Programmeerimiskursusest on teada, et täisarvu saab arvutimälus esitada erineval viisil, eriti see esitus sõltub sellest, kuidas seda kirjeldatakse: täisarvulise või reaalse või stringina. Enamiku programmeerimiskeelte all mõistetakse täisarvu väga piiratud vahemikuna: tüüpiline juhtum on vahemikus -2 15 = -32768 kuni 2 15 -1 = 32767. Süsteemid arvuti algebra tegeleda eelkõige suurte täisarvudega, iga selline süsteem suudab arvutada ja kuvada kümnendmärkides selliseid numbreid nagu 1000! (rohkem kui tuhat tähemärki).

Sellel kursusel kaalume täisarvude esitamist sümboolses vormis ja ei lähe üksikasjadesse selle kohta, milline mälu on eraldatud ühe märgi (bit, bait või teine) kirjutamiseks. Kõige tavalisem on täisarvude esitamine positsioonilised numbrisüsteemid... Sellise süsteemi määrab arvubaasi valik, näiteks 10. Paljusid kümnendarvulisi täisarvu kirjeldatakse tavaliselt järgmiselt.

Täisarvude kirjalik definitsioon esitab iga sellise arvu üheselt ja sarnast määratlust (võib -olla erineva alusega) kasutatakse enamikus süsteemides arvuti algebra... Seda esitust kasutades on mugav aritmeetilisi toiminguid rakendada täisarvudel. Pealegi on liitmine ja lahutamine suhteliselt "odavad" toimingud ning korrutamine ja jagamine on "kallid". Aritmeetiliste toimingute keerukuse hindamisel tuleks mitmekohaliste arvudega tehtavate toimingute tegemisel arvestada nii elementaarse toimingu (ühekohaline) kui ka ühekohaliste toimingute arvu. Korrutamise ja jagamise keerukus tuleneb ennekõike sellest, et numbri pikkuse suurenemisega (selle salvestamine mis tahes arvusüsteemis) suureneb elementaarsete toimingute arv vastavalt ruutseadusele, erinevalt lineaarne liitmiseks ja lahutamiseks. Lisaks sellele põhineb see, mida me tavaliselt nimetame mitmekohaliste numbrite jagamise algoritmiks, tegelikult jagatava võimaliku järgmise numbri loendamisel (sageli väga märkimisväärne) ja ei piisa ainult ühekohalise jagamise reeglite kasutamisest. numbrid. Numbrisüsteemi suure alusega (sageli võib see olla suurusjärgus 2 30) on see meetod ebaefektiivne.

Laskma olla naturaalarv (kirjutatud kümnendsüsteemis). Tema rekordi saamiseks -aruse arvusüsteemis saate kasutada järgmist algoritmi (tähistab arvu täisosa):

Antud: A-loomulik arv kümnendmärkides k> 1-loomulik arv Vajalik: A-märge A-k-kordses märkega Algus i: = 0 tsükkel, samas kui A> 0 bi: = A (mod k) A: = i : = i + 1 tsükli lõpp dA: = i - 1 lõpp

Kümnendarvu taastamiseks selle k -nda märke jadast kasutatakse järgmist algoritmi:

Antud: k> 1-loomulik arv numbrite jada, mis tähistab arvu A k-arvsüsteemis See on vajalik: A-kirje arvust A kümnendsüsteemis Algus A: = 0 silmus kuni lõpuni jada b: = jada järgmine element A: = A * k + b tsükli lõpp Lõpp

1.2. HARJUTUS. Selgitage, miks jagamist kasutatakse arvu teisendamiseks kümnendarvust k-ariaks ja korrutamist k-st kümnendkohaks teisendamiseks.

Korrutades "veeru" kahe kahekohalise arvuga kümnendsüsteemis, teeme järgmised toimingud:

(10a + b) (10c + d) = 100ac + 10 (reklaam + bc) + bd,

see tähendab 4 korrutamistoimingut ühekohaliste numbrite jaoks, 3 liitmistoimingut ja 2 korrutamist aluse võimsuse abil, mis vähendatakse nihkeni. Keerukuse hindamisel saab arvesse võtta kõiki elementaarseid toiminguid, neid kaaludega jagamata (selles näites on meil 9 elementaarset toimingut). Selle lähenemisviisiga vähendatakse algoritmi optimeerimise probleemi, et minimeerida elementaarsete toimingute koguarvu. Siiski võib arvata, et korrutamine on "kallim" operatsioon kui liitmine, mis omakorda on "kallim" kui nihe. Arvestades ainult kõige kallimaid toiminguid, saame selle paljunev kahekohaliste numbrite "veeru" korrutamise keerukus on 4.

5. jaos käsitletakse suurimate ühiste jagajate arvutamise algoritme ja hinnatakse nende keerukust.

