ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Закон всемирного тяготения открыл И. Ньютоном:
Два тела притягиваются друг к другу с , прямо пропорциональной произведению их и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
Описание закона всемирного тяготения
Коэффициент — это гравитационная постоянная. В системе СИ гравитационная постоянная имеет значение:
Эта постоянная, как видно, очень мала, поэтому силы тяготения между телами, имеющими небольшие массы, тоже малы и практически не ощущаются. Однако движение космических тел полностью определяется гравитацией. Наличие всемирного тяготения или, другими словами, гравитационного взаимодействия объясняет, на чем «держатся» Земля и планеты, и почему они двигаются вокруг Солнца по определенным траекториям, а не улетают от него прочь. Закон всемирного тяготения позволяет определить многие характеристики небесных тел – массы планет, звезд, галактик и даже черных дыр. Этот закон позволяет с большой точностью рассчитать орбиты планет и создать математическую модель Вселенной.
С помощью закона всемирного тяготения также можно рассчитать космические скорости. Например, минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью Земли, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите – 7,9 км/с (первая космическая скорость). Для того, чтобы покинуть Землю, т.е. преодолеть ее гравитационное притяжение, тело должно иметь скорость 11,2 км/с, (вторая космическая скорость).
Гравитация является одним из самых удивительных феноменов природы. В отсутствии сил гравитации существование Вселенной было бы невозможно, Вселенная не могла бы даже возникнуть. Гравитация ответственна за многие процессы во Вселенной – ее рождение, существование порядка вместо хаоса. Природа гравитации до сих пор до конца неразгаданна. До настоящего времени никто не смог разработать достойный механизм и модель гравитационного взаимодействия.
Сила тяжести
Частным случаем проявления гравитационных сил является сила тяжести.
Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз (по направлению к центру Земли).
Если на тело действует сила тяжести, то тело совершает . Вид движения зависит от направления и модуля начальной скорости.
С действием силы тяжести мы сталкиваемся каждый день. , через некоторое время оказывается на земле. Книга, выпущенная из рук, падает вниз. Подпрыгнув, человек не улетает в открытый космос, а опускается вниз, на землю.
Рассматривая свободное падение тела вблизи поверхности Земли как результат гравитационного взаимодействия этого тела с Землей, можно записать:
откуда ускорение свободного падения:
Ускорение свободного падения не зависит от массы тела, а зависит от высоты тела над Землей. Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим ускорение свободного падения зависит от широты местности: на полюсе оно немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе м/с , на Северном полюсе экваторе м/с .
Эта же формула позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массой и радиусом .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1 (задача о «взвешивании» Земли)
| Задание | Радиус Земли км, ускорение свободного падения на поверхности планеты м/с . Используя эти данные, оценить приближенно массу Земли. |
| Решение | Ускорение свободного падения у поверхности Земли:
откуда масса Земли: В системе Си радиус Земли Подставив в формулу численные значения физических величин, оценим массу Земли:
|
| Ответ | Масса Земли кг. |
м.
ПРИМЕР 2
| Задание | Спутник Земли движется по круговой орбите на высоте 1000 км от поверхности Земли. С какой скоростью движется спутник? За какое время спутник совершит один полный оборот вокруг Земли? |
| Решение | По , сила, действующая на спутник со стороны Земли, равна произведению массы спутника на ускорение, с которым он движется:
Со стороны земли на спутник действует сила гравитационного притяжения, которая по закону всемирного тяготения равна: где и массы спутника и Земли соответственно. Так как спутник находится на некоторой высоте над поверхностью Земли, расстояние от него до центра Земли: где радиус Земли. |
«Физика - 10 класс»
Почему Луна движется вокруг Земли?
Что будет, если Луна остановится?
Почему планеты обращаются вокруг Солнца?
В главе 1 подробно говорилось о том, что земной шар сообщает всем телам у поверхности Земли одно и то же ускорение - ускорение свободного падения. Но если земной шар сообщает телу ускорение, то согласно второму закону Ньютона он действует на тело с некоторой силой. Силу, с которой Земля действует на тело, называют силой тяжести . Сначала найдём эту силу, а затем и рассмотрим силу всемирного тяготения.
Ускорение по модулю определяется из второго закона Ньютона:
В общем случае оно зависит от силы, действующей на тело, и его массы. Так как ускорение свободного падения не зависит от массы, то ясно, что сила тяжести должна быть пропорциональна массе:
Физическая величина - ускорение свободного падения, оно постоянно для всех тел.
На основе формулы F = mg можно указать простой и практически удобный метод измерения масс тел путём сравнения массы данного тела с эталоном единицы массы. Отношение масс двух тел равно отношению сил тяжести, действующих на тела:
Это значит, что массы тел одинаковы, если одинаковы действующие на них силы тяжести.
