Nagu teate, saab loodusarvude komplekti järjestada "vähem" seose abil. Kuid aksiomaatilise teooria konstrueerimise reeglid nõuavad, et see seos ei oleks mitte ainult määratletud, vaid ka antud teoorias juba määratletud mõistete alusel. Seda saab teha, määrates suhe "vähem" liitmise kaudu.
Definitsioon. Arv a on väiksem kui arv b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Nendes tingimustes öeldakse ka, et arv brohkem jaja kirjuta b\u003e a.
Teoreem 12.Mis tahes looduslike arvude jaoks jaja bkolmest suhtest on üks ja ainus: a \u003d b, a\u003e b, ja < b.
Jätame selle teoreemi tõestuse välja.... See lause tähendab, et kui
a1 b,siis kas ja< b, või a\u003e b,need. seosel "vähem" on omadus olla ühendatud.
Teoreem 13.Kui a ja< b ja b< с. siis ja< с.
Tõendid. See teoreem väljendab suhte „vähem“ transitiivsuse omadust.
Sest ja< b ja b< с. siis suhte "vähem" määratluse järgi on sellised loomulikud arvud kunimis siis b \u003d a + k ja c \u003d b + I.Kuid siis c \u003d (a + k)+ / ja liitmise assotsiatiivsuse omaduse põhjal saame: c \u003d a + (k +/). Niivõrd kui k + I -loomulik arv, siis vastavalt määratlusele "vähem" ja< с.
Teoreem 14... Kui a ja< b, see pole tõsi b< а. Tõendid. See lause väljendab omadust antisümmeetria suhe "vähem".
Tõestagem kõigepealt, et loomuliku arvu puudumisel jamitte sina -!\u003e! ■) tema suhtumine ja< ja.Oletame vastupidist, s.t. mida ja< а leiab aset. Siis on suhte määratlusega "vähem" selline loomulik arv alates,mida ja+ alates= jaja see on vastuolus teoreemiga 6.
Tõestagem nüüd, et kui ja< b, see pole tõsi b < ja.Oletame vastupidist, s.t. mis siis kui ja< b siis b< а esitatakse. Kuid nendest võrdsustest lähtudes on teoreemi 12 järgi ja< а, mis on võimatu.
Kuna meie määratletud seos "vähem" on antisümmeetriline ja transitiivne ning sellel on omadus olla ühendatud, on see sirgjooneline seos ja loodusarvude hulk lineaarselt järjestatud komplekt.
Mõiste "vähem" ja selle omaduste põhjal võib tuletada looduslike arvude hulga teadaolevad omadused.
Teoreem 15.Kõigist looduslikest arvudest on üks väikseim, s.t. Mina< а для любого натурального числа a1.
Tõendid. Las olla ja -mis tahes loomulik arv. Siis on võimalik kaks juhtumit: a \u003d1 ja a 11. Kui a \u003d1, siis on loomulik arv b,järgneb a: a \u003d b "\u003d b +I \u003d 1 + b,st suhte "vähem" määratluse järgi 1< ja.Seetõttu on ükskõik milline looduslik võrdne 1 või suurem kui 1. Või on üks väikseim looduslik arv.
Suhe "vähem" on seotud numbrite liitmise ja korrutamisega monotoonsuse omadustega.
Teoreem 16.
a \u003d b \u003d\u003e a + c \u003d b + c ja a c \u003d b c;
ja< b => a + c< b + с и ас < bс;
a\u003e b \u003d\u003e a + c\u003e b + c ja ac\u003e bc.
Tõendid. 1) Selle väite kehtivus tuleneb liitmise ja korrutamise ainulaadsusest.
2) Kui ja< b,
siis on selline loomulik arv k,mida ja
+ k \u003d b.
Siis b+ c \u003d (a + k) + c \u003d a + (k + c) \u003d a + (c+ kuni)= (a + c) + k.Võrdsus b+ c \u003d (a + c) + ktähendab seda a + c< b
+ alates.
See on tõestatud samamoodi ja< b => äss< bс.
3) Tõestus on sarnane.
Teoreem 17 (vestle teoreemiga 16).
1) ja+ c \u003d b + cvõi ac ~ bc-Þ a \u003d b
2) a + c< Ь + с või äss< BcÞ ja< Ь:
3) a + c\u003e b+ klahviga või ac\u003e bcÞ a\u003e b.
Tõendid. Tõestagem näiteks, et äss< bс peaks ja< b Oletame vastupidist, s.t. et teoreemi järeldus ei pea paika. Siis ei saa see nii olla a \u003d b.sellest ajast alates võrdsus ac \u003d bc(Teoreem 16); ei saa olla ja> b,sellest ajast peale oleks ac\u003e bc(teoreem! 6). Seega, vastavalt teoreemile 12, ja< b.
Teoreemidest 16 ja 17 võib tuletada tuntud reeglid ebavõrdsuse terminite kaupa liitmise ja korrutamise kohta. Me jätame need välja.
