส้นตรง กฎหมายสำหรับการบวกและการลบ นอกจากนี้ สิ่งที่เรามักเรียกว่าอัลกอริทึมสำหรับการหารตัวเลขหลายหลักนั้น จริงๆ แล้วขึ้นอยู่กับการค้นหา (ซึ่งมักจะค่อนข้างสำคัญ) ของเลขหลักถัดไปที่เป็นไปได้ของผลหาร และการใช้กฎสำหรับการหารเลขหลักเดียวเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ ตัวเลข หากฐานของระบบตัวเลขมีขนาดใหญ่ (มักจะอยู่ในลำดับ 2 30) วิธีนี้ก็ใช้ไม่ได้ผล
อนุญาต เป็นจำนวนธรรมชาติ (เขียนในระบบทศนิยม). เพื่อให้ได้บันทึกของเขา 
ในระบบตัวเลข -ary คุณสามารถใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้ (หมายถึงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข):
ให้ไว้: จำนวน A-ธรรมชาติในระบบเลขฐานสิบ k > 1-จำนวนธรรมชาติ ต้องการ: A-การบันทึกของตัวเลข A ในระบบจำนวน k-ary เริ่มต้น i:= 0 วนจนกระทั่ง A > 0 bi:= A (mod k ) A:= i:= i + 1 สิ้นสุดรอบ dA:= i - 1 สิ้นสุด
ในการคืนค่าเลขฐานสิบจากลำดับของสัญกรณ์ k-ary จะใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:
ให้ไว้: k > 1- ลำดับตัวเลขธรรมชาติของหลักที่แทนตัวเลข A ในระบบ k-ary ที่ต้องการ: การบันทึก A ของตัวเลข A ในระบบเลขฐานสิบ เริ่มต้น A:= 0 วนจนกระทั่งสิ้นสุดลำดับ b:= องค์ประกอบถัดไปของลำดับ A:= A * k + b สิ้นสุดของลูป สิ้นสุด
1.2. ออกกำลังกาย. อธิบายว่าเหตุใดจึงใช้การหารเพื่อแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบเคอารี และการคูณใช้ในการแปลงจากระบบเคอารีเป็นระบบทศนิยม
โดยการคูณด้วย "คอลัมน์" ตัวเลขสองหลักสองตัวในระบบเลขฐานสิบเราจะดำเนินการต่อไปนี้:
(10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(โฆษณา + bc) + bd,
นั่นคือ การดำเนินการ 4 รายการของการคูณตัวเลขหลักเดียว การดำเนินการบวก 3 รายการ และการคูณด้วยกำลังของฐาน 2 ครั้ง ซึ่งลดลงเป็นกะ เมื่อประเมินความซับซ้อน คุณสามารถคำนึงถึงการดำเนินการเบื้องต้นทั้งหมดโดยไม่ต้องหารด้วยน้ำหนัก (ในตัวอย่างนี้ เรามีการดำเนินการเบื้องต้น 9 รายการ) ด้วยวิธีนี้ ปัญหาในการเพิ่มประสิทธิภาพอัลกอริทึมจะลดลงเหลือเพียงการลดจำนวนการดำเนินการเบื้องต้นทั้งหมดให้เหลือน้อยที่สุด อย่างไรก็ตาม อาจถือได้ว่าการคูณเป็นการดำเนินการที่ "แพง" มากกว่าการบวก ซึ่งในทางกลับกันก็ "แพงกว่า" มากกว่ากะ เมื่อพิจารณาเฉพาะการดำเนินการที่แพงที่สุดเท่านั้น เราก็เข้าใจได้ การคูณความยากของการคูณตัวเลขสองหลักในคอลัมน์เดียวคือ 4
ส่วนที่ 5 กล่าวถึงอัลกอริทึมในการคำนวณตัวหารร่วมมากและการประมาณความซับซ้อน
การเป็นตัวแทนที่พิจารณาไม่ได้เป็นเพียงการแสดงจำนวนเต็มตามรูปแบบบัญญัติเท่านั้น ตามที่ระบุไว้แล้ว ในการเลือกการแทนตามรูปแบบบัญญัติ คุณสามารถใช้ลักษณะเฉพาะของการสลายตัวของจำนวนธรรมชาติให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้ การแสดงจำนวนเต็มนี้สามารถนำไปใช้ในงานที่ใช้เฉพาะการดำเนินการคูณและการหารเท่านั้น เนื่องจากจะมี "ราคาถูก" มาก แต่ค่าใช้จ่ายในการบวกและการลบเพิ่มขึ้นอย่างไม่เป็นสัดส่วน ซึ่งทำให้ไม่สามารถใช้การแทนดังกล่าวได้ ในปัญหาบางอย่าง การละทิ้งการแสดงแบบบัญญัติจะทำให้ประสิทธิภาพเพิ่มขึ้นอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถใช้การแยกตัวประกอบตัวเลขบางส่วนได้ วิธีการที่คล้ายกันนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อไม่ได้ทำงานกับตัวเลข แต่ใช้กับพหุนาม