На этом основано определение масс путём взвешивания на пружинных или рычажных весах. Добиваясь того, чтобы сила давления тела на чашку весов, равная силе тяжести, приложенной к телу, была уравновешена силой давления гирь на другую чашку весов, равной силе тяжести, приложенной к гирям, мы тем самым определяем массу тела.
Сила тяжести, действующая на данное тело вблизи Земли, может считаться постоянной лишь на определенной широте у поверхности Земли. Если тело поднять или перенести в место с другой широтой, то ускорение свободного падения, а следовательно, и сила тяжести изменятся.
Сила всемирного тяготения.
Ньютон был первым, кто строго доказал, что причина, вызывающая падение камня на Землю, движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, одна и та же. Это сила всемирного тяготения , действующая между любыми телами Вселенной.
Ньютон пришёл к выводу, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория камня, брошенного с высокой горы (рис. 3.1) с определённой скоростью, могла бы стать такой, что он вообще никогда не достиг бы поверхности Земли, а двигался бы вокруг неё подобно тому, как планеты описывают в небесном пространстве свои орбиты.
Ньютон нашёл эту причину и смог точно выразить её в виде одной формулы - закона всемирного тяготения.
Так как сила всемирного тяготения сообщает всем телам одно и то же ускорение независимо от их массы, то она должна быть пропорциональна массе того тела, на которое действует:
«Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них... все планеты тяготеют друг к другу...» И. Ньютон
Но поскольку, например, Земля действует на Луну с силой, пропорциональной массе Луны, то и Луна по третьему закону Ньютона должна действовать на Землю с той же силой. Причём эта сила должна быть пропорциональна массе Земли. Если сила тяготения является действительно универсальной, то со стороны данного тела на любое другое тело должна действовать сила, пропорциональная массе этого другого тела. Следовательно, сила всемирного тяготения должна быть пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел. Отсюда вытекает формулировка закона всемирного тяготения.
Закон всемирного тяготения:
Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной .
Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя материальными точками массой 1 кг каждая, если расстояние между ними равно 1 м. Ведь при массах m 1 = m 2 = 1 кг и расстоянии r = 1 м получаем G = F (численно).
Нужно иметь в виду, что закон всемирного тяготения (3.4) как всеобщий закон справедлив для материальных точек. При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис. 3.2, а).
Можно показать, что однородные тела, имеющие форму шара (даже если их нельзя считать материальными точками, рис. 3.2, б), также взаимодействуют с силой, определяемой формулой (3.4). В этом случае r - расстояние между центрами шаров. Силы взаимного притяжения лежат на прямой, проходящей через центры шаров. Такие силы называются центральными . Тела, падение которых на Землю мы обычно рассматриваем, имеют размеры, много меньшие, чем земной радиус (R ≈ 6400 км).
Такие тела можно, независимо от их формы, рассматривать как материальные точки и определять силу их притяжения к Земле с помощью закона (3.4), имея в виду, что r есть расстояние от данного тела до центра Земли.
Брошенный на Землю камень отклонится под действием тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадёт наконец на Землю. Если его бросить с большей скоростью, то он упадёт дальше». И. Ньютон
Определение гравитационной постоянной.
Теперь выясним, как можно найти гравитационную постоянную. Прежде всего заметим, что G имеет определённое наименование. Это обусловлено тем, что единицы (и соответственно наименования) всех величин, входящих в закон всемирного тяготения, уже были установлены ранее. Закон же тяготения даёт новую связь между известными величинами с определёнными наименованиями единиц. Именно поэтому коэффициент оказывается именованной величиной. Пользуясь формулой закона всемирного тяготения, легко найти наименование единицы гравитационной постоянной в СИ: Н м 2 /кг 2 = м 3 /(кг с 2).
Для количественного определения G нужно независимо определить все величины, входящие в закон всемирного тяготения: обе массы, силу и расстояние между телами.
Трудность состоит в том, что гравитационные силы между телами небольших масс крайне малы. Именно по этой причине мы не замечаем притяжение нашего тела к окружающим предметам и взаимное притяжение предметов друг к другу, хотя гравитационные силы - самые универсальные из всех сил в природе. Два человека массами по 60 кг на расстоянии 1 м друг от друга притягиваются с силой всего лишь порядка 10 -9 Н. Поэтому для измерения гравитационной постоянной нужны достаточно тонкие опыты.
Впервые гравитационная постоянная была измерена английским физиком Г. Кавендишем в 1798 г. с помощью прибора, называемого крутильными весами. Схема крутильных весов показана на рисунке 3.3. На тонкой упругой нити подвешено лёгкое коромысло с двумя одинаковыми грузиками на концах. Рядом неподвижно закреплены два тяжёлых шара. Между грузиками и неподвижными шарами действуют силы тяготения. Под влиянием этих сил коромысло поворачивается и закручивает нить до тех пор, пока возникающая сила упругости не станет равна гравитационной силе. По углу закручивания можно определить силу притяжения. Для этого нужно только знать упругие свойства нити. Массы тел известны, а расстояние между центрами взаимодействующих тел можно непосредственно измерить.