Teoreem 18... Mis tahes looduslike arvude jaoks jaja b; eksisteerib selline loomulik arv n, et n b\u003e a.
TÕENDAMINE. Kellegi jaoks jaon selline arv p, mida n\u003e a.Selleks piisab, kui võtta n \u003d a +1. Korrutades terminite kaupa ebavõrdsuse p> jaja b\u003e 1, saame nb > ja.
Seose vaadeldavatest omadustest lähtuvad „vähem“ loodusarvude hulga olulised tunnused, mille esitame tõenditeta.
1. Loomuliku arvu puudumisel jasellist loomulikku arvu pole p,mida ja< п < а +
1. Seda omadust nimetatakse vara
diskreetsuslooduslike arvude ja numbrite komplektid jaja a +1 kõne naaber.
2.
Kõik looduslike arvude mittetühjad alamhulgad sisaldavad
väikseim arv.
3. Kui M- looduslike arvude hulga tühi alamhulk
ja on selline arv b,et kõigi arvude jaoks x alates Msooritamata
võrdsus x< b,siis komplektis Mneid on kõige rohkem.
Illustreerime näiteid omadustest 2 ja 3. Las olla M- kahekohaliste arvude komplekt. Sest Mon loomulike arvude alamhulk ja selle kõigi arvude korral määrake ebavõrdsus x< 100, то в множестве Mon suurim arv 99. Väikseim arv antud komplektis M, -number 10.
Seega suhe “vähem” võimaldas arvestada (ja mõnel juhul ka tõestada) olulist hulka loodusarvude hulga omadusi. Eelkõige on see lineaarselt järjestatud, diskreetne ja väikseima numbriga 1.
Nooremad koolilapsed tutvuvad loomulike arvude suhtega „vähem” („rohkem”) juba koolituse alguses. Ja sageli kasutatakse koos selle teoreetilise tõlgendusega kaudselt definitsiooni, mille oleme andnud aksiomaatilise teooria raames. Näiteks võivad õpilased selgitada, et 9\u003e 7, kuna 9 on 7 + 2. Liitmise ja korrutamise monotoonsuse omaduste kaudne kasutamine pole haruldane. Näiteks seletavad lapsed, et „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Harjutused
1. Miks ei saa loodusarvude komplekti järjestada "kohe jälgi" seose abil?
Sõnasta suhte määratlus a\u003e bja tõestage, et see on transitiivne ja antisümmeetriline.
3. Tõestage, et kui a, b, c- looduslikud arvud, siis:
ja) ja< b Þ ас < bс;
b) ja+ alates< b + cÞ> ja< Ь.
4. Mida suudavad liitmise ja korrutamise monotoonsuse teoreemid
kasutage nooremaid koolilapsi, täites ülesannet "Võrdle ilma arvutusi tegemata":
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27 - 8 ... 27 - 18.
5. Milliseid loodusarvude hulga omadusi nooremad õpilased kaudselt kasutavad järgmiste ülesannete täitmisel:
A) Kirjutage arvud, mis on suuremad kui 65 ja väiksemad.
B) Mis on eelmised ja järgnevad arvud numbri 300 (800 609 999) suhtes.
C) Mis on väikseim ja suurim kolmekohaline number.
Lahutamine
Loodusarvude teooria aksiomaatilises konstruktsioonis määratletakse lahutamine tavaliselt liitmise pöördvõrdena.
Definitsioon. Loodusarvude a ja b lahutamist nimetatakse tingimusele vastavaks operatsiooniks: a - b \u003d c siis ja ainult siis, kui b + c \u003d a.
Arv a - bnimetatakse arvude erinevuseks a ja b,number ja- vähendatud ja arv b -omavastutus.
Teoreem 19. Looduslike arvude erinevus ja- beksisteerib siis ja ainult siis b< а.
Tõendid. Las vahe ja- bolemas. Siis on erinevuse määratluse järgi loomulik arv alates,mida b + c \u003d a,mis tähendab, et b< а.
Kui b< а, siis suhte "vähem" määratluse järgi eksisteerib selline loomulik arv c, et b + c \u003d a.Siis, erinevuse määratluse järgi, c \u003d a - b,need. erinevus a - bolemas.
Lause 20. Kui loodusarvude vahe jaja bon olemas, siis on see ainulaadne.
Tõendid. Oletame, et arvude erinevusel on kaks erinevat väärtust jaja b;: a - b= koos₁ja a - b= koos₂ja c1-cc.Siis on erinevuse määratluse järgi: a \u003d b + c₁,ja a \u003d b + c₂ :.Sellest järeldub b+ c ₁ \u003d b + c₂: ja teoreemi 17 põhjal järeldame c₁ \u003d c₂ ..Jõudsime oletusega vastuolusse, mis tähendab, et see on vale, kuid see lause on tõsi.
Loodusarvude erinevuse määratluse ja selle olemasolu tingimuste põhjal saab põhjendada üldtuntud reegleid arvu lahutamiseks summast ja summa numbrist.