หากทราบว่าในระหว่างการทำงานของโปรแกรม จำนวนเต็มทั้งหมดที่พบในการคำนวณจะถูกจำกัดด้วยค่าสัมบูรณ์ด้วยค่าคงที่ที่กำหนด ดังนั้นเพื่อกำหนดจำนวนดังกล่าว เราสามารถใช้ระบบของสารตกค้างแบบโมดูโลจำนวนโคไพรม์บางตัว ซึ่งผลคูณของค่าที่เกินกว่านั้น ค่าคงที่ดังกล่าว โดยทั่วไปการคำนวณด้วยคลาสเรซิดิวจะเร็วกว่าการคำนวณแบบพหุคูณ และด้วยวิธีนี้ ควรใช้เลขคณิตที่มีความแม่นยำสูงเฉพาะเมื่อป้อนหรือส่งออกข้อมูลเท่านั้น
โปรดทราบว่าพร้อมกับการเป็นตัวแทนตามรูปแบบบัญญัติในระบบ พีชคณิตคอมพิวเตอร์ยังใช้คำแทนอื่นๆ อีกด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นที่พึงประสงค์ว่าการมีหรือไม่มีเครื่องหมาย "+" หน้าจำนวนเต็มจะไม่ส่งผลต่อการรับรู้ของคอมพิวเตอร์ ดังนั้น สำหรับจำนวนบวก จะได้ค่าแทนที่ไม่ชัดเจน แม้ว่าจะกำหนดรูปแบบของจำนวนลบโดยเฉพาะก็ตาม
ข้อกำหนดอีกประการหนึ่งคือการรับรู้ตัวเลขไม่ควรได้รับผลกระทบจากการมีศูนย์อยู่ก่อนเลขนัยสำคัญตัวแรก
1.3. แบบฝึกหัด
- ประมาณจำนวนการคูณหลักเดียวที่ใช้เมื่อคูณตัวเลข m หลักด้วยคอลัมน์ n หลัก
- แสดงว่าตัวเลขสองหลักสองตัวสามารถคูณได้โดยใช้การคูณเลขหลักเดียวเพียง 3 หลักและเพิ่มจำนวนการบวก
- ค้นหาอัลกอริธึมสำหรับการหารจำนวนยาวที่ไม่ต้องใช้การค้นหามากนักเมื่อค้นหาหลักแรกของผลหาร
- อธิบายอัลกอริทึมสำหรับการแปลงจำนวนธรรมชาติจากระบบจำนวน m-ary ไปเป็นระบบจำนวน n-ary
- ใน เลขโรมันสัญลักษณ์ต่อไปนี้ใช้ในการเขียนตัวเลข: I - หนึ่ง, V - ห้า, X - สิบ, L - ห้าสิบ, C - หนึ่งร้อย, D - ห้าร้อย, M - พัน สัญลักษณ์จะถือเป็นลบหากมีสัญลักษณ์ที่มีจำนวนมากกว่าทางด้านขวาของสัญลักษณ์นั้น และมิฉะนั้นจะถือว่าเป็นค่าบวก ตัวอย่างเช่น หมายเลข 1948 ในระบบนี้จะถูกเขียนดังนี้: MCMXLVIII กำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขจากโรมันเป็นทศนิยมและกลับ ใช้อัลกอริทึมผลลัพธ์ในภาษาอัลกอริทึมภาษาใดภาษาหนึ่ง (เช่น C) ข้อจำกัดเกี่ยวกับแหล่งข้อมูล: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
- กำหนดอัลกอริทึมและเขียนโปรแกรมสำหรับการบวกจำนวนธรรมชาติในการเลขโรมัน
- เราจะบอกว่าเรากำลังจัดการกับระบบตัวเลขด้วย พื้นฐานผสมหรือเวกเตอร์ถ้าเราได้รับเวกเตอร์ของจำนวนธรรมชาติ n M = (m 1 , . . . , m n) (รัศมี) และสัญลักษณ์ K = (k 0 , k 1 , . . . , k n) หมายถึงตัวเลข k = k 0 +m 1 (k 1 +m 2 (k 2 +· · ·+m n ·k n)...))- เขียนโปรแกรมโดยอาศัยข้อมูล (วันในสัปดาห์ ชั่วโมง นาที วินาที) กำหนดจำนวนวินาทีที่ผ่านไปนับตั้งแต่ต้นสัปดาห์ (วันจันทร์ 0, 0, 0) = 0และดำเนินการแปลงกลับ
หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา
สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง
มหาวิทยาลัยมนุษยธรรมแห่งรัฐ Vyatka
คณะคณิตศาสตร์
ภาควิชาการวิเคราะห์และวิธีการทางคณิตศาสตร์
การสอนคณิตศาสตร์
งานคัดเลือกรอบสุดท้าย
ในหัวข้อ: วงแหวนจำนวนเต็มเกาส์เซียน
สมบูรณ์:
นักศึกษาชั้นปีที่ 5
คณะคณิตศาสตร์
กนูซอฟ วี.วี.
___________________________
หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:
อาจารย์อาวุโสของภาควิชา
พีชคณิตและเรขาคณิต
เซเมนอฟ เอ.เอ็น..
___________________________
ผู้วิจารณ์:
ผู้สมัครสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์, รองศาสตราจารย์
ภาควิชาพีชคณิตและเรขาคณิต
โคฟยาซินา อี.เอ็ม.
___________________________
เข้ารับการแก้ต่างที่สำนักงานคณะกรรมการรับรองหลักฐานแห่งรัฐ
ศีรษะ แผนก________________ Vechtomov E.M.
« »________________
คณบดีคณะ ___________________ วารันคินา วี.ไอ.
การแนะนำ.