Из этих опытов было получено следующее значение для гравитационной постоянной:
G = 6,67 10 -11 Н м 2 /кг 2 .
Лишь в том случае, когда взаимодействуют тела огромных масс (или по крайней мере масса одного из тел очень велика), сила тяготения достигает большого значения. Например, Земля и Луна притягиваются друг к другу с силой F ≈ 2 10 20 Н.
Зависимость ускорения свободного падения тел от географической широты.
Одна из причин увеличения ускорения свободного падения при перемещении точки, где находится тело, от экватора к полюсам, состоит в том, что земной шар несколько сплюснут у полюсов и расстояние от центра Земли до её поверхности у полюсов меньше, чем на экваторе. Другой причиной является вращение Земли.
Равенство инертной и гравитационной масс.
Самым поразительным свойством гравитационных сил является то, что они сообщают всем телам, независимо от их масс, одно и то же ускорение. Что бы вы сказали о футболисте, удар которого одинаково ускорял бы обыкновенный кожаный мяч и двухпудовую гирю? Каждый скажет, что это невозможно. А вот Земля является именно таким «необыкновенным футболистом» с той только разницей, что действие её на тела не носит характера кратковременного удара, а продолжается непрерывно миллиарды лет.
В теории Ньютона масса является источником поля тяготения. Мы находимся в поле тяготения Земли. В то же время мы также являемся источниками поля тяготения, но в силу того, что наша масса существенно меньше массы Земли, наше поле намного слабее и окружающие предметы на него не реагируют.
Необыкновенное свойство гравитационных сил, как мы уже говорили, объясняется тем, что эти силы пропорциональны массам обоих взаимодействующих тел. Масса тела, которая входит во второй закон Ньютона, определяет инертные свойства тела, т. е. его способность приобретать определённое ускорение под действием данной силы. Это инертная масса m и.
Казалось бы, какое отношение она может иметь к способности тел притягивать друг друга? Масса, определяющая способность тел притягиваться друг к другу, - гравитационная масса m r .
Из механики Ньютона совсем не следует, что инертная и гравитационная массы одинаковы, т. е. что
m и = m r . (3.5)
Равенство (3.5) является непосредственным следствием из опыта. Оно означает, что можно говорить просто о массе тела как о количественной мере как инертных, так и гравитационных его свойств.
Гравитационная сила – это сила, с которой притягиваются друг к другу тела определённой массы, находящиеся на определённом расстоянии друг от друга.
Английский учёный Исаак Ньютон в 1867 г. открыл закон всемирного тяготения. Это один из фундаментальных законов механики. Суть этого закона в следующем: любые две материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Сила притяжения – первая сила, которую почувствовал человек. Это сила, с которой Земля воздействует на все тела, находящиеся на её поверхности. И эту силу любой человек ощущает как собственный вес.
Закон всемирного тяготения
Существует легенда, что закон всемирного тяготения Ньютон открыл совершенно случайно, гуляя вечером по саду своих родителей. Творческие люди постоянно находятся в поиске, а научные открытия - это не мгновенное озарение, а плод длительной умственной работы. Сидя под яблоней, Ньютон осмысливал очередную идею, и вдруг на голову ему упало яблоко. Ньютону было понятно, что яблоко упало в результате действия силы притяжения Земли. «Но почему не падает на Землю Луна? - задумался он. - Значит, на неё действует ещё какая-то сила, удерживающая её на орбите». Так был открыт знаменитый закон всемирного тяготения .
Учёные, изучавшие до этого вращение небесных тел, считали, что небесные тела подчиняются каким-то совершенно другим законам. То есть, предполагалось, что существуют совершенно разные законы притяжения на поверхности Земли и в космосе.
Ньютон объединил эти предполагаемые виды гравитации. Анализируя законы Кеплера, описывающие движение планет, он пришёл к выводу, что сила притяжения возникает между любыми телами. То есть, и на яблоко, упавшее в саду, и на планеты в космосе действуют силы, подчиняющиеся одному закону – закону всемирного тяготения.
Ньютон установил, что законы Кеплера действуют только в том случае, если между планетами существует сила притяжения. И эта сила прямо пропорциональна массам планет и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.
Сила притяжения рассчитывается по формуле F=G m 1 m 2 / r 2
m 1 – масса первого тела;
m 2 – масса второго тела;
r – расстояние между телами;
G – коэффициент пропорциональности, который называют гравитационной постоянной или постоянной всемирного тяготения .