Kaalutud esitus ei ole ainus täisarvude kanooniline esitus. Nagu juba märgitud, võib kanoonilise esituse valimiseks kasutada loomuliku arvu lagunemise ainulaadsust algteguriteks. Seda täisarvu esitust saab rakendada nendes probleemides, kus kasutatakse ainult korrutamist ja jagamist, kuna need muutuvad väga "odavaks", kuid liitmise ja lahutamise maksumus suureneb ebaproportsionaalselt, mis takistab sellise esituse kasutamist. Mõnes probleemis annab kanoonilisest esitusest loobumine jõudluse märkimisväärselt paremaks, eriti võib kasutada arvu osalist faktoriseerimist. Sarnane meetod on eriti kasulik mitte numbritega, vaid polünoomidega töötamisel.

Kui on teada, et programmi töötamise ajal piiravad kõik arvutustes esinevad täisarvud absoluutväärtust mingi antud konstandiga, siis selliste numbrite määramiseks saab nende jääkide süsteemi kasutada mõningate koprimeeritud arvude moodulites, mille korrutis ületab mainitud konstant. Jääkide klassidega arvutamine on üldiselt kiirem kui mitmekordne täpsusaritmeetika. Selle lähenemisviisi korral tuleks mitmekordset aritmeetikat kasutada ainult teabe sisestamisel või väljastamisel.

Pange tähele, et koos süsteemide kanooniliste esitustega arvuti algebra kasutatakse ka muid esitusi. Eelkõige on soovitav, et "+" märgi olemasolu või puudumine täisarvu ees ei mõjutaks selle tajumist arvuti poolt. Seega saadakse positiivsete arvude puhul mitmetähenduslik esitus, kuigi negatiivsete arvude vorm on ainulaadselt määratud.

Teine nõue on see, et arvu tajumist ei tohiks mõjutada nullide olemasolu enne esimest olulist numbrit.

1.3. HARJUTUSED.

1. Hinnake ühekohaliste korrutuste arvu, mida kasutatakse veerus m-kohalise arvu korrutamisel n-kohalise arvuga.
2. Näidake, et kahte kahekohalist arvu saab korrutada, kasutades ainult 3 ühekohalist korrutamist ja suurendades liitmiste arvu.
3. Leidke algoritm pikkade numbrite jagamiseks, mis ei vaja jagatava esimese numbri leidmisel palju loendamist.
4. Kirjeldage algoritmi looduslike arvude teisendamiseks m -arvisüsteemist n -arvasüsteemiks.
5. V Rooma numeratsioon numbrite kirjutamiseks kasutatakse järgmisi sümboleid: I - üks, V - viis, X - kümme, L - viiskümmend, C - sada, D - viissada, M - tuhat. Sümbolit loetakse negatiivseks, kui paremal on suurem arv, ja muul juhul positiivseks. Näiteks selles süsteemis kirjutatakse number 1948 nii: MCMXLVIII. Sõnastage algoritm arvu teisendamiseks Rooma noodist kümnendkohaks ja vastupidi. Rakendage saadud algoritm ühes algoritmikeeles (näiteks C). Esialgsed andmete piirangud: 1<= N < 3700 , в записи результата ни один символ не должен появляться больше 3 раз.
6. Sõnastage algoritm ja kirjutage programm loomulike arvude lisamiseks Rooma numeratsioonis.
7. Me ütleme, et meil on tegemist numbrisüsteemiga sega- või vektorbaas kui meile antakse vektor n -i arvudest M = (m 1, ..., m n) (märke alus) ja märge K = (k 0, k 1, ..., k n) tähistab arvu k = k 0 + m 1 (k 1 + m 2 (k 2 + · · + m n · k n) ..))... Kirjutage programm, mis vastavalt andmetele (nädalapäev, tunnid, minutid, sekundid) määrab kindlaks, mitu sekundit on nädala algusest möödas (esmaspäev, 0, 0, 0) = 0 ja teostab pöördteisenduse.

Föderaalne haridusamet

Riiklik kõrgharidusasutus

Vjatka Riiklik Humanitaarülikool

Matemaatikateaduskond

Matemaatilise analüüsi ja meetodite osakond
matemaatika õpetamine

Lõplik kvalifikatsioonitöö

teemal: Gaussi täisarvude ring.

Valmis:

5. kursuse õpilane

Matemaatikateaduskond

V. V. Gnusov

___________________________

Juhendaja:

osakonna vanemõpetaja

algebra ja geomeetria

Semenov A.N ..

___________________________

Arvustaja:

kandidaat füüsika.-matemaatika. Teadused, dotsent

Algebra ja geomeetria osakond

Kovjazina E.M.