วงแหวนของจำนวนเต็มเชิงซ้อน
ถูกค้นพบโดย Carl Gauss และตั้งชื่อ Gaussian เพื่อเป็นเกียรติแก่เขาK. Gauss มาถึงแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้และความจำเป็นในการขยายแนวคิดของจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาอัลกอริธึมสำหรับการแก้ไขการเปรียบเทียบระดับที่สอง เขาย้ายแนวคิดเรื่องจำนวนเต็มไปเป็นรูปแบบตัวเลข
โดยที่ เป็นจำนวนเต็มใดๆ และเป็นรากของสมการ บนเซตที่กำหนด K. Gauss เป็นคนแรกที่สร้างทฤษฎีการหารลงตัว คล้ายกับทฤษฎีการหารจำนวนเต็มลงตัว เขายืนยันความถูกต้องของคุณสมบัติพื้นฐานของการหารลงตัว แสดงให้เห็นว่าในวงแหวนของจำนวนเชิงซ้อนมีองค์ประกอบที่กลับด้านได้เพียงสี่องค์ประกอบเท่านั้น: ; พิสูจน์ความถูกต้องของทฤษฎีบทเรื่องการหารด้วยเศษ ทฤษฎีบทเรื่องเอกลักษณ์ของการแยกตัวประกอบ แสดงว่าจำนวนธรรมชาติเฉพาะใดที่จะยังคงเป็นจำนวนเฉพาะในวงแหวน ค้นพบธรรมชาติของจำนวนเต็มเชิงเดี่ยวและจำนวนเชิงซ้อนทฤษฎีที่พัฒนาโดย K. Gauss ซึ่งอธิบายไว้ในงาน Arithmetic Studies ของเขา ถือเป็นการค้นพบพื้นฐานสำหรับทฤษฎีตัวเลขและพีชคณิต
เป้าหมายต่อไปนี้ถูกกำหนดไว้ในงานขั้นสุดท้าย:
1. พัฒนาทฤษฎีการหารลงตัวในวงแหวนของจำนวนเกาส์เซียน
2. ค้นหาธรรมชาติของจำนวนเฉพาะแบบเกาส์เซียน
3. แสดงการใช้เลขเกาส์เซียนในการแก้ปัญหาไดโอแฟนไทน์ทั่วไป
บทที่ 1 การแบ่งวงแหวนของตัวเลขเกาส์
ลองพิจารณาเซตของจำนวนเชิงซ้อนกัน โดยการเปรียบเทียบกับเซตของจำนวนจริง สามารถแยกแยะเซตย่อยของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งได้ ชุดตัวเลขของแบบฟอร์ม
, ที่ไหน ลองเรียกพวกมันว่าจำนวนเต็มเชิงซ้อนหรือตัวเลขเกาส์เซียน มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าสัจพจน์ของวงแหวนยังคงอยู่สำหรับชุดนี้ ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนชุดนี้จึงเป็นวงแหวนและถูกเรียกว่า วงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียน - ให้เราแสดงว่ามันเป็น เนื่องจากมันเป็นส่วนขยายของวงแหวนตามองค์ประกอบ:เนื่องจากวงแหวนของจำนวนเกาส์เซียนเป็นสับเซตของจำนวนเชิงซ้อน คำจำกัดความและคุณสมบัติบางประการของจำนวนเชิงซ้อนจึงสามารถใช้ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับเลขเกาส์เซียนแต่ละตัว
สอดคล้องกับเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดและสิ้นสุดที่ เพราะฉะนั้น, โมดูล มีตัวเลขเกาส์เซียน โปรดทราบว่าในชุดที่กำลังพิจารณา นิพจน์ submodular จะเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเสมอ ดังนั้นในบางกรณีจะสะดวกกว่าในการใช้งาน บรรทัดฐาน นั่นคือกำลังสองของโมดูลัส ดังนั้น . สามารถแยกแยะคุณสมบัติของบรรทัดฐานต่อไปนี้ได้ สำหรับจำนวนเกาส์เซียนใดๆ ต่อไปนี้จะเป็นจริง: (1) (2) (3) (4) (5) - เซตของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งก็คือจำนวนเต็มบวกความถูกต้องของคุณสมบัติเหล่านี้ได้รับการตรวจสอบเล็กน้อยโดยใช้โมดูล ในการผ่าน เราสังเกตว่า (2), (3), (5) ใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เช่นกัน
วงแหวนตัวเลขแบบเกาส์เซียนเป็นวงแหวนสับเปลี่ยนที่ไม่มีตัวหาร 0 เนื่องจากเป็นวงแหวนย่อยของสนามของจำนวนเชิงซ้อน นี่แสดงถึงความหดตัวแบบทวีคูณของวงแหวน
นั่นคือ (6)1.1 องค์ประกอบที่สามารถย้อนกลับได้และเป็นพันธมิตร
มาดูกันว่าตัวเลขเกาส์เซียนตัวไหนจะกลับด้านได้ การคูณที่เป็นกลางคือ
- ถ้าเป็นเลขเกาส์เซียน ย้อนกลับได้ ดังนั้นตามคำนิยามก็มีอยู่เช่นนั้น ไปสู่บรรทัดฐานตามคุณสมบัติ 3 เราได้รับ แต่บรรทัดฐานเหล่านี้จึงเป็นเรื่องธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าตามคุณสมบัติ 4 ในทางกลับกัน องค์ประกอบทั้งหมดของเซตนี้กลับด้านได้ เนื่องจาก ดังนั้น ตัวเลขที่มีบรรทัดฐานเท่ากับ 1 จะสามารถกลับด้านได้ นั่นคือ ,อย่างที่คุณเห็น ไม่ใช่ว่าตัวเลขเกาส์เซียนทั้งหมดจะกลับด้านได้ การพิจารณาประเด็นความแตกแยกจึงเป็นเรื่องน่าสนใจ ตามปกติเราจะพูดอย่างนั้น
หุ้น บน ถ้ามีเช่นนั้น . สำหรับตัวเลขเกาส์เซียนใด ๆ เช่นเดียวกับตัวเลขที่กลับด้านได้ คุณสมบัตินั้นใช้ได้ (7) (8) (9) (10) โดยที่ (11) (12)ตรวจสอบได้ง่าย (8), (9), (11), (12) ความยุติธรรม (7) ตามมาจาก (2) และ (10) ตามมาจาก (6) เนื่องจากคุณสมบัติ (9) องค์ประกอบของชุด
จำนวนธรรมชาติไม่ใช่วงแหวน เนื่องจาก 0 ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ และสำหรับจำนวนธรรมชาติก็ไม่มีสิ่งที่ตรงกันข้ามตามธรรมชาติเช่นกัน โครงสร้างที่เกิดจากจำนวนธรรมชาติเรียกว่า ครึ่งแหวนแม่นยำยิ่งขึ้น