Его значение определили экспериментально. G = 6,67·10 -11 Нм 2 /кг 2
Если две материальные точки с массой, равной единице массы, находятся на расстоянии, равном единице расстояния, то они притягиваются с силой, равной G .
Силы притяжения и есть гравитационные силы. Их называют ещё силами тяготения . Они подчинены закону всемирного тяготения и проявляются всюду, так как все тела имеют массу.
Сила тяжести
Гравитационная сила вблизи поверхности Земли – это сила, с которой все тела притягиваются к Земле. Её называют силой тяжести . Она считается постоянной, если расстояние тела от поверхности Земли мало по сравнению с радиусом Земли.
Так как сила тяжести, являющаяся гравитационной силой, зависит от массы и радиуса планеты, то на разных планетах она будет разной. Так как радиус Луны меньше радиуса Земли, то и сила притяжения на Луне меньше, чем на Земле в 6 раз. А на Юпитере, наоборот, сила тяжести в 2,4 раза больше силы тяжести на Земле. Но масса тела остаётся постоянной, независимо от того, где её измеряют.
Многие путают значение веса и силы тяжести, считая, что сила тяжести всегда равна весу. Но это не так.
Сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес, это и есть вес. Если убрать опору или подвес, тело начнёт падать с ускорением свободного падения под действием силы тяжести. Сила тяжести пропорциональна массе тела. Она вычисляется по формуле F = mg , где m – масса тела, g – ускорение свободного падения.
Вес тела может изменяться, а иногда и вообще исчезать. Представим себе, что мы находимся в лифте на верхнем этаже. Лифт стоит. В этот момент наш вес Р и сила тяжести F, с которой Земля притягивает нас, равны. Но как только лифт начал двигаться вниз с ускорением а , вес и сила тяжести уже не равны. Согласно второму закону Ньютона mg + P = ma . Р =m g - ma .
Из формулы видно, что наш вес при движении вниз уменьшился.
В момент, когда лифт набрал скорость и стал двигаться без ускорения, наш вес снова равен силе тяжести. А когда лифт стал замедлять своё движение, ускорение а стало отрицательным, и вес увеличился. Наступает перегрузка.
А если тело двигается вниз с ускорением свободного падения, то вес и вовсе станет равным нулю.
При a =g Р =mg-ma= mg - mg=0
Это состояние невесомости.
Итак, все без исключения материальные тела во Вселенной подчиняются закону всемирного тяготения. И планеты вокруг Солнца, и все тела, находящиеся у поверхности Земли.
Гравитационные силы описываются наиболее простыми количественными закономерностями. Но несмотря на эту простоту проявления сил тяготения могут быть весьма сложны и многообразны.
Гравитационные взаимодействия описываются законом всемирного тяготения, открытым Ньютоном:
Материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
Гравитационная постоянная. Коэффициент пропорциональности называется гравитациоутой постоянной. Эта величина характеризует интенсивность гравитационного взаимодействия и является одной из основных физических констант. Ее числовое значение зависит от выбора системы единиц и в единицах СИ равно Из формулы видно, что гравитационная постоянная численно равна силе притяжения двух точеных масс по 1 кг, расположенных на расстоянии друг от друга. Значение гравитационной постоянной столь мало, что мы не замечаем притяжения между окружающими нас телами. Только из-за огромной массы Земли притяжение окружающих тел к Земле решающим образом влияет на все, что происходит вокруг нас.
Рис. 91. Гравитационное взаимодействие
Формула (1) дает только модуль силы взаимного притяжения точечных тел. На самом деле речь в ней идет о двух силах, поскольку сила тяготения действует на каждое из взаимодействующих тел. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению в соответствии с третьим законом Ньютона. Они направлены вдоль прямой, соединяющей материальные точки. Такие силы называются центральными. Векторное выражение, например для силы с которой тело массы действует на тело массы (рис. 91), имеет вид
Хотя радиусы-векторы материальных точек зависят от выбора начала координат, их разность, а значит, и сила зависят только от взаимного расположения притягивающихся тел.
Законы Кеплера. К известной легенде о падающем яблоке, которое якобы навело Ньютона на мысль о тяготении, вряд ли следует относиться серьезно. При установлении закона всемирного тяготения Ньютон исходил из открытых Иоганном Кеплером на основании астрономических наблюдений Тихо Браге законов движения планет Солнечной системы. Три закона Кеплера гласят:
1. Траектории, по которым движутся планеты, представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты, проведенный из Солнца, ометает за равные промежутки времени одинаковые площади.
3. Для всех планет отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси эллиптической орбиты имеет одно и то же значение.