___________________________

Vastu võetud riikliku lennunduskomitee kaitsele

Pea Osakond ________________ Vechtomov E.M.

« »________________

Teaduskonna dekaan ___________________ Varankina V.I.

Sissejuhatus.

Keeruliste täisarvude ring

avastas Karl Gauss ja pani talle nime Gaussian.

K. Gauss jõudis ideeni täisarvu mõiste laiendamise võimalikkusest ja vajalikkusest seoses teise astme võrdluste lahendamise algoritmide otsimisega. Ta kandis täisarvu mõiste üle vormi numbritele

, kus on suvalised täisarvud ja - on võrrandi juur.Selle hulga põhjal koostas K. Gauss esimesena jagatavuse teooria, mis on sarnane täisarvude jagamise teooriale. Ta põhjendas jagatavuse põhiomaduste kehtivust; näitas, et kompleksarvude rõngas on ainult neli pööratavat elementi :; tõestas jäägiga jagamise teoreemi kehtivust, teoreemi algteguriteks lagunemise unikaalsuse kohta; näitas, millised algnumbrid jäävad rõngas peaministriteks; sai teada lihtsate täisarvuliste kompleksarvude olemuse.

K. Gaussi välja töötatud teooria, mida on kirjeldatud tema teoses "Aritmeetilised uurimised", oli arvude ja algebra teooria jaoks fundamentaalne avastus.

Lõpptöös seati järgmised eesmärgid:

1. Töötada välja Gaussi numbrite ringis jagatavuse teooria.

2. Uurige lihtsate Gaussi numbrite olemust.

3. Näidake Gaussi numbrite kasutamist tavaliste diofantiliste ülesannete lahendamisel.

PEATÜKK 1. GAUSIDE ARVUDE RÕNGAS JALATAVUS.

Mõelge kompleksarvude kogumile. Analoogia põhjal reaalarvude hulgaga saab selles eristada teatud täisarvude alamhulka. Vormi numbrite komplekt

, kus nimetatakse terveteks kompleksarvudeks või Gaussi numbriteks. On lihtne kontrollida, kas rõnga aksioomid on selle komplektiga rahul. Seega on see kompleksarvude komplekt rõngas ja seda nimetatakse Gaussi täisarvude ring ... Tähistame seda kui, kuna see on rõnga laiendus elemendiga:.

Kuna Gaussi numbrite rõngas on kompleksarvude alamhulk, kehtivad selle kohta mõned kompleksarvude definitsioonid ja omadused. Nii näiteks iga Gaussi number

vastab vektorile, mis algab punktist ja lõpeb. Seega moodul seal on Gaussi number. Pange tähele, et vaadeldavas komplektis on alammodulaarne avaldis alati mitte-negatiivne täisarv. Seetõttu on mõnel juhul seda mugavam kasutada norm , see tähendab mooduli ruut. Seega. Eristada saab järgmisi normi omadusi. Mis tahes Gaussi arvude puhul kehtib järgmine: (1) (2) (3) (4) (5) - loodusarvude kogum, st positiivsed täisarvud.

Nende omaduste kehtivust kontrollitakse mooduli abil triviaalselt. Märgime möödaminnes, et (2), (3), (5) kehtivad ka kõigi kompleksarvude puhul.

Gaussi numbrite rõngas on kommutatiivne rõngas, millel pole jagureid 0, kuna see on kompleksarvude välja alamrõngas. See tähendab rõnga mitmekordset kontraktiilsust

, see on (6)

1.1 PÖÖRDATAVAD JA SULETAVAD ELEMENDID.

Vaatame, millised Gaussi numbrid on pöörduvad. Korrutamine on neutraalne

... Kui Gaussi number pöörduvalt , siis on definitsiooni järgi selline, et. Normidele üle minnes saame vara 3 järgi. Kuid need normid on loomulikud. Seega vara 4 järgi. Ja vastupidi, kõik antud komplekti elemendid on pöörduvad, kuna. Seetõttu on numbrid, mille norm on võrdne ühega, pöörduvad, st.

Nagu näete, ei ole kõik Gaussi numbrid pöörduvad. Seetõttu on huvitav kaaluda jagatavuse küsimust. Nagu tavaliselt, ütleme seda

aktsiad sisse lülitatud, kui see on olemas. Kõik Gaussi numbrid ja ka pööratavad numbrid kehtivad. (7) (8) (9) (10), kus (11) (12)

Seda on lihtne kontrollida (8), (9), (11), (12). Punkti (7) kehtivus tuleneb punktist 2 ja (10) tuleneb punktist 6. Omaduse (9) tõttu komplekti elemendid

Naturaalarvud ei ole rõngas, kuna 0 ei ole naturaalarv ja loomulike arvude puhul pole neile loomulikku vastandit. Loodusarvudest moodustatud struktuuri nimetatakse poolrõngas. Täpsemalt,

Poolring nimetatakse kommutatiivse liitmise poolrühmaks ja korrutamise poolrühmaks, milles liitmise ja korrutamise toimingud on seotud jaotusseadustega.