ครึ่งแหวนเรียกว่ากลุ่มกึ่งสับเปลี่ยนสำหรับการบวก และกลุ่มกึ่งกลุ่มเกี่ยวกับการคูณ ซึ่งการดำเนินการของการบวกและการคูณมีความสัมพันธ์กันตามกฎการกระจาย
ตอนนี้เราขอแนะนำคำจำกัดความที่เข้มงวดของจำนวนเต็มและพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน จากแนวคิดเกี่ยวกับโครงสร้างพีชคณิตและข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของจำนวนธรรมชาติเป็นแบบครึ่งวงกลม แต่ไม่ใช่วงแหวน เราสามารถให้คำจำกัดความต่อไปนี้ได้
คำจำกัดความ 1.วงแหวนจำนวนเต็มคือวงแหวนขั้นต่ำที่มีการแบ่งครึ่งของจำนวนธรรมชาติ
คำจำกัดความนี้ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับรูปลักษณ์ของตัวเลขดังกล่าว ในหลักสูตรของโรงเรียน จำนวนเต็มถูกกำหนดให้เป็นจำนวนธรรมชาติ ซึ่งตรงกันข้ามกับ 0 คำจำกัดความนี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างคำจำกัดความที่เข้มงวดได้
คำจำกัดความ 2วงแหวนของจำนวนเต็มคือวงแหวนที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติ ซึ่งอยู่ตรงข้ามกัน และเป็น 0 (และมีเฉพาะพวกมันเท่านั้น)
ทฤษฎีบท 1- คำจำกัดความ 1 และ 2 เทียบเท่ากัน
การพิสูจน์: ให้เราแสดงวงแหวนของจำนวนเต็มตามคำจำกัดความ 1 ด้วย Z 1 และโดย Z 2 แทนวงแหวนของจำนวนเต็มในแง่ของคำจำกัดความ 2 ก่อนอื่น เราพิสูจน์ว่า Z 2 รวมอยู่ใน Z 1 ด้วย แท้จริงแล้ว องค์ประกอบทั้งหมดของ Z 2 เป็นจำนวนธรรมชาติ (เป็นของ Z 1 เนื่องจาก Z 1 มีเลขครึ่งวงกลม) หรือสิ่งที่ตรงกันข้าม (เป็นของ Z 1 ด้วย เนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวน ซึ่งหมายถึง แต่ละองค์ประกอบของวงแหวนนี้มีสิ่งตรงกันข้ามและสำหรับจำนวนธรรมชาติทุก ๆ ตัว n О Z 1, –n ก็เป็นของ Z 1 เช่นกัน) หรือ 0 (0 О Z 1 เนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวนและในวงแหวนใด ๆ ก็จะมี 0) ดังนั้น องค์ประกอบใดๆ จาก Z 2 ก็เป็นของ Z 1 เช่นกัน ซึ่งหมายถึง Z 2 Í Z 1 ในทางกลับกัน Z 2 มีการแบ่งครึ่งของจำนวนธรรมชาติ และ Z 1 เป็นวงแหวนขั้นต่ำที่มีจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือ ไม่สามารถมีได้ อื่นแหวนที่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ แต่เราแสดงแล้วว่ามันมี Z 2 ซึ่งหมายถึง Z 1 = Z 2 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
คำจำกัดความ 3วงแหวนของจำนวนเต็มคือวงแหวนที่มีองค์ประกอบเป็นองค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งแสดงเป็นผลต่าง b – a (คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ a + x = b) โดยที่ a และ b เป็นจำนวนธรรมชาติตามอำเภอใจ
ทฤษฎีบท 2- คำจำกัดความ 3 เทียบเท่ากับสองคำก่อนหน้า
การพิสูจน์: ให้เราแสดงวงแหวนของจำนวนเต็มตามคำจำกัดความ 3 ด้วย Z 3 และโดย Z 1 = Z 2 ดังเช่นเมื่อก่อน วงแหวนของจำนวนเต็มในแง่ของคำจำกัดความ 1 และ 2 (ความเท่าเทียมกันได้ถูกกำหนดไว้แล้ว) ก่อนอื่นเราพิสูจน์ว่า Z 3 รวมอยู่ใน Z 2 แท้จริงแล้ว องค์ประกอบทั้งหมดของ Z 3 สามารถแสดงเป็นผลต่างของจำนวนธรรมชาติ b – a ได้ สำหรับจำนวนธรรมชาติสองตัวใดๆ ตามทฤษฎีบทไตรโคโตมี มีสามตัวเลือกที่เป็นไปได้:
ในกรณีนี้ ผลต่าง b – และยังเป็นจำนวนธรรมชาติด้วย ดังนั้นจึงเป็นของ Z 2
ในกรณีนี้ เราแทนค่าผลต่างขององค์ประกอบที่เท่ากันสองตัวด้วยสัญลักษณ์ 0 ขอให้เราพิสูจน์ว่านี่คือศูนย์ของวงแหวนจริงๆ ซึ่งก็คือองค์ประกอบที่เป็นกลางเมื่อเทียบกับการบวก ในการทำสิ่งนี้ เราจะใช้คำจำกัดความของความแตกต่าง a – a = x ó a = a + x และพิสูจน์ว่า b + x = b สำหรับ b ใดๆ ตามธรรมชาติ เพื่อพิสูจน์มันก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มองค์ประกอบ b ทางด้านขวาและซ้ายของความเท่าเทียมกัน a = a + x จากนั้นใช้กฎการลดขนาด (การกระทำทั้งหมดนี้สามารถทำได้ตามคุณสมบัติที่ทราบของวงแหวน) ศูนย์เป็นของ Z 2
ในกรณีนี้ ผลต่าง a – b เป็นจำนวนธรรมชาติ เราแสดงว่า
ข – ก = – (ก – ข) ขอให้เราพิสูจน์ว่าองค์ประกอบ a – b และ b – a นั้นตรงกันข้ามกันจริงๆ นั่นคือพวกมันรวมกันได้เป็นศูนย์ ที่จริงแล้ว ถ้าเราแสดงว่า a – b = x, b – a = y เราจะได้ a = b + x, b = y + a เมื่อบวกผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันทีละเทอมและลด b เราจะได้ a = x + y + a นั่นคือ x + y = a – a = 0 ดังนั้น a – b = – (b – a) จึงตรงกันข้ามกับ จำนวนธรรมชาติ นั่นคือ มันเป็นของ Z2 อีกครั้ง ดังนั้น Z 3 Í Z 2 .