Орбиты большинства планет мало отличаются от круговых. Для простоты будем считать их точно круговыми. Это не противоречит первому закону Кеплера, так как окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого оба фокуса совпадают. Согласно второму закону Кеплера движение планеты по круговой траектории происходит равномерно, т. е. с постоянной по модулю скоростью. При этом третий закон Кеплера говорит о том, что отношение квадрата периода обращения Т к кубу радиуса круговой орбиты одинаково для всех планет:
Движущаяся по окружности с постоянной скоростью планета обладает центростремительным ускорением, равным Воспользуемся этим, чтобы определить силу, которая сообщает планете такое ускорение при выполнении условия (3). Согласно второму закону Ньютона ускорение планеты равно отношению действующей на нее силы к массе планеты:
Отсюда, учитывая третий закон Кеплера (3), легко установить, как сила зависит от массы планеты и от радиуса ее круговой орбиты. Умножая обе части (4) на видим, что в левой части согласно (3) стоит одинаковая для всех планет величина. Значит, и правая часть, равная одинакова для всех планет. Поэтому т. е. сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца и прямо пропорциональна массе планеты. Но Солнце и планета выступают в их гравитационном
взаимодействии как равноправные партнеры. Они отличаются друг от друга только массами. И поскольку сила притяжения пропорциональна массе планеты то она должна быть пропорциональна и массе Солнца М:
Вводя в эту формулу коэффициент пропорциональности G, который уже не должен зависеть ни от масс взаимодействующих тел, ни от расстояния между ними, приходим к закону всемирного тяготения (1).
Гравитационное поле. Гравитационное взаимодействие тел можно описывать, используя понятие гравитационного поля. Ньютоновская формулировка закона всемирного тяготения соответствует представлению о непосредственном действии тел друг на друга на расстоянии, так называемом дальнодействии, без какого-либо участия промежуточной среды. В современной физике считается, что передача любых взаимодействий между телами осуществляется посредством создаваемых этими телами полей. Одно из тел непосредственно не действует на другое, оно наделяет окружающее его пространство определенными свойствами - создает гравитационное поле, особую материальную среду, которая и воздействует на другое тело.
Представление о физическом гравитационном поле выполняет как эстетические, так и вполне практические функции. Силы тяготения действуют на расстоянии, они тянут там, где, мы едва ли можем увидеть, что именно тянет. Силовое поле представляет собой некоторую абстракцию, заменяющую нам крюки, веревочки или резинки. Никакой наглядной картины поля дать невозможно, поскольку само понятие физического поля относится к числу основных понятий, которые невозможно определить через другие, более простые понятия. Можно только описать его свойства.
Рассматривая способность гравитационного поля создавать силу, мы считаем, что поле зависит только от того тела, со стороны которого действует сила, и не зависит от того тела, на которое она действует.
Отметим, что в рамках классической механики (механики Ньютона) оба представления - о дальнодействии и взаимодействии через гравитационное поле - приводят к одинаковым результатам и в равной мере допустимы. Выбор одного из этих способов описания определяется исключительно соображениями удобства.
Напряженность поля тяготения. Силовой характеристикой гравитационного поля является его напряженность измеряемая силой, действующей на материальную точку единичной массы, т. е. отношением
Очевидно, что гравитационное поле, создаваемое точечной массой М, обладает сферической симметрией. Это значит, что вектор напряженности в любой его точке направлен к массе М, создающей поле. Модуль напряженности поля как следует из закона всемирного тяготения (1), равен
и зависит только от расстояния до источника поля. Напряженность поля точечной массы убывает с расстоянием по закону обратных квадратов. В таких полях движение тел происходит в соответствии с законами Кеплера.
Принцип суперпозиции. Опыт показывает, что гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции. Согласно этому принципу гравитационное поле, создаваемое какой-либо массой, не зависит от наличия других масс. Напряженность поля, создаваемого несколькими телами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых этими телами в отдельности.
Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать гравитационные поля, создаваемые протяженными телами. Для этого нужно мысленно разбить тело на отдельные элементы, которые можно считать материальными точками, и найти векторную сумму напряженностей полей, создаваемых этими элементами. Пользуясь принципом суперпозиции, можно показать, что гравитационное поле, создаваемое шаром со сферически-симметричным распределением массы (в частности, и однородным шаром), вне этого шара неотличимо от гравитационного поля материальной точки такой же массы, как и шар, помещенной в центр шара. Это значит, что напряженность гравитационного поля шара дается той же формулой (6). Этот простой результат приводится здесь без доказательства. Оно будет дано для случая электростатического взаимодействия при рассмотрении поля заряженного шара, где сила также убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
Притяжение сферических тел. Используя этот результат и привлекая третий закон Ньютона, можно показать, что два шара со сферически-симметричным распределением масс у каждого притягиваются друг к другу так, как если бы их массы были сосредоточены в их центрах, т. е. просто как точечные массы. Приведем соответствующее доказательство.