Teoreem 21... Las olla ja. bja alates- täisarvud.
ja kui a\u003e c, siis (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
b) Kui b\u003e c. siis (a + b) - c - a + (b - c).
c) Kui a\u003e c ja b\u003e c.siis saab kasutada mõnda neist valemitest.
Tõendid. Juhul a) arvude erinevus jaja caastast olemas a\u003e c.Tähistame seda x: a - c \u003d x. kust a \u003d c + x... Kui a (ja+ b) - c \u003d y.siis erinevuse määratluse järgi ja+ b = alates+ kell... Asendame selle võrdsuse asemel javäljendus c + x: (c + x) + b \u003d c + y.Kasutame liitmise assotsiatiivsuse omadust: c + (x + b) \u003d c+ kell... Me muudame selle võrdsuse liitmise monotoonilisuse põhjal, saame:
x + b = kell.X asendamine selles võrdsuses avaldisega a - c,saab (ja -d) + b \u003d y.Seega oleme tõestanud, et kui a\u003e c, siis (a + b) - c \u003d (a - c) + b
Tõendamine viiakse sarnasel viisil läbi ka juhul b).
Tõestatud teoreemi saab sõnastada reeglina, mida on mugav meelde jätta: summa summast lahutamiseks piisab sellest, kui lahutada see arv summa ühest terminist ja lisada saadud tulemusele veel üks termin.
Teoreem 22. Las olla a, b ja c -täisarvud. Kui a a\u003e b+ c ja- (b + c) \u003d (a - b) - cvõi a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Selle teooria tõestus sarnaneb teoreemi 21 tõestusega.
Teoreemi 22 saab vormistada reeglina, et arvude summa arvust lahutada, piisab sellest, kui lahutada sellest arvust järjest iga lause.
Matemaatika algõpetuses lahutamise kui pöördliikumise määratlust üldises vormis ei anta, kuid seda kasutatakse pidevalt, alustades ühekohaliste arvudega toimingute tegemisest. Õpilased peaksid teadma, et lahutamine on seotud liitmisega, ja kasutama seda seost arvutustes. Lahutades 40-st näiteks numbri 16, arutlevad õpilased järgmiselt: „Lahutage 40-st number 16 - mida tähendab leida number, mille lisamisel arvule 16 saadakse 40; see arv saab olema 24, kuna 24 + 16 \u003d 40. Nii. 40 - 16 \u003d 24 ".
Matemaatika algkursusel arvust summa ja summa summast lahutamise reeglid on erinevate arvutustehnikate teoreetiline alus. Näiteks võib avaldise (40 + 16) - 10 väärtuse leida nii, et suludes olev summa ei arvuta mitte ainult ja lahutatakse seejärel arv 10, vaid ka sel viisil;
a) (40 + 16) - 10 \u003d (40-10) + 16 \u003d 30 + 16 \u003d 46:
b) (40 + 16) - 10 \u003d 40 + (16-10) \u003d 40 + 6 \u003d 46.
Harjutused
1. Kas vastab tõele, et iga naturaalarv saadakse vahetult järgnevast, lahutades selle?
2. Mis on teoreemi 19 loogilise struktuuri eripära? Kas seda saab sõnastada sõnadega "vajalik ja piisav"?
3. Tõestage, et:
ja kui b\u003e c,siis (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) kui a\u003e b + csiis a - (b + s) \u003d (a - b) - c.
4. Kas ilma arvutusi tegemata on võimalik öelda, millised avaldised on võrdsed:
a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16-14 ),
b) (50-14) + 16; e) 50 - (16-14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50-14) + 16;
b) (50-16) + 14; e) (50-14) - 16;
c) (50-16) - 14; f) 50 - 16 - 14.
5. Millised lahutamise omadused on teoreetilised alused järgmistele matemaatika algkursusel uuritud arvutusmeetoditele:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 \u003d (40 + 8) - 3 \u003d 40 + 5 \u003d 45.
6. Kirjeldage vormi avaldise väärtuse arvutamise võimalikke viise. a - b- alatesja illustreerige neid konkreetsete näidetega.
7. Tõestage, et b< а ja mis tahes loomulik c, võrdsus (a - b) c \u003d ac - bc.
Näidustus. Tõestus põhineb 4. aksioomil.
8. Määrake avaldise tähendus ilma kirjalikke arvutusi tegemata. Põhjendage vastuseid.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.
Jaotus
Loodusarvude teooria aksiomaatilises konstruktsioonis määratletakse jagunemist tavaliselt korrutamise pöördvõrdena.
Definitsioon. Loodusarvude a ja b jagamine on toiming, mis vastab tingimusele: a: b \u003d c ainult siis,kuni kui b× c \u003d a.
Arv a: bhelistas privaatnenumbrid jaja b,number jajagatav, arv b - eraldaja.