Nüüd tutvustame täisarvude rangeid määratlusi ja tõestame nende samaväärsust. Tuginedes algebraliste struktuuride mõistetele ja asjaolule, et loodusarvude kogum on poolimine, kuid mitte ring, saame kehtestada järgmise määratluse:

Määratlus 1. Täisarvude rõngas on minimaalne rõngas, mis sisaldab nullarvude pooli.

See määratlus ei ütle midagi selliste numbrite välimuse kohta. Koolikursuses on täisarvud defineeritud kui looduslikud arvud, neile vastupidised ja 0. Seda määratlust võib võtta ka aluseks range määratluse koostamisel.

Määratlus 2. Täisarvude rõngas on rõngas, mille elemendid on naturaalarvud, nende vastas ja 0 (ja ainult nemad).

Teoreem 1... Mõisted 1 ja 2 on samaväärsed.

Tõestus: Me tähistame Z 1 -ga täisarvude ringi definitsiooni 1 tähenduses ja Z 2 -ga täisarvude ringi definitsiooni 2 tähenduses. Esiteks tõestame, et Z 2 sisaldub Z 1 -s. Tõepoolest, kõik Z 2 elemendid on kas naturaalarvud (need kuuluvad Z 1 -sse, kuna Z 1 sisaldab naturaalarvude pooli) või nende vastandid (nad kuuluvad samuti Z 1 -sse, kuna Z 1 on ring ja seetõttu selle iga elemendi puhul eksisteerib vastupidine ring ja iga loodusliku n Î Z 1, –n juurde kuulub ka Z 1) või 0 (0 Î Z 1, kuna Z 1 on ring ja igal ringil on 0), seega kuulub iga element Z 2 -st ka Z 1 -le ja seega Z 2 Í Z 1 -le. Teisest küljest sisaldab Z 2 naturaalarvude poolimist ja Z 1 on minimaalne rõngas, mis sisaldab looduslikke numbreid, see tähendab, et see ei saa sisaldada ühtegi teine rõngas, mis vastab sellele tingimusele. Kuid me näitasime, et see sisaldab Z 2 ja seega Z 1 = Z 2. Teoreem on tõestatud.

Määratlus 3. Täisarvude rõngas on rõngas, mille elemendid on kõik võimalikud elemendid, mida saab esitada erinevusena b - a (kõik võimalikud lahendid võrrandile a + x = b), kus a ja b on suvalised looduslikud arvud.

Teoreem 2... Definitsioon 3 on samaväärne kahe eelmisega.

Tõestus: Tähistame Z 3 -ga definitsiooni 3 tähenduses täisarvude ringi ja Z 1 = Z 2, nagu varem, täisarvude rõngast definitsioonide 1 ja 2 tähenduses (nende võrdsus on juba kindlaks tehtud). Esiteks tõestame, et Z 3 sisaldub Z 2 -s. Tõepoolest, kõiki Z 3 elemente saab esitada looduslike arvude b - a mõningate erinevustena. Trichotoomia teoreemi kohaselt on kahe loodusliku arvu puhul võimalik kolm võimalust:

Sel juhul on erinevus b - ja see on ka naturaalarv ning kuulub seega Z 2 -sse.

Sel juhul tähistatakse kahe võrdse elemendi erinevust sümboliga 0. Tõestame, et see on tõepoolest rõnga null, see tähendab liitmise suhtes neutraalne element. Selleks kasutame erinevuse a - a = x ó a = a + x definitsiooni ja tõestame, et b + x = b mistahes loomuliku arvu b puhul. Tõestuseks piisab, kui lisada element b võrdsuse a = a + x paremale ja vasakule poolele ning seejärel kasutada tühistamisseadust (kõiki neid toiminguid saab teha rõngaste teadaolevate omaduste alusel). Null kuulub Z 2 -le.

Sel juhul on erinevus a - b loomulik arv, mida me tähistame

b - a = - (a - b). Tõestame, et elemendid a - b ja b - a on tõepoolest vastandlikud, st nad moodustavad nulli. Tõepoolest, kui tähistame a - b = x, b - a = y, siis saame, et a = b + x, b = y + a. Lisades tähtajalise võrdsuse ja tühistades b, saame a = x + y + a, st x + y = a - a = 0. Seega a - b = - (b - a) on vastupidine loomulik, see tähendab, et see kuulub jällegi Z 2 -le. Seega Z 3 Í Z 2.