Пусть два шара массами притягивают друг друга с силами (рис. 92а). Если заменить первый шар точечной массой (рис. 92б), то создаваемое им гравитационное поле в месте расположения второго шара не изменится и, следовательно, не изменится сила действующая на второй шар. На основании третьего
закона Ньютона отсюда можно сделать вывод, что второй шар действует с одной и той же силой как на первый шар, так и на заменяющую его материальную точку Эту силу легко найти, учитывая, что создаваемое вторым шаром гравитационное поле в том месте, где находится первый шар, неотличимо от поля точечной массы помещенной в его центр (рис. 92в).
Рис. 92. Сферические тела притягиваются друг к другу так, как если бы их массы были сосредоточены в их центрах
Таким образом, сила притяжения шаров совпадает с силой притяжения двух точечных масс ту и расстояние между которыми равно расстоянию между центрами шаров.
Из этого примера наглядно видна практическая ценность концепции гравитационного поля. В самом деле, было бы очень неудобно описывать силу, действующую на один из шаров, как векторную сумму сил, действующих на отдельные его элементы, учитывая при этом, что каждая из этих сил, в свою очередь, представляет собой векторную сумму сил взаимодействия этого элемента со всеми элементами, на которые мы должны мысленно разбить и второй шар. Обратим внимание еще и на то, что в процессе приведенного доказательства мы поочередно рассматривали в качестве источника гравитационного поля то один шар, то другой, в зависимости от того, интересовала ли нас сила, действующая на тот или на другой шар.
Теперь очевидно, что на любое находящееся вблизи поверхности Земли тело массы линейные размеры которого малы по сравнению с радиусом Земли, действует сила тяжести которая в соответствии с (5) может быть записана как Значение модуля напряженности гравитационного поля Земли дается выражением (6), в котором под М следует понимать массу земного шара, а вместо следует подставить радиус Земли
Для применимости формулы (7) необязательно Землю считать однородным шаром, достаточно, чтобы распределение масс было сферически-симметричным.
Свободное падение. Если тело вблизи поверхности Земли движется только под действием силы тяжести т. е. свободно падает, то его ускорение согласно второму закону Ньютона равно Видно, что оно направлено к центру Земли и в соответствии с (7) по модулю равно
Но правая часть (8) дает значение напряженности гравитационного поля Земли вблизи ее поверхности. Итак, напряженность гравитационного поля и ускорение свободного падения в этом поле - это одно и то же. Именно поэтому мы сразу обозначили эти величины одной буквой
Взвешивание Земли. Остановимся теперь на вопросе об экспериментальном определении значения гравитационной постоянной Прежде всего отметим, что его нельзя найти из астрономических наблюдений. Действительно, из наблюдений за движением планет можно найти только произведение гравитационной постоянной на массу Солнца. Из наблюдений за движением Луны, искусственных спутников Земли или за свободным падением тел вблизи земной поверхности можно найти только произведение гравитационной постоянной на массу Земли. Для определения необходимо иметь возможность независимо измерить массу источника гравитационного поля. Это можно сделать только в опыте, производимом в лабораторных условиях.
Рис. 93. Схема опыта Кавендиша
Такой опыт был впервые выполнен Генри Кавендишем в с помощью крутильных весов, к концам коромысла которых были прикреплены небольшие свинцовые шары (рис. 93). Вблизи от них закреплялись большие тяжелые шары. Под действием сил притяжения малых шаров к большим коромысло крутильных весов немного поворачивалось, и по закручиванию упругой нити подвеса измерялась сила. Для интерпретации этого опыта важно знать, что шары взаимодействуют так же, как и соответствующие материальные точки такой же массы, ибо здесь в отличие от планет размеры шаров Нельзя считать малыми по сравнению с расстоянием между ними.
В своих опытах Кавендиш получил значение гравитационной постоянной всего на отличающееся от принятого в настоящее время. В современных модификациях опыта Кавендиша производится измерение ускорений, сообщаемых малым шарам на коромысле гравитационным полем тяжелых шаров, что позволяет повысить точность измерений. Знание гравитационной постоянной позволяет определить массы Земли, Солнца и других источников тяготения по наблюдениям за движением тел в создаваемых ими гравитационных полях. В этом смысле опыт Кавендиша иногда образно называют взвешиванием Земли.
Всемирное тяготение описывается очень простым законом, который, как мы видели, легко устанавливается на основе законов Кеплера. В чем же величие открытия Ньютона? В нем нашла воплощение идея о том, что падение яблока на Землю и движение Луны вокруг Земли, которое тоже в известном смысле представляет собой падение на Землю, имеют общую причину. В те далекие времена это была удивительная мысль, поскольку общая мудрость гласила, что небесные тела движутся по своим «совершенным» законам, а земные объекты подчиняются «мирским» правилам. Ньютон пришел к мысли о том, что единые законы природы справедливы для всей Вселенной.