Nagu teate, ei ole jagamine loomulike arvude hulga järgi alati olemas ja erinevuse jaoks jagatud koefitsiendi olemasolu jaoks pole sellist mugavat kriteeriumi. Konkreetse olemasolu jaoks on ainult vajalik tingimus.
Teoreem 23.Selleks, et eksisteeriks kahe loodusarvu jagatis jaja b, on vajalik, et b< а.
Tõendid. Olgu naturaalsete arvude jagatis jaja bon olemas, s.t on loomulik arv c selline, et bc \u003d a.Kuna mis tahes loodusliku arvu 1 korral on ebavõrdsus 1 £ alates,siis korrutades selle mõlemad osad loomuliku arvuga b, saame b£ bc.Aga bc \u003d a,seega b£ ja.
Teoreem 24.Kui loodusarvude jagatis jaja bon olemas, siis on see ainulaadne.
Selle teoreemi tõestus sarnaneb loodusarvude erinevuse ainulaadsuse teoreemi tõendiga.
Loodusarvude jagatuse määratluse ja selle olemasolu tingimuste põhjal on võimalik põhjendada tuntud reegleid summa (vahe, korrutis) jagamiseks arvuga.
Teoreem 25.Kui numbrid jaja bjagatud arvuga alates,siis nende summa a + bon jagatav s-ga ja jagatis, mis saadakse summa jagamisel ja+ bnumbri järgi alates,on võrdne jagamise teel saadud jagatud osade summaga japeal alatesja b peal alates, s.t. (a + b):c \u003d a: c + b:alates.
Tõendid. Kuna number jajagatuna alates,siis eksisteerib loomulik arv x \u003d jasellega a \u003d cx. Samamoodi on loomulik arv y \u003d b:alates,mida
b= su.Kuid siis a + b \u003d cx+ su \u003d - c (x + y).See tähendab et a + bon jagatav c-ga ja summa jagamisel saadud jagatis ja+ barvu järgi c on võrdne x + y,need. ah + b: c.
Tõestatud teoreemi saab sõnastada reeglina summa jagamiseks arvuga: summa jagamiseks arvuga piisab, kui jagada iga termin selle arvuga ja liita saadud tulemused.
Teoreem 26.Kui loomulikud arvud jaja b jagatud arvuga alatesja a\u003e b,erinevus a - bon jagatav c-ga ja jagatis, mis saadakse vahe jagamisel arvuga c, on võrdne jagamisel saadud jagatisega japeal alatesja bkuni c, s.t. (a - b): c \u003d a: c - b: c.
Selle teoreemi tõestus sarnaneb eelmise teoreemi tõestusega.
Seda teoreemi saab sõnastada reeglina erinevuse jagamiseks arvuga: eestvahe jagamiseks arvuga piisab vähendatud ja lahutatava arvu jagamisest selle arvuga ja esimese lahutamisest teise lahutamiseks.
Teoreem 27.Kui loomulik arv jaon jagatav loodusarvuga c, seejärel mis tahes loodusarvu korral bkompositsioon abjaguneb lk. Sellisel juhul jagatakse töö jagamisel jagatis ab numbri järgi koos , on võrdne jagamise teel saadud jagatava korrutisega japeal alates,ja numbrid b: (a × b): c - (a: c) × b.
Dokumentatsioon. Sest jajagatuna alates,siis eksisteerib selline loomulik arv x, et a: c\u003d x, kust a \u003d cx.Korrutades võrdsuse mõlemad pooled b,saada ab \u003d (cx) b.Kuna korrutamine on assotsiatiivne, siis (cx) b \u003d c (x b).Siit (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b.Teoreemi saab sõnastada reeglina toote jagamiseks arvuga: toote jagamiseks arvuga piisab, kui jagada üks teguritest selle arvuga ja korrutada tulemus teise teguriga.
Matemaatika algõpetuses jagamise kui korrutamise tagurpidi operatsiooni määratlust reeglina üldises vormis ei anta, kuid seda kasutatakse pidevalt, alates jagunemisega tutvumise esimestest tundidest. Õpilased peaksid hästi teadma, et jagamine on seotud korrutamisega, ja kasutama seda suhet arvutustes. Jagades näiteks 48-ga 16-ga, arutlevad õpilased järgmiselt: „Jagage 48 16-ga - see tähendab arvu leidmist, kui korrutada 16-ga, saame 48; see arv on 3, kuna 16 × 3 \u003d 48. Seega 48: 16 \u003d 3.
Harjutused
1. Tõestage, et:
a) kui loodusarvude jagatis a ja bon olemas, siis on see ainulaadne;
b) kui numbrid a ja bjagunevad alatesja a\u003e b,siis (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Kas on võimalik väita, et kõik need võrdsused on õiged:
a) 48: (2 × 4) \u003d 48: 2: 4; b) 56: (2 × 7) \u003d 56: 7: 2;
c) 850: 170 \u003d 850: 10:17.
Mis on nende juhtumite üldine rusikareegel? Sõnasta see ja tõesta.