Teisest küljest sisaldab Z 3 naturaalarvude poolitamist, kuna mis tahes naturaalarvu n saab alati esitada kui

n = n / - 1 Î Z 3,

ja seega Z 1 Í Z 3, kuna Z 1 on minimaalne rõngas, mis sisaldab looduslikke numbreid. Kasutades juba tõestatud fakti, et Z 2 = Z 1, saame Z 1 = Z 2 = Z 3. Teoreem on tõestatud.

Kuigi esmapilgul võib tunduda, et täisarvude määratlustes pole aksioome, on need definitsioonid aksiomaatilised, kuna kõik kolm definitsiooni ütlevad, et täisarvude kogum on ring. Seetõttu on täisarvude aksiomaatilise teooria aksioomid rõnga määratlusest tulenevad tingimused.

Tõestame seda täisarvude aksiomaatiline teooria on järjepidev... Tõestuseks on vaja konstrueerida täisarvude rõnga mudel, kasutades ilmselgelt järjepidevat teooriat (meie puhul saab see olla ainult loodusarvude aksiomaatiline teooria).

Definitsiooni 3 kohaselt saab iga täisarvu esitada kahe naturaalarvu z = b - a erinevusena. Seostame iga täisarvuga z vastava paari ... Selle kirjavahetuse puuduseks on selle ebaselgus. Eelkõige vastab paarile ka number 2<3, 1 >, ja paar<4, 2>nagu ka paljud teised. Paarile vastab ka number 0<1, 1>, ja paar<2,2>, ja paar<3, 3>, jne. Kontseptsioon aitab seda probleemi vältida. paaride samaväärsus... Ütleme nii, et paar samaväärne paar kui a + d = b + c (märge: @ ).

Sissejuhatav seos on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne (lugejale esitatakse tõestus).

Nagu iga ekvivalentsussuhe, genereerib see seos kõigi võimalike looduslike arvude paaride hulga partitsiooni samaväärsusklassideks, mida tähistame kui [ ] (iga klass koosneb kõigist paaridest, mis võrduvad paariga ). Nüüd on võimalik iga täisarv siduda täpselt määratletud samaväärsete looduslike numbrite paaridega. Paljud sellised looduslike arvude paaride klassid ja neid saab kasutada täisarvude mudelina. Tõestame, et selles mudelis on kõik rõnga aksioomid rahul. Selleks on vaja tutvustada paaride klasside liitmise ja korrutamise mõisteid. Teeme seda vastavalt järgmistele reeglitele:

1) [] + [] = [];

2) [] × [ ] = [].

Näitame, et kasutusele võetud definitsioonid on õiged, see tähendab, et need ei sõltu paaride klasside konkreetsete esindajate valikust. Teisisõnu, kui paarid on samaväärsed @ ja @ , siis vastavad summad ja tooted @ sama hästi kui @ .

Tõestus: Rakendage paari samaväärsuse definitsiooni:

@ ó а + b 1 = b + a 1 (1),

@ ó c + d 1 = d + c 1 (2).

Lisades terminite kaupa võrdsused (1) ja (2), saame:

a + b 1 + c + d 1 = b + a 1 + d + c 1.

Kõik viimase võrdsuse terminid on loomulikud numbrid, seega on meil õigus kohaldada kommutatiivseid ja assotsiatiivseid liitmisseadusi, mis viib meid võrdsuseni

(a + c) + (b 1 + d 1) = (b + d) + (a 1 + c 1),

mis on tingimusega samaväärne @ .

Korrutamise õigsuse tõestamiseks korrutame võrdsuse (1) с -ga, saame:

ac + b 1 c = bc + a 1 c.

Seejärel kirjutame võrdsuse (1) ümber kui b + a 1 = a + b 1 ja korrutame d -ga:

bd + a 1 d = reklaam + b 1 d.

Lisagem saadud võrdsused terminite kaupa:

ac + bd + a 1 d + b 1 c = bc + reklaam + b 1 d + a 1 c,

mis tähendab, et @ (teisisõnu, siin oleme seda tõestanud × @ ,× ).

Siis teeme sama protseduuri võrdsusega (2), ainult korrutame selle 1 ja b 1 -ga. Saame:

a 1 c + a 1 d 1 = a 1 d + a 1 c 1

b 1 d + b 1 c 1 = b 1 c + b 1 d 1,

a 1 c + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 d 1 = a 1 d + b 1 d + b 1 c 1 + a 1 c 1 ó

ó @

(siin oleme seda tõestanud × @ ,× ). Kasutades paaride ekvivalentsussuhte transitiivsuse omadust, jõuame nõutava võrdsuseni @ tingimusega samaväärne

× @ ,× .

Seega on sisse viidud määratluste õigsus tõestatud.