ในทางกลับกัน Z 3 มีการแบ่งครึ่งของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติใดๆ n สามารถแสดงเป็นได้เสมอ
n = n / – 1 О Z 3 ,
ซึ่งหมายถึง Z 1 Í Z 3 เนื่องจาก Z 1 เป็นวงแหวนขนาดเล็กที่ประกอบด้วยตัวเลขธรรมชาติ จากข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้วว่า Z 2 = Z 1 เราได้รับ Z 1 = Z 2 = Z 3 ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
แม้ว่าเมื่อดูเผินๆ อาจดูเหมือนไม่มีสัจพจน์ในคำจำกัดความของจำนวนเต็มที่แสดงไว้ แต่คำจำกัดความเหล่านี้เป็นสัจพจน์ เนื่องจากทั้งสามคำจำกัดความบอกว่าเซตของจำนวนเต็มคือวงแหวน ดังนั้นสัจพจน์ในทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มจึงเป็นเงื่อนไขจากนิยามของวงแหวน
มาพิสูจน์กัน ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มมีความสอดคล้องกัน- เพื่อพิสูจน์ จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองวงแหวนของจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีที่สอดคล้องกันอย่างเห็นได้ชัด (ในกรณีของเรา นี่อาจเป็นเพียงทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น)
ตามคำจำกัดความที่ 3 จำนวนเต็มแต่ละจำนวนสามารถแสดงเป็นผลต่างของจำนวนธรรมชาติสองตัว z = b – a ให้เราเชื่อมโยงกับแต่ละจำนวนเต็ม z คู่ที่สอดคล้องกัน
ความสัมพันธ์ที่แนะนำคือการสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา (หลักฐานเหลืออยู่ที่ผู้อ่าน)
เช่นเดียวกับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันใดๆ ความสัมพันธ์นี้จะสร้างพาร์ติชันของเซตของคู่จำนวนธรรมชาติที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้เป็นคลาสที่เท่าเทียมกัน ซึ่งเราจะแสดงว่าเป็น [
1) [
2) [
ให้เราแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความที่แนะนำนั้นถูกต้องนั่นคือไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแทนเฉพาะจากคลาสของคู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งหากคู่นั้นเท่ากัน
การพิสูจน์: ลองใช้นิยามความเท่าเทียมกันของคู่กัน:
เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมกัน (1) และ (2) ทีละเทอม เราได้รับ:
ก + ข 1 + ค + ง 1 = ข + 1 + ง + ค 1
ทุกพจน์ในความเสมอภาคสุดท้ายเป็นจำนวนธรรมชาติ เราจึงมีสิทธิ์ใช้กฎการสับเปลี่ยนและกฎการบวกซึ่งนำเราไปสู่ความเท่าเทียมกัน
(a + c) + (b 1 + d 1)= (b + d) + (a 1 + c 1)
เพื่อพิสูจน์ความถูกต้องของการคูณ เราคูณความเท่าเทียมกัน (1) ด้วย c เราได้:
ac + b 1 วิ = bc + a 1 วิ
จากนั้นเราเขียนความเท่าเทียมกัน (1) ใหม่ในรูปแบบ b + a 1 = a + b 1 และคูณด้วย d:
bd + a 1 d = โฆษณา + b 1 วัน
ให้เราเพิ่มผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันทีละเทอม:
ac + bd + a 1 d + b 1 c = bc + โฆษณา + b 1 d + a 1 c
ซึ่งหมายความว่า
จากนั้นเราจะทำขั้นตอนเดียวกันด้วยความเท่าเทียมกัน (2) เพียงแต่เราจะคูณมันด้วย 1 และ b 1 เราได้รับ:
ก 1 ค + ก 1 วัน 1 = ก 1 วัน + ก 1 ค 1
ข 1 ง + ข 1 ค 1 = ข 1 ค + ข 1 วัน 1
a 1 c + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 d 1 = a 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 c 1 ó
ó @
(ที่นี่เราพิสูจน์แล้ว ×
ดังนั้นความถูกต้องของคำจำกัดความที่แนะนำจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
จากนั้น คุณสมบัติทั้งหมดของวงแหวนจะถูกตรวจสอบโดยตรง: กฎการเชื่อมโยงของการบวกและการคูณสำหรับประเภทของคู่ กฎการสับเปลี่ยนของการบวก และกฎการกระจาย ให้เรายกตัวอย่างการพิสูจน์กฎการเชื่อมโยงของการบวก:
เนื่องจากส่วนประกอบทั้งหมดของคู่ตัวเลขเป็นไปตามธรรมชาติ
= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =
= <(a + c), (b + d)> +
กฎที่เหลือได้รับการตรวจสอบในลักษณะเดียวกัน (โปรดทราบว่าการแปลงด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันที่ต้องการเป็นรูปแบบเดียวกันแยกจากกันอาจเป็นเทคนิคที่มีประโยชน์)
นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องพิสูจน์การมีอยู่ขององค์ประกอบที่เป็นกลางด้วยการเติม พวกมันสามารถทำหน้าที่เป็นคลาสของคู่ในรูปแบบ [<с, с>- จริงหรือ,
[
a + c + b = b + c + a (จริงสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ)
นอกจากนี้ สำหรับแต่ละคลาสของคู่ [
เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าชุดของคลาสคู่ที่แนะนำนั้นเป็นวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว (หน่วยอาจเป็นคลาสของคู่ [