3. Millised lõhustumise omadused on teoreetiline alus
järgides põhikooliõpilastele pakutavaid ülesandeid:
kas ilma jagamiseta on võimalik öelda, millistel avaldistel on samad väärtused:
a) (40+ 8): 2; c) 48: 3; e) (20+ 28): 2;
b) (30 + 16): 3; d) (21 + 27): 3; f) 48: 2;
Kas võrdsused on tõesed:
a) 48: 6: 2 \u003d 48: (6: 2); b) 96: 4: 2 \u003d 96: (4-2);
c) (40 - 28): 4 \u003d 10-7?
4. Kirjeldage avaldise väärtuse arvutamise võimalikke viise
liik:
ja) (ja+ b): c;b) ja: b: pärit; sisse) ( a × b): pärit .
Illustreerige pakutavaid meetodeid konkreetsete näidetega.
5. Leidke väljendi tähendus ratsionaalsel viisil; nende
põhjendada toiminguid:
a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Põhjendage kahekohalise numbriga järgmisi jagamismeetodeid:
a) 954: 18 \u003d (900 + 54): 18 \u003d 900: 18 + 54: 18 \u003d 50 + 3 \u003d 53;
b) 882: 18 \u003d (900 - 18): 18 \u003d 900: 18 - 18:18 \u003d 50 - 1 \u003d 49;
c) 480: 32 \u003d 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 \u003d 560 (32:16) \u003d 560 × 2 \u003d 1120.
7. Nurgaga jagamata leidke kõige ratsionaalsem
eraviisiline viis; põhjenda valitud meetodit:
a) 495: 15; c) 455: 7; e) 275: 55;
6) 425: 85; d) 225: 9; f) 455: 65.
Loeng 34. Mittegatiivsete täisarvude hulga omadused
1. Mittegatiivsete täisarvude hulk. Mittegatiivsete täisarvude hulga omadused.
2. Naturaalsete arvude segmendi ja lõpliku hulga loenduselementide mõiste. Järjestuslikud ja kvantitatiivsed looduslikud arvud.
Eriala riigieksamiks
1. Lineaarne (vektori) ruum välja kohal. Näited. Alamruumid, elementaarsed omadused. Vektorite sirgjooneline sõltuvus ja sõltumatus.
2. Vektorruumi alus ja mõõde. Vektorisüsteemi koordinaatmaatriks. Üleminek ühelt aluselt teisele. Vektorruumide isomorfism.
3. Kompleksarvude välja algebraline suletus.
4. Täisarvude ring. Täisarvude järjestus. "Suurimate" ja "Vähim" täisarvuteoreemid.
5. Grupp, rühmade näited. Rühmade lihtsaimad omadused. Alagrupid. Rühmade homomorfism ja isomorfism.
6. Täisarvude jagatavuse põhiomadused. Algarvud. Algarvude lõpmatus. Liitnumbri kanooniline lagunemine ja selle ainulaadsus.
7. Kroneckeri-Capelli teoreem (lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuskriteerium).
8. Võrdluste põhiomadused. Täielik ja vähendatud jääkide süsteem modulo. Jääkide klassi rõngas moodul. Euleri ja Fermati teoreemid.
9. Võrdlusteooria rakendamine jagamiskriteeriumide tuletamisel. Tavalise murdarvu teisendamine kümnendkohani ja selle perioodi pikkuse määramine.
10. Polünoomi kujuteldavate juurte konjugatsioon tegelike koefitsientidega. Reaalarvude valdkonnas taandamatud polünoomid.
11. Lineaarsed võrdlused ühe muutujaga (lahendatavuse kriteerium, lahendid).
12. Lineaarvõrrandite samaväärsed süsteemid. Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod.
13. Sõrmus. Näited sõrmustest. Sõrmuste kõige lihtsamad omadused. Subring. Sõrmuste homomorfismid ja isomorfismid. Väli. Näited väljadest. Lihtsaimad omadused. Ratsionaalsete arvude välja minimaalsus.
14. Loodusarvud (loodusarvude aksiomaatilise teooria alused). Teoreemid "suurima" ja "väikseima" loodusliku arvu kohta.
15. Polünoomid üle põllu. Jaotusteoreem koos ülejäänud osaga. Kahe polünoomi suurim ühisjagaja, selle omadused ja leidmismeetodid.
16. Binaarsuhted. Samaväärsussuhe. Ekvivalentsiklassid, jagatis.
17. Naturaalsete ja täisarvude matemaatiline induktsioon.
18. Koprime numbrite omadused. Vähim ühine täisarvude kordne, selle omadused ja leidmismeetodid.
19. Kompleksarvude väli, numbriväljad. Kompleksarvu geomeetriline esitus ja trigonomeetriline vorm.
20. Teoreem jagamise korral koos ülejäänud arvudega. Suurim täisarvude jagaja, selle omadused ja leidmismeetodid.
21. Vektorruumi lineaarsed operaatorid. Kernel ja lineaarse operaatori pilt. Vektorruumi lineaarsete operaatorite algebra. Lineaaroperaatori omaväärtused ja omavektorid.