Lisaks kontrollitakse otseselt kõiki rõngaste omadusi: paaride klasside liitmise ja korrutamise assotsiatiivne seadus, liitmisseadus ja jaotusseadused. Toome näitena liitmise assotsiatiivse seaduse tõendi:

+ ( +) = + = .

Kuna kõik paaride komponendid on naturaalarvud

= <(a + c) +m), (b + d) +n)> =

= <(a + c), (b + d)> + = ( + ) +.

Ülejäänud seadusi kontrollitakse sarnasel viisil (pange tähele, et nõutava võrdsuse vasaku ja parema poole eraldi teisendamine samale vormile võib olla kasulik trikk).

Samuti on vaja tõestada neutraalse liitmiselemendi olemasolu. See võib olla vormi paaride klass [<с, с>]. Tõesti,

[] + [] = [] @ [], sest

a + c + b = b + c + a (kehtib kõigi loodusarvude puhul).

Lisaks iga paari klassi kohta [ ] on sellele vastupidine. Sellest klassist saab klass [ ]. Tõesti,

[] + [] = [] = [] @ [].

Samuti saab tõestada, et kasutusele võetud paariklasside komplekt on ühtsusega kommutatiivne rõngas (paaride klass [ ]) ning et selles mudelis säilitatakse nende piltide jaoks kõik tingimused liitmis- ja korrutamisoperatsioonide määratlemiseks. Eelkõige on mõistlik loodusliku paari jaoks vastavalt reeglile kehtestada järgmine element:

[] / = [].

Kontrollime selle reegli abil tingimuste C1 ja C2 kehtivust (looduslike arvude liitmise definitsioonist). Tingimus C1 (a + 1 = a /) kirjutatakse sel juhul ümber järgmiselt:

[] + [] =[] / = []. Tõesti,

[] + [] = [] = [], sest

a + c / + b = a + b + 1 + c = b + c + a +1 = b + c + a /

(tuletame veel kord meelde, et kõik komponendid on looduslikud).

Tingimus C2 näeb välja selline:

[] + [] / = ([] + []) / .

Teisendame selle võrdsuse vasaku ja parema külje eraldi:

[] + [] / = [] + [] = [] / .

([] + []) / = [] / =[<(a + c) / , b + d>] =[].

Seega näeme, et vasak ja parem pool on võrdsed, mis tähendab, et tingimus C2 on tõene. Lugejale esitatakse tõendid seisundi U1 kohta. tingimus Y2 on jaotusseaduse tagajärg.

Niisiis, täisarvude rõnga mudel on üles ehitatud ja seetõttu on täisarvude aksiomaatiline teooria järjepidev, kui loodusarvude aksiomaatiline teooria on järjepidev.

Täisarvuliste toimingute omadused:

2) a × (–b) = –a × b = - (ab)

3) - ( - a) = a

4) (–a) × (–b) = ab

5) a × (–1) = - a

6) a - b = - b + a = - (b - a)

7) - a - b = - (a + b)

8) (a - b) × c = ac - bc

9) (a - b) - c = a - (b + c)

10) a - (b - c) = a - b + c.

Kõigi omaduste tõestused kordavad rõngaste vastavate omaduste tõestusi.

1) a + a × 0 = a × 1 + a × 0 = a × (1 + 0) = a × 1 = a, see tähendab, et × 0 on neutraalne liitmiselement.

2) a × (–b) + ab = a (–b + b) = a × 0 = 0, st element a × (–b) on elemendi a × b vastas.

3) (- a) + a = 0 (vastupidise elemendi definitsiooni järgi). Sarnaselt (- a) + (- (- a)) = 0. Võrdsustades võrdsuste vasakpoolsed küljed ja rakendades tühistamisseadust, saame- (- a) = a.

4) (–a) × (–b) = - (a × (–b)) = - ( - (a × b)) = ab.

5) a × (–1) + a = a × (–1) + a × 1 = a × (–1 + 1) = a × 0 = 0

a × (–1) + a = 0

a × (–1) = –а.

6) Definitsiooni järgi on erinevus a - b arv x, mis on selline, et a = x + b. Lisades võrdsuse paremale ja vasakule poolele - b vasakul ja kasutades kommutatiivset seadust, saame esimese võrdsuse.

- b + a + b - a = –b + b + a - a = 0 + 0 = 0, mis tõestab teist võrdsust.

7) - a - b = - 1 × a - 1 × b = –1 × (a + b) = - (a + b).

8) (a - b) × c = (a + ( - 1) × b) × c = ac + ( - 1) × bc = ac - bc

9) (a - b) - c = x,

a - b = x + c,

a - (b + c) = x, see tähendab

(a - b) - c = a - (b + c).