Введите такую единицу силы, чтобы в законе всемирного тяготения (1) значение гравитационной постоянной С равнялось единице. Сравните эту единицу силы с ньютоном.
Существуют ли отклонения от законов Кеплера для планет Солнечной системы? Чем они обусловлены?
Как из законов Кеплера установить зависимость силы тяготения от расстояния?
Почему гравитационную постоянную нельзя определить на основе астрономических наблюдений?
Что такое гравитационное поле? Какие преимущества дает описание гравитационного взаимодействия с помощью понятия поля по сравнению с представлением о дальнодействии?
В чем заключается принцип суперпозиции для гравитационного поля? Что можно сказать о гравитационном поле однородного шара?
Как связаны между собой напряженность гравитационного поля и ускорение свободного падения?
Рассчитайте массу Земли М, используя значения гравитационной постоянной радиуса Земли км и ускорения свободного падения
Геометрия и тяготение. С простой формулой закона всемирного тяготения (1) связано несколько тонких моментов, заслуживающих отдельного обсуждения. Из законов Кеплера следует,
что расстояние в знаменатель выражения для силы тяготения входит во второй степени. Вся совокупность астрономических наблюдений приводит к выводу, что значение показателя степени равно двум с очень высокой точностью, а именно Этот факт в высшей степени замечателен: точное равенство показателя степени двум отражает евклидову природу трехмерного физического пространства. Это значит, что положение тел и расстояние между ними в пространстве, сложение перемещений тел и т. д. описывается геометрией Евклида. Точное равенство двум показателя степени подчеркивает то обстоятельство, что в трехмерном евклидовом мире поверхность сферы точно пропорциональна квадрату ее радиуса.
Инертная и гравитационная массы. Из приведенного вывода закона тяготения следует также, что сила гравитационного взаимодействия тел пропорциональна их массам, а точнее - инертным массам, фигурирующим во втором законе Ньютона и описывающим инертные свойства тел. Но инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно разные свойства материи.
В определении массы на основе инертных свойств используется закон . Измерения массы в соответствии с этим ее определением требуют проведения динамического эксперимента - прикладывается известная сила и измеряется ускорение. Именно так с помощью масс-спектрометров определяются массы заряженных элементарных частиц и ионов (а тем самым и атомов).
В определении массы на основе явления тяготения используется закон Измерение массы в соответствии с таким определением производится с помощью статического эксперимента - взвешиванием. Тела располагают неподвижно в гравитационном поле (обычно это поле Земли) и сравнивают действующие на них силы тяготения. Определенная таким образом масса называется тяжелой или гравитационной.
Будут ли значения инертной и гравитационной масс одинаковыми? Ведь количественные меры этих свойств в принципе могли бы быть различными. Впервые ответ на этот вопрос был дан Галилеем, хотя он, по-видимому, и не подозревал об этом. В своих опытах он намеревался доказать, что неверны господствовавшие тогда утверждения Аристотеля о том, что тяжелые тела падают быстрее легких.
Чтобы лучше проследить за рассуждениями, обозначим инертную массу через а гравитационную - через На поверхности Земли сила тяжести тогда запишется как
где - напряженность гравитационного поля Земли, одинаковая для всех тел. Теперь сравним, что произойдет, если два тела одновременно сбросить с одной высоты. В соответствии со вторым законом Ньютона для каждого из тел можно написать
Но опыт показывает, что ускорения обоих тел одинаковы. Следовательно, одним и тем же будет для них и отношение Итак, для всех тел
Гравитационные массы тел пропорциональны их инертным массам. Надлежащим выбором единиц их можно сделать просто равными.
Совпадение значений инертной и гравитационной масс подтверждалось много раз со все возрастающей точностью в разнообразных опытах ученых разных эпох - Ньютона, Бесселя, Этвеша, Дикке и, наконец, Брагинского и Панова, которые довели относительную погрешность измерений до . Чтобы лучше представить себе чувствительность приборов в таких опытах, отметим, что это эквивалентно возможности обнаружить изменение массы теплохода водоизмещением в тысячу тонн при добавлении к нему одного миллиграмма.
В ньютоновской механике совпадение значений инертной и гравитационной масс не имеет под собой физической причины и в этом смысле является случайным. Это просто экспериментальный факт, установленный с очень высокой точностью. Если бы это было не так, ньютоновская механика ничуть не пострадала бы. В созданной Эйнштейном релятивистской теории тяготения, называемой также общей теорией относительности, равенство инертной и гравитационной масс имеет принципиальное значение и изначально заложено в основу теории. Эйнштейн предположил, что в этом совпадении нет ничего удивительного или случайного, ибо в действительности инертная и гравитационная массы представляют собой одну и ту же физическую величину.
Почему значение показателя степени, в которой расстояние между телами входит в закон всемирного тяготения, связано с евклидовостью трехмерного физического пространства?