22. Tasandi afiinsed teisendused, nende omadused ja seadistusmeetodid. Lennuki afiinsete teisenduste rühm ja selle alarühmad.
23. Hulknurgad. Hulknurga ala. Olemasolu ja ainulaadsuse teoreem.
24. Hulknurkade võrdne suurus ja võrdne koostis.
25. Lobatševski geomeetria. Lobatševski geomeetria aksioomide süsteemi järjepidevus.
26. Paralleelsuse mõiste Lobatševski geomeetrias. Sirgjoonte vastastikune paigutus Lobatševski lennukil.
27. Liikumiste valemid. Lennuki liikumiste klassifikatsioon. Rakendused probleemide lahendamiseks.
28. Kahe tasapinna, sirge ja tasapinna, kahe sirgjoone vastastikune paigutus ruumis (analüütilises esituses).
29. Projektiivsed teisendused. Olemasolu ja ainulaadsuse teoreem. Projektiivsete teisenduste valemid.
30. Vektorite skalaar-, vektor- ja seguproduktid, nende rakendamine probleemide lahendamisel.
31. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi Weyl'i aksioomide süsteem ja selle sisuline järjepidevus.
32. Lennuki liikumine ja nende omadused. Lennuki liikumiste rühm. Liikumise olemasolu ja ainulaadsuse teoreem.
33. Projektiivtasand ja selle mudelid. Projektiivsed teisendused, nende omadused. Projektiivsete teisenduste rühm.
34. Lennuki sarnasuse teisendused, nende omadused. Lennukite sarnasuse teisenduste rühm ja selle alarühmad.
35. Siledad pinnad. Pinna esimene ruutvorm ja selle rakendused.
36. Paralleelne disain ja selle omadused. Tasapinnaliste ja ruumiliste kujundite paralleelprojektsioon.
37. Siledad jooned. Ruumikõvera kõverus ja selle arvutamine.
38. Ellipse, hüperbool ja parabool kooniliste sektsioonidena. Kanoonilised võrrandid.
39. Ellipsi, hüperbooli ja parabooli kataloogi omadus. Polaarvõrrandid.
40. Sirge nelja punkti kahekordne suhe, selle omadused ja arvutus. Punktide paaride harmooniline eraldamine. Täielik nelinurk ja selle omadused. Rakendus ehitusprobleemide lahendamiseks.
41. Pascali ja Brianchoni teoreemid. Poolakad ja polaarid.
Matemaatilise analüüsi küsimuste näidised
"Suurimate" ja "Vähim" täisarvuteoreemid
Teoreem 4 (täisarvul "kõige vähem"). Kõik mittetühjad täisarvude komplektid, mis on piiratud altpoolt, sisaldavad väikseimat arvu. (Siin, nagu loomulike arvude puhul, kasutatakse sõna „komplekt” asemel sõna „alamhulk” E
TÕENDAMINE. Olgu О А С Z ja А piiratud altpoolt, s.t. 36? ZVa? A (b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Nüüd laske b A.
Siis Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь > Umbes).
Moodustame vormi a - b kõigi arvude hulga M, kus a jookseb üle hulga A, s.t. M \u003d (c [c \u003d a - b, a EA)
Ilmselgelt pole komplekt M tühi, kuna A 74 0
Nagu eespool märgitud, on M C N. Järelikult sisaldab reaalarvu m (54, Ch. III) lause järgi hulk M väikseimat looduslikku arvu m. Siis m \u003d a1 - b mõne arvu a1 korral? Ah, ja kuna m on M-s väikseim, siis jah? A (t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teoreem 5 (täisarvul “suurim”). Suurim arv sisaldab mis tahes tühja, klassiga piiratud täisarvude komplekti.
TÕENDAMINE. Olgu О 74 А С Z ja А ülevalt piiratud arvuga b, s.t. ? ZVa e A (a< Ь). Тогда -а > B kõigi numbrite a jaoks? JA.
Järelikult ei ole hulk M (kus r \u003d -a, a? A) tühi ja on altpoolt piiratud arvuga (-6). Seega on eelmise lause järgi hulgal M väikseim arv, see tähendab sina? MOUS? M (c< с).
Kas see tähendab, kes? A (koos< -а), откуда Уа? А(-с > ja)
H. Täisarvude matemaatilise induktsiooni meetodi erinevad vormid. Ülejäänud jaotusteoreem
Teoreem 1 (matemaatilise induktsiooni meetodi esimene vorm). Olgu P (c) täisarvude hulgal Z määratletud ühekohaline predikaat. Siis kui mõne ARVU a Z korral on väide P (o) ja suvalise täisarvu K\u003e a korral P (K) järgneb P (K -4-1), siis väide P (r) on tõene Kõigi täisarvude puhul on m arv c\u003e a (s.t hulga Z korral vastab predikaadi arvutuse järgmine valem:
P (a) vibu\u003e + 1)) Wc\u003e aP (c)
mis tahes fikseeritud täisarvu jaoks a
TÕENDAMINE. Oletame, et väite P (c) puhul vastab tõele kõik, mis on lause lause tingimustes öeldud, see tähendab
1) P (a) - tõene;
2) Tõsi on ka Ühendkuningriigi Щ к +.