[
ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของเงื่อนไข C1 และ C2 โดยใช้กฎนี้ (จากคำจำกัดความของการบวกจำนวนธรรมชาติ) เงื่อนไข C1 (a + 1 = a /) ในกรณีนี้จะถูกเขียนใหม่เป็น:
[
ก + ค / +ข = ก + ข + 1 + ค = ข + ค + ก +1 = ข + ค + ก /
(ขอเตือนคุณอีกครั้งว่าส่วนประกอบทั้งหมดเป็นธรรมชาติ)
เงื่อนไข C2 จะมีลักษณะดังนี้:
[
ให้เราแปลงด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้แยกจากกัน:
[
([
ดังนั้นเราจึงเห็นว่าด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไข C2 เป็นจริง หลักฐานยืนยันสภาพ U1 ตกเป็นของผู้อ่าน เงื่อนไข U2 เป็นผลมาจากกฎการกระจาย
ดังนั้น แบบจำลองของวงแหวนของจำนวนเต็มจึงถูกสร้างขึ้น และด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนเต็มจึงสอดคล้องกัน หากทฤษฎีสัจพจน์ของจำนวนธรรมชาติสอดคล้องกัน
คุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวนเต็ม:
2) а×(–b) = –a×b = –(ab)
3) – (– ก) = ก
4) (–ก)×(–b) = ก
5) ก×(–1) = – ก
6) ก – ข = – ข + ก = – (ข – ก)
7) – ก – ข = – (ก + ข)
8) (ก – ข) ×ค = ไฟฟ้ากระแสสลับ – พ.ศ
9) (ก – ข) – ค = ก – (ข + ค)
10) ก – (ข – ค) = ก – ข + ค
การพิสูจน์คุณสมบัติทั้งหมดจะทำซ้ำการพิสูจน์คุณสมบัติที่สอดคล้องกันของวงแหวน
1) a + a×0 = a×1 + a×0 = a ×(1 + 0) = a×1 = a นั่นคือ a×0 เป็นองค์ประกอบที่เป็นกลางในแง่ของการบวก
2) a×(–b) + ab = a(–b + b) = a×0 = 0 กล่าวคือ สมาชิก a×(–b) อยู่ตรงข้ามกับสมาชิก a×b
3) (– a) + a = 0 (ตามคำจำกัดความขององค์ประกอบตรงกันข้าม) ในทำนองเดียวกัน (– a) +(– (– a)) = 0 เมื่อทำให้ด้านซ้ายของค่าเท่ากันเท่ากันและใช้กฎแห่งการยกเลิก เราจะได้ – (– a) = a
4) (–a)×(–b) = –(a×(–b)) = –(–(a×b)) = ab
5) a×(–1) + a = a×(–1) + a×1 = a×(–1 + 1) = a×0 = 0
ก×(–1) + ก = 0
ก×(–1) = –a
6) ตามคำนิยาม ความแตกต่าง a – b คือตัวเลข x โดยที่ a = x + b เมื่อบวก –b ทางซ้ายไปขวาและซ้ายของความเท่าเทียมกันแล้วใช้กฎการสับเปลี่ยน เราจะได้ความเท่าเทียมกันอันดับแรก
– b + a + b – a = –b + b + a – a = 0 + 0 = 0 ซึ่งพิสูจน์ความเท่าเทียมกันประการที่สอง
7) – ก – ข = – 1×a – 1×b = –1×(ก +b) = – (ก +b)
8) (ก – ข) ×ค = (ก +(–1)× ข) ×ค = เอซี +(–1)×บีซี = เอซี – บีซี
9) (ก – ข) – ค = x,
ก – ข = x + ค
a – (b + c) = x นั่นคือ
(ก – ข) – ค = ก – (ข + ค)
10) a – (b – c) = a + (– 1)×(b – c) = a + (– 1×b) + (–1)× (– c) = a – 1×b + 1× ค = = ก – ข + ค
งานสำหรับโซลูชันอิสระ
ลำดับที่ 2.1. ในคอลัมน์ด้านขวาของตาราง ให้ค้นหาคู่ที่เทียบเท่ากับคู่ที่ระบุในคอลัมน์ด้านซ้ายของตาราง
| ก)<7, 5> | 1) <5, 7> |
| ข)<2, 3> | 2) <1, 10> |
| วี)<10, 10> | 3) <5, 4> |
| ช)<6, 2> | 4) <15, 5> |
| 5) <1, 5> | |
| 6) <9, 9> |
สำหรับแต่ละคู่ ให้ระบุตรงกันข้าม
ลำดับที่ 2.2. คำนวณ
ก) [<1, 5>] + [ <3, 2>- ข)[<3, 8>] + [<4, 7>];
วี) [<7, 4>] – [<8, 3>- ช) [<1, 5>] – [ <3, 2>];
จ) [<1, 5>] × [ <2, 2>- จ) [<2, 10>]× [<10, 2>].
ลำดับที่ 2.3. สำหรับแบบจำลองของจำนวนเต็มที่อธิบายไว้ในส่วนนี้ ให้ตรวจสอบกฎการสับเปลี่ยนของการบวก กฎการเชื่อมโยงและการสับเปลี่ยนของการคูณ และกฎการกระจาย
Def.วงแหวน K เรียกว่าวงแหวนของจำนวนเต็ม ถ้ากลุ่มบวกของวงแหวน K เป็นกลุ่มบวกของจำนวนเต็ม และการคูณในวงแหวน K เป็นการสับเปลี่ยนและดำเนินการคูณตัวเลขธรรมชาติต่อ (ในระบบของตัวเลขธรรมชาติ N)
T1.อนุญาต
หมอให้เราแสดงว่าพีชคณิต Z เป็นวงแหวนสับเปลี่ยน ตามเงื่อนไขพีชคณิต
กำหนดให้ a, b, c เป็นองค์ประกอบใดๆ ของเซต Z ซึ่งสามารถแสดงเป็นความสุขของจำนวนธรรมชาติได้ ให้ (1) a=m-n, b=p-q, c=r-s (m, n, p, q, r, s N)
การคูณตามธรรมชาติใน Z ถูกกำหนดโดยสูตร (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np)
การคูณตามธรรมชาติเป็นแบบสับเปลี่ยน เนื่องจาก b*a= (p-q)*(m-n)=(pm+qn)-(pn+qm) และการบวกและการคูณของจำนวนธรรมชาติเป็นแบบสับเปลี่ยน
การคูณตามธรรมชาติมีความสัมพันธ์กัน ในความเป็นจริงโดยอาศัยอำนาจตาม (1) และ (2) เรามี:
a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(rs)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+ mqr +npr+nqs);
(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](rs)=[(mp+nq)-(mq+np)](rs)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+ nqs +mqr+npr)