10) a - (b - c) = a + ( - 1) × (b - c) = a + ( - 1 × b) + (–1) × ( - c) = a - 1 × b + 1 × c = = a - b + c.

Eneseabi ülesanded

Ei 2.1. Leidke tabeli parempoolsest veerust paarid, mis on samaväärsed tabeli vasakpoolses veerus näidatud paaridega.

a)<7, 5>	1) <5, 7>
b)<2, 3>	2) <1, 10>
v)<10, 10>	3) <5, 4>
G)<6, 2>	4) <15, 5>
	5) <1, 5>
	6) <9, 9>

Märkige iga paari jaoks vastupidine.

Ei 2.2. Arvutama

a) [<1, 5>] + [ <3, 2>]; b) [<3, 8>] + [<4, 7>];

v) [<7, 4>] – [<8, 3>]; G) [<1, 5>] – [ <3, 2>];

e) [<1, 5>] × [ <2, 2>]; f) [<2, 10>]× [<10, 2>].

Ei 2.3. Selles jaotises kirjeldatud täisarvude mudeli puhul kontrollige liitmisseadust, korrutamise assotsiatiivseid ja kommutatiivseid seadusi ning jaotusseadusi.

Def. Rõngast K nimetatakse täisarvude rõngaks, kui rõnga K liitlisrühm on täisarvude liitrühm ja korrutamine rõngas K on kommutatiivne ning jätkab loodusarvude korrutamist (looduslike arvude süsteemis N).

T1. Las olla on täisarvude liidurühm, selles on loomulik korrutamine ja 1 on N -i arvude süsteemi ühik. Siis algebra Z = on täisarvude ring.

Dok. Näitame, et algebra Z on kommuteeriv ring. Hüpoteesi järgi algebra - rõnga lisandrühm - on olemas abeli rühm täisarvude lisandrühmana.

Olgu a, b, c hulga Z suvalised elemendid. Neid saab esitada looduslike arvude rõõmuna. Olgu (1) a = m-n, b = p-q, c = r-s (m, n, p, q, r, s N).

Loomulik korrutamine Z-s on määratletud valemiga (2) a * b = (m-n) * (p-q) = (mp + nq)-(mq + np).

Loomulik korrutamine on kommutatiivne, kuna b * a = (p-q) * (m-n) = (pm + qn)-(pn + qm) ning loodusarvude liitmine ja korrutamine on kommutatiivne.

Loomulik korrutamine on assotsiatiivne. Tõepoolest, punktide 1 ja 2 alusel on meil:

a * (b * c) = (mn) [(pq) (rs)] = (mn) [(pr + qs) - (ps -qr)] = (mpr + mqs + nps + nqr) - (mps + mqr + npr + nqs);

(a * b) * c = [(mn) (pq)] (rs) = [(mp + nq) - (mq + np)] (rs) = (mpr + nqr + mqs + nps) - (mps + nqs + mqr + npr).

Seetõttu on looduslike arvude liitmise kommutatiivse iseloomu tõttu a * (b * c) = (a * b) * c.

Element 1 on loodusliku korrutamise suhtes neutraalne. Tõepoolest, iga a puhul 2 on meil * 1 = (m-n) (1-0) = m * 1-n * 1 = m-n = a.

Sellest ka algebra on kommutatiivne monoid.

Def. Kui täisarvude a ja b puhul on olemas loomulik arv k, nii et a + k = b ja k 0, siis nad ütlevad, et "a on väiksem kui või b", ja kirjutavad a b kas ja ainult siis, kui b

T2. Olgu Z = täisarvude ring. Siis: 1) täisarvude a ja b puhul on täidetud üks ja ainult üks kolmest tingimusest: a

2) iga täisarvu a puhul on täidetud üks ja ainult üks kolmest tingimusest: a<0, a=0, 0

3) suhtumine< монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

a

4) suhtumine<монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

kui a 0, siis ac

T. jagamisel ülejäänud osaga. Olgu a täisarv ja b positiivne täisarv. Arvu a ja b jagamine ülejäänud osaga tähendab selle kujutamist a = bq + r, kus 0 r

Ülejäägiga jagamine on alati teostatav ning mittetäielik jagatis ja ülejäänud määrab unikaalselt kindlaks dividend ja jagaja.

T. Iga täisarvu a, b puhul b> 0 on unikaalne täisarvude paar q ja r, mis vastab tingimustele: (1) a = bq + r ja 0 r

Dok. Tõestame, et on olemas vähemalt üks arvpaar q, r, mis vastab tingimustele (1). Esiteks kaaluge juhtumit, kui a on naturaalarv. Fikseerime b ja tõestame induktsiooniga a, et (2) eksisteerib paar täisarvu q, r, mis vastab (1).