Vastuolu järgi. Oletame, et selline arv on olemas
B\u003e a, see RF) on vale. Ilmselgelt b a, kuna P (a) on tõene. Moodustame hulga M \u003d (z?\u003e A, P (z) on vale).
Siis komplekt M 0, kuna b? M ja M on altpoolt piiratud arvuga a. Järelikult sisaldab hulk M väiksema täisarvu peal ja peal (lause 4, 2) komplekti M väikseimat täisarvut c. Seega c\u003e a, mis omakorda tähendab c - 1\u003e a.
Tõestagem, et P (c-1) on tõene. Kui c-1 \u003d a, siis P (c-1) on tingimuse tõttu tõene.
Olgu c - 1\u003e a. Siis eeldus, et P (c - 1) on väär, tähendab liikmelisust 1-ga? M, mida ei saa olla, kuna arv c on hulga M väikseim
Seega on tõesed c - 1\u003e a ja P (c - 1).
Seega on selle teoreemi tingimuse tõttu väide P ((c - 1) + 1) tõene, see tähendab P (c) on tõene. See on vastuolus arvu c valikuga, kuna c? M Teoreem on tõestatud.
Pange tähele, et see lause üldistab Peano aksioomide 1. järeldust.
Teoreem 2 (täisarvude matemaatilise induktsiooni meetodi teine \u200b\u200bvorm). Olgu P (c) mingi täisarvude hulga Z ühekohaline eelseadistus (määratlus). Siis, kui eessõna P (c) kehtib mõne täisarvu K ja suvalise täisarvu s K korral väite P (c) kehtivusest. Kõigi täisarvude korral vastab y ebavõrdsusele K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с > TO.
Selle teoreemi tõestus kordab suures osas sarnast teoreemi tõestust loodusarvude puhul (teoreem 1, 55, peatükk III).
Teoreem 3 (matemaatilise induktsiooni meetodi kolmas vorm). Olgu P (c) ühekohaline predikaat, mis on määratud hulga Z täisarvul NUM. Kui P (c) on tõene looduslike arvude hulga mõne lõpmatu alamhulga M kõigi arvude kohta ja suvalise täisarvu a korral P (a) tõest, järeldub, et P (a - 1) on tõene, siis väide P (c) kehtib kõigi täisarvude kohta.
Tõestus sarnaneb loodusarvude vastava teoreemi tõestusega.
Pakume seda huvitava harjutusena.
Pange tähele, et praktikas esineb matemaatilise induktsiooni kolmas vorm teistest harvemini. Seda seletatakse asjaoluga, et selle rakendamiseks on vaja teada loodusarvude hulga lõpmatut alamhulka M ", mida teoreemis mainitakse. Sellise komplekti leidmine võib olla keeruline.
Kolmanda vormi eelis teiste ees seisneb selles, et selle abil tõestatakse väide P (c) kõigi täisarvude puhul.
Allpool toome huvitava näite kolmanda vormi rakendamisest “. Kõigepealt anname ühe väga olulise kontseptsiooni.
Definitsioon. Täisarvu a absoluutväärtus on reegli järgi määratud arv
0 kui a 0 a kui a\u003e 0
A, kui a< 0.
Seega, kui 0, siis? N.
Soovitame lugejal harjutusena tõendada järgmisi absoluutväärtuse omadusi:
Teoreem (jagamisel ülejäänuga). Mis tahes täisarvude a ja b korral, kus b 0, eksisteerib ja pealegi ainult üks paar arvu Q U m, nii et a r: bq + T A D.
TÕENDAMINE.
1. Paari (q, m) olemasolu.
Olgu a, b? Z ja 0. Näitagem, et eksisteerib tingimustele vastav arvupaar q
Teostame tõenduse induktsiooni teel kolmandal kujul numbril a fikseeritud numbri b korral.
М \u003d (mlm \u003d n lbl, n? N).
Ilmselt on M C lm kaardistamine f: N M, mis on määratletud reegliga f (n) \u003d nlbl mis tahes n? N on bijektsioon. See tähendab, et M N, s.t. M - lõpmatu.
Tõestagem, et suvalise arvu a korral? M (ja b-fikseeritud) on lause väide arvude q ja m paari olemasolu kohta tõene.
Tõepoolest, las a (- M. Siis a nf! Mõne n? N.