Как определяются инертная и гравитационная массы в механике Ньютона? Почему в некоторых книгах даже не упоминается об этих величинах, а фигурирует просто масса тела?
Предположим, что в некотором мире гравитационная масса тел никак не связана с их инертной массой. Что можно было бы наблюдать при одновременном свободном падении разных тел?
Какие явления и опыты свидетельствуют о пропорциональности инертной и гравитационной масс?
Согласно законам Ньютона, движение тела с ускорением возможно только под действием силы. Т.к. падающие тела движутся с ускорением, направленным вниз, то на них действует сила притяжения к Земле. Но не только Земля обладает свойством действовать на все тела силой притяжения. Исаак Ньютон предположил, что между всеми телами действуют силы притяжения. Эти силы называются силами всемирного тяготения илигравитационными силами.
Распространив установленные закономерности – зависимость силы притяжения тел к Земле от расстояний между телами и от масс взаимодействующих тел, полученные в результате наблюдений,– Ньютон открыл в 1682 г. закон всемирного тяготения :Все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Векторы сил всемирного тяготения направлены вдоль прямой, соединяющей тела. Коэффициент пропорциональности Gназываетсягравитационной постоянной (постоянной всемирного тяготения) и равна
.
Силой тяжести называется сила притяжения, действующая со стороны Земли на все тела:
.
Пусть
–
масса Земли, а
–
радиус Земли. Рассмотрим зависимость
ускорения свободного падения от высоты
подъема над поверхностью Земли:
Вес тела. Невесомость
Вес тела – сила, с которой тело давит на опору или подвес вследствие притяжения этого тела к земле. Вес тела приложен к опоре (подвесу). Величина веса тела зависит от того, как движется тело с опорой (подвесом).
Вес тела, т.е. сила, с которой тело действует на опору, и сила упругости, с которой опора действует на тело, в соответствие с третьим законом Ньютона равны по абсолютному значению и противоположны по направлению.
Если тело находится в покое на горизонтальной опоре или равномерно движется, на него действуют только сила тяжести и сила упругости со стороны опоры, следовательно вес тела равен силе тяжести (но эти силы приложены к разным телам):
.
При ускоренном движении вес тела не будет равен силе тяжести. Рассмотрим движение тела массой mпод действием сил тяжести и упругости с ускорением. По 2-му закону Ньютона:
Если ускорение тела направлено вниз, то вес тела меньше силы тяжести; если ускорение тела направлено вверх, то все тела больше силы тяжести.
Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой .
Если тело свободно падает, то из формулы * следует, что вес тела равен нулю. Исчезновение веса при движении опоры с ускорением свободного падения называется невесомостью .
Состояние невесомости наблюдается в самолете или космическом корабле при движении их с ускорением свободного падения независимо от скорости их движения. За пределами земной атмосферы при выключении реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения. Под действием этой силы космический корабль и все тела, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением; поэтому в корабле наблюдается явление невесомости.
Движение тела под действием сил тяжести. Движение искусственных спутников. Первая космическая скорость
Если модуль перемещения тела много меньше расстояния до центра Земли, то можно считать силу всемирного тяготения во время движения постоянной, а движение тела равноускоренным. Самый простой случай движения тела под действием силы тяжести – свободное падение с нулевой начальной скоростью. В этом случае тело движется с ускорением свободного падения к центру Земли. Если есть начальная скорость, направленная не по вертикали, то тело движется по криволинейной траектории (параболе, если не учитывать сопротивление воздуха).
При некоторой начальной скорости тело, брошенное по касательной к поверхности Земли, под действием силы тяжести при отсутствии атмосферы может двигаться по окружности вокруг Земли, не падая на нее и не удаляясь от нее. Такая скорость называется первой космической скоростью , а тело, движущееся таким образом –искусственным спутником Земли (ИСЗ) .
Определим первую космическую скорость для Земли. Если тело под действием силы тяжести движется вокруг Земли равномерно по окружности, то ускорение свободного падения является его центростремительным ускорением:
.
Отсюда первая космическая скорость равна
.
Первая космическая скорость для любого небесного тела определяется таким же образом. Ускорение свободного падения на расстоянии R от центра небесного тела можно найти, воспользовавшись вторым законом Ньютона и законом всемирного тяготения:
.
Следовательно, первая космическая скорость на расстоянии R от центра небесного тела массойM равна
.
Для запуска на околоземную орбиту ИСЗ необходимо сначала вывести за пределы атмосферы. Поэтому космические корабли стартуют вертикально. На высоте 200 – 300 км от поверхности Земли, где атмосфера разрежена и почти не влияет на движение ИСЗ, ракета делает поворот и сообщает ИСЗ первую космическую скорость в направлении, перпендикулярном вертикали.