ดังนั้น เนื่องจากการสับเปลี่ยนของการบวกจำนวนธรรมชาติ a*(b*c)= (a*b)*c
องค์ประกอบที่ 1 มีความเป็นกลางเมื่อเทียบกับการคูณตามธรรมชาติ อันที่จริง สำหรับ a ใดๆ จาก 2 เรามี a*1=(mn)(1-0)=m*1-n*1=mn=a
ดังนั้นพีชคณิต
Def.ถ้าสำหรับจำนวนเต็ม a และ b มีจำนวนธรรมชาติ k โดยที่ a + k = b และ k 0 แล้วพวกเขาจะบอกว่า "a น้อยกว่าหรือ b" แล้วเขียน a ที2.ให้ Z= 2) สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ จะมีเงื่อนไขเพียงข้อเดียวจากสามเงื่อนไขเท่านั้น:<0, a=0, 0 3) ทัศนคติ< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c ก 4) ทัศนคติ<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с ถ้าก ต. เกี่ยวกับการหารด้วยเศษให้ a เป็นจำนวนเต็ม และ b เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่ศูนย์ การหารตัวเลข a และ b ด้วยเศษหมายถึงการแสดงตัวเลขในรูปแบบ a=bq+r โดยที่ 0 r การหารด้วยเศษเป็นไปได้เสมอ และผลหารบางส่วนและเศษจะถูกกำหนดโดยเงินปันผลและตัวหารโดยเฉพาะ ต.สำหรับจำนวนเต็ม a, b และ b>0 ใดๆ จะมีจำนวนเต็ม q และ r คู่หนึ่งที่ไม่ซ้ำกันซึ่งตรงตามเงื่อนไข: (1) a=bq+r และ 0 r หมอให้เราพิสูจน์ว่ามีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งคู่ q, r เงื่อนไขที่น่าพอใจ (1) ก่อนอื่น ลองพิจารณากรณีที่ a เป็นจำนวนธรรมชาติ เราแก้ไข b และพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำบน a ว่า (2) มีคู่ของจำนวนเต็ม q, r ที่น่าพอใจ (1) สำหรับ a=0 คำสั่ง (2) เป็นจริง เนื่องจาก 0=b*0+0 สมมติว่า (2) เป็นจริงสำหรับ a=n กล่าวคือ มีจำนวนเต็ม q, r โดยที่ (3) n=bq+r และ 0 r ตัวหารร่วมมาก.จำนวนเต็ม c เรียกว่าตัวหารร่วมของจำนวนเต็ม a 1, ..., a n ถ้า c เป็นตัวหารของจำนวนเหล่านี้แต่ละตัว Def. ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนเต็ม a 1, ..., a n คือตัวหารร่วมที่หารด้วยตัวหารร่วมใดๆ ของจำนวนเหล่านี้ลงตัว จำนวนเต็ม a 1 , …, a n เรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะถ้าตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 gcd ของตัวเลข a 1 , …, a n แทน gcd(a 1 , …, a n) gcd เชิงบวกของตัวเลขเหล่านี้ แทน nod(a 1 , …, a n) ต่อไป 1. ถ้า d คือ gcd ของจำนวนเต็ม a 1, ..., a n แล้วเซตของตัวหารร่วมทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้จะตรงกับเซตของตัวหารทั้งหมดของตัวเลข d 2 ถัดไป gcds สองตัวใดๆ ของจำนวนเต็ม a 1 , …, a n มีความสัมพันธ์กัน นั่นคือ อาจต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น ถ้า d คือ gcd ของตัวเลข a 1, …, a n แล้วตัวเลข (-d) ก็คือ gcd ของตัวเลขเหล่านี้ด้วย อัลกอริธึมของยุคลิดวิธีการหา gcd ของจำนวนเต็มสองตัว เสนอ. ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มสองตัว b≠0 และ (1) a=bq+r (0 r<|b|). จากนั้นโหนด(a,b)=พยักหน้า(b,r) หมอ จาก (1) จะได้ว่าตัวหารร่วมใดๆ ของตัวเลข a และ b เป็นตัวหารของตัวเลข r=a-bq และตัวหารร่วมใดๆ ของตัวเลข b และ r คือตัวหารของตัวเลข a ดังนั้น เซตของตัวหารร่วมทั้งหมดของตัวเลข a และ b เกิดขึ้นพร้อมกับเซตของตัวหารร่วมทั้งหมดของตัวเลข b และ r ตามมาด้วยตัวหารร่วมบวกของตัวเลข a และ b เกิดขึ้นพร้อมกับตัวหารร่วมบวกของตัวเลข b และ r กล่าวคือ โหนด(a,b)=พยักหน้า(b,r) ถ้า b|a โดยที่ b≥1 แสดงว่า node(a,b)=b ชัดเจน ในการค้นหาโหนดของจำนวนเต็มสองตัว จะใช้วิธีการ "หารตามลำดับ" เรียกว่าอัลกอริทึมแบบยุคลิด สาระสำคัญของวิธีนี้ก็คือ เนื่องจากข้อเสนอที่ได้รับการพิสูจน์แล้วข้างต้น ปัญหาในการค้นหาจุดต่อของตัวเลข a และ b จะลดลงเหลือเพียงงานที่ง่ายกว่าในการค้นหาจุดต่อของตัวเลข b และ r โดยที่ 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств. ถ้า a=0 แล้ว b=0*c=0 และทฤษฎีบทเป็นจริง ถ้า a≠0 แล้วจาก (1) จะตามหลัง cd=1 ตามทฤษฎีบท จากความเท่าเทียมกัน cd=1 จะได้ว่า d= 1 นอกจากนี้ a=bd; ดังนั้น a= b พิสูจน์แล้ว ตัวคูณร่วมน้อย.จำนวนเต็มเรียกว่าตัวคูณร่วมของจำนวนเต็ม a 1, ..., a n หากหารด้วยตัวเลขแต่ละตัวเหล่านี้ลงตัว Def. ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็ม a 1, ..., a n คือตัวคูณร่วมที่หารตัวคูณร่วมใดๆ ของจำนวนเหล่านี้ Ob-i: LCM(a 1, …, n) ตัวคูณร่วมน้อยบวกของจำนวน a 1, ..., a n ซึ่งต่างจาก 0 จะแสดงผ่าน สล-อี. ตัวคูณร่วมน้อยสองตัวใดๆ ของจำนวนเต็ม a 1 , …, a n สัมพันธ์กันใน Z กล่าวคือ อาจต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น ถ้าตัวเลข m คือ LCM(a 1 , …, a n) ดังนั้นตัวเลข (-m) ก็คือ LCM(a 1 , …, a n) สล-อี. ถ้า m เป็นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข a 1, ..., a n แล้วเซตของตัวคูณร่วมทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้จะตรงกับเซตของตัวคูณทั้งหมดของตัวเลข m คำนิยาม: ผลรวมและผลคูณของจำนวนเต็ม p-adic ที่กำหนดโดยลำดับ และเรียกว่า จำนวนเต็ม p-adic ที่กำหนดตามลำดับโดยลำดับ และ เพื่อให้แน่ใจในความถูกต้องของคำจำกัดความนี้ เราต้องพิสูจน์ว่าลำดับต่างๆ กำหนดจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง - ตัวเลขเอดิก และตัวเลขเหล่านี้ขึ้นอยู่กับลำดับที่กำหนดเท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกของลำดับที่กำหนด คุณสมบัติทั้งสองนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการตรวจสอบที่ชัดเจน เห็นได้ชัดว่าด้วยคำจำกัดความของการดำเนินการกับจำนวนเต็มเอดิก พวกมันจะก่อตัวเป็นวงแหวนสื่อสารที่มีวงแหวนของจำนวนเต็มตรรกยะเป็นวงแหวนย่อย การหารจำนวนเต็ม - เลขอาดิกถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับวงแหวนอื่น: หากมีจำนวนเต็ม - เลขเอดิกเช่นนั้น เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการหาร สิ่งสำคัญคือต้องรู้ว่าจำนวนเต็มเหล่านั้นคืออะไร - เลขเอดิกซึ่งมีจำนวนเต็มผกผัน - เลขเอดิก จำนวนดังกล่าวเรียกว่าตัวประกอบหน่วยหรือหน่วย เราจะเรียกพวกมันว่าหน่วยเอดิค ทฤษฎีบท 1: จำนวนเต็มคือตัวเลข adic ที่กำหนดโดยลำดับก็ต่อเมื่อเป็นหน่วยเมื่อใด การพิสูจน์: ให้เป็นหนึ่ง แล้วจะมีจำนวนเต็มอยู่ - เลขอาดิกเช่นนั้น หากกำหนดโดยลำดับ เงื่อนไขจะหมายถึงสิ่งนั้น โดยเฉพาะและด้วยเหตุนั้น ในทางกลับกัน ให้เป็นไปตามเงื่อนไขว่าอย่างนั้นอย่างง่ายดาย ดังนั้นสำหรับใครก็ตาม ย่อมไม่มีใครพบว่าการเปรียบเทียบนั้นถูกต้อง ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ซึ่งหมายความว่าลำดับจะกำหนดจำนวนเต็ม - ตัวเลข adic การเปรียบเทียบแสดงให้เห็นว่านั่นคือ ซึ่งเป็นหน่วย จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว จะเป็นไปตามว่าจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ โดยถือเป็นองค์ประกอบของวงแหวนถ้าหากเป็นหน่วยเมื่อใด หากตรงตามเงื่อนไขนี้แสดงว่ามีอยู่ใน ตามมาว่าจำนวนเต็มตรรกยะใดๆ b หารด้วย in ดังกล่าวได้ นั่นคือ จำนวนตรรกยะใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบ b/a โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และอยู่ในจำนวนตรรกยะของรูปแบบนี้ เรียกว่า -จำนวนเต็ม พวกมันก่อตัวเป็นวงแหวนที่ชัดเจน ผลลัพธ์ของเราสามารถกำหนดได้ดังนี้: ผลที่ตามมา: วงแหวนของจำนวนเต็มเอดิกจะมีวงแหวนย่อยที่มีลักษณะสมมาตรกับวงแหวนของจำนวนเต็มตรรกยะ คำนิยาม: เศษส่วนของรูปแบบ k >= 0 กำหนดจำนวน p-adic ที่เป็นเศษส่วนหรือเพียงจำนวน p-adic เศษส่วนสองจำนวน และให้นิยามจำนวน p-adic ที่เหมือนกันถ้า c การรวบรวมตัวเลข p-adic ทั้งหมดเขียนแทนด้วย p เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าการดำเนินการของการบวกและการคูณดำเนินต่อไปจาก p ถึง p และเปลี่ยน p ลงในช่อง 2.9. ทฤษฎีบท. จำนวน p-adic ทุกตัวสามารถแสดงได้ไม่ซ้ำกันในแบบฟอร์ม โดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและเป็นหน่วยของวงแหวน p 2.10. ทฤษฎีบท. จำนวน p-adic ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันในแบบฟอร์ม คุณสมบัติ:ฟิลด์ของจำนวน p-adic ประกอบด้วยฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์ว่าจำนวนเต็ม p-adic ใดๆ ที่ไม่ใช่ผลคูณของ p นั้นสามารถแปลงกลับได้ในวงแหวน p และผลคูณของ p เขียนในรูปแบบเฉพาะ โดยที่ x ไม่ใช่ผลคูณของ p และด้วยเหตุนี้จึงสามารถแปลงกลับได้ a . ดังนั้น องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ของสนาม p สามารถเขียนได้ในรูปแบบโดยที่ x ไม่ใช่ผลคูณของ p และ m เป็นค่าใดก็ได้ ถ้า m เป็นลบ ดังนั้น ตามการแทนจำนวนเต็ม p-adic เป็นลำดับของหลักในระบบจำนวน p-ary เราสามารถเขียนจำนวน p-adic นั้นเป็นลำดับได้ กล่าวคือ เขียนแทนอย่างเป็นทางการเป็น เศษส่วน p-ary ที่มีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมจำกัด และอาจเป็นจำนวนอนันต์ของหลักที่ไม่ใช่ศูนย์ก่อนจุดทศนิยม การหารตัวเลขดังกล่าวสามารถทำได้คล้ายกับกฎ "โรงเรียน" แต่เริ่มจากตัวเลขล่างแทนที่จะเป็นตัวเลขสูงสุด
เศษส่วน p-adic