Kui b\u003e 0, siis a \u003d n + O. Nüüd, määrates q \u003d n ja m 0, saame vajaliku arvu paarid q ja m. Aga kui b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Teeme nüüd induktsioonioletuse. Oletame, et suvalise täisarvu c (ja suvalise fikseeritud b 0) korral on lause lause tõene, st eksisteerib arvude paar (q, m) nii, et
Tõestagem, et see kehtib ka arvu (c 1) kohta. Võrdsusest c \u003d bq -4- järeldub bq + (m - 1). (1)
Juhtumid on võimalikud.
1) m\u003e 0. Siis 7 "- 1\u003e 0. Sel juhul seadistades - m - 1, saame c - 1 - bq + Tl, kus paar (q, 7" 1,) ilmselgelt vastab tingimusele
0. Siis c - 1 bq1 + 711, kus q1
Saame hõlpsalt tõestada, et 0< < Д.
Seega kehtib väide ka arvupaari kohta
Teoreemi esimene osa on tõestatud.
I. Paari q ainulaadsus jne.
Oletame, et arvude a ja b 0 korral on kaks arvupaari (q, m) ja (q1), mis vastavad siis tingimustele (*)
Tõestagem, et need langevad kokku. Nii et las
ja bq1 LO< Д.
Siit järeldub, et b (q1 -q) m- 7 1 1. Sellest võrdsusest järeldub, et
Kui nüüd eeldada, et q ql, siis q - q1 0, kust lq - q1l 1. Korrutades need ebavõrdsused tähtajaliselt arvuga lbl, saame φ! - q11 D. (3)
Samal ajal ebavõrdsustest 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
T e n i n i:
1. Täitke teoreemide 2 ja 3 tõendid 5-st 1.
2. Tõestage teoreemi 3, 1 tagajärg 2.
3. Tõestage, et alamhulk Н С Z, mis koosneb vormi kõikidest numbritest< п + 1, 1 > (n? N), on liitmise ja korrutamise käigus suletud.
4. Olgu H tähistatud sama kogumit nagu harjutuses 3. Tõestage, et kaardistamine ј: M vastab tingimustele:
1) ј - bijektsioon;
2) ј (n + m) \u003d ј (n) + j (m) ja j (nm) \u003d ј (n) j (m) mis tahes arvu n, m korral (st ј realiseerib algebrate isomorfismi (N, 4 ja (H, +,).
5. Täitke lause 1/2 tõestus.
6. Tõestage, et kõigi täisarvude a, b, c puhul kehtivad järgmised järeldused:
7. Tõestage Z-st teine \u200b\u200bja kolmas teoreem.
8. Tõestage, et täisarvude ring Z ei sisalda nulljagureid.
Kirjandus
1. Bourbaki N. Hulgateooria. M.: Mir, 1965.
2. VinograDov IM Arvuteooria alused. Moskva: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. Aritmeetika alused. M.: Uchpedgiz, 1963.
4. Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Rühmateooria alused.
Moskva: Nauka, 1972.
5. Kostrikin AI Sissejuhatus algebrasse. Moskva: Nauka, 1994.
b. Kulikov L. Ya. Algebra ja arvuteooria. M.: Kõrgem. shk., 1979.
7. Kurosh A.G. Kõrgem algebra kursus. Moskva: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky VA Koolimatemaatika põhimõisted. M.: Haridus, 1987.
9. Ljapini EL. ja muud rühmateooria harjutused. Moskva: Nauka, 1967.
10. Maltsevi tehisintellekti algebralised süsteemid. Moskva: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Sissejuhatus matemaatilisse loogikasse. Moskva: Nauka, 1971.
12. Netšajev VI Numbrilised süsteemid. Moskva: Haridus, 1975.
13. Novikov P.S. Matemaatilise loogika elemendid. M .. Teadus, 1973.
14. Petrova VT Algebra ja geomeetria loengud: 2 ahels.
CHL. M.: Vlados, 1999.
15. Koolimatemaatika kursuse tänapäevased alused Toim. number: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Joiner A.A. M.: Haridus, 1980.
16. Skornyakov LA Algebra elemendid. Moskva: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Hulgad, loogika, aksiomaatilised teooriad. M.; Valgustus, 1968.
18. Tisler AA Loogiline sissejuhatus matemaatikasse. Minsk: KÕRGEM. shk., 1971.
19. Filippov VP algebra ja arvuteooria. Volgograd: VGPI, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hillel I. Paljude teooria alused. Moskva: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Osaliselt tellitud süsteemid. M.: Mir, 1965.
Hariv väljaanne
Vladimir Konstantinovitš Kartašov
MATEMAATIKA SISSEJUHATAV KURSUS
Õpetus
Toimetuse ettevalmistus O. I. Molokanova Algse küljenduse valmistas ette A. P. Boschenko
“PR 020048 alates 20.12.96.
Allkirjastatud trükkimiseks 28.08.99. Vorming 60x84 / 16. Kontori press. Boom. tüüp. M 2. Uel. printida l. 8.2. Uch.-ed. l. 8.3. Tiraaž on 500 eksemplari. 2. järjekord
Kirjastus Peremena