Kui a = 0, on väide (2) tõene, kuna 0 = b * 0 + 0. Oletame, et (2) vastab tõele a = n, s.t. eksisteerivad täisarvud q, r, nii et (3) n = bq + r ja 0 r

Suurim ühine jagaja. Täisarvu c nimetatakse täisarvude a 1,…, a n ühiseks jagajaks, kui nende arvude jagaja on olemas.

Def. Suurim täisarvude a 1,…, a n ühine jagaja on nende ühine jagaja, mis jagub nende arvude mis tahes ühisjagajaga.

Täisarvu a 1,…, n nimetatakse ühisõppeks, kui nende suurim ühine jagaja on võrdne ühega.

Arvude a 1, ..., a n GCD tähistatakse gcd -ga (a 1, ..., a n), nende numbrite positiivset gcd tähistab sõlm (a 1, ..., a n).

Järeldus 1. Kui d on täisarvude a 1,…, a n GCD, siis nende arvude kõigi ühiste jagajate hulk langeb kokku kõigi d jagajate hulgaga.

Järgmine 2. Kõik kaks GCD täisarvu a 1,…, n on seotud, st võivad erineda ainult märgis. Kui d on numbrite a 1, ..., a n gcd, siis arv (-d) on ka nende numbrite gcd.

Eukleidese algoritm. Võimalus leida kahe täisarvu gcd.

Pakkumine. Olgu a ja b kaks täisarvu, b ≠ 0 ja (1) a = bq + r (0 r<|b|).

Siis sõlm (a, b) = sõlm (b, r).

Dok. (1) järeldub, et arvude a ja b ühine jagaja on arvu r = a-bq jagaja ning arvude b ja r ühine jagaja on arvu a jagaja. Seetõttu langeb numbrite a ja b kõigi ühiste jagajate hulk kokku arvude b ja r kõigi ühiste jagajate hulgaga. Sellest järeldub, et numbrite a ja b positiivne ühisjagaja langeb kokku numbrite b ja r positiivse ühisjagajaga, s.t. sõlm (a, b) = sõlm (b, r).

Kui b | a, kus b≥1, siis ilmselgelt sõlm (a, b) = b. Kahe täisarvu sõlmede leidmiseks kasutatakse "järjestikuse jagamise" meetodit, mida nimetatakse Eukleidese algoritmiks. Selle meetodi olemus seisneb selles, et ülaltoodud väite kohaselt taandatakse numbrite a ja b sõlmede leidmise probleem lihtsamaks numbrite b ja r sõlmede leidmise probleemiks, kus 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

Kui a = 0, siis b = 0 * c = 0 ja teoreem on tõene. Kui a ≠ 0, siis (1) järgneb see cd = 1. Teoreemi järgi järeldub võrdsusest cd = 1, et d = 1. Veelgi enam, a = bd; seega a = b. Tõestatud.

Kõige vähem levinud mitmekordne. Täisarvu nimetatakse täisarvude a 1,…, a n ühiseks kordajaks, kui see jagub kõigi nende arvudega.

Def. Täisarvude a 1,…, n vähim ühine kordaja on nende ühine kordaja, mis jagab nende arvude ühise mitmekordse. Üldine: LCM (a 1, ..., a n). Arvude a 1,…, a n, nullist erinev positiivne vähim ühine kordaja.

Sl-e. Kõik kaks kõige vähem levinud täisarvude kordajat a 1,…, a n on seotud Z -ga, s.t. võivad erineda ainult märgis. Kui arv m on LCM (a 1,…, a n), siis arv (-m) on LCM (a 1,…, a n).

Sl-e. Kui m on arvude a 1,…, a n kõige vähem levinud kordaja, siis nende numbrite kõigi ühiste kordajate hulk langeb kokku kõigi m korduste hulgaga.

Määratlus:

P-adic täisarvude summa ja korrutis, mis määratakse järjestuste järgi ja mida nimetatakse p-adic täisarvudeks, mis määratakse järjestuste järgi ja vastavalt.

Et olla kindel selle määratluse õigsuses, peame tõestama, et jadad ja määratlema mõned täisarvud - aatilised arvud ja et need numbrid sõltuvad ainult määratlevate jadade valikust, mitte sellest. Mõlemad omadused on tõestatud ilmselge kontrollimisega.

Arvestades tegevuste määratlust täisarvudel - aadiliste numbrite puhul, moodustavad nad ilmselgelt suhtlusrõnga, mis sisaldab alamrõngana ratsionaalsete täisarvude rõngast.

Täisarvude - aadiliste arvude jaguvus määratakse samamoodi nagu mis tahes muu rõnga korral: kui on olemas täisarv - adic arv, mis

Jaotuse omaduste uurimiseks on oluline teada, millised on need täisarvud - adi numbrid, mille puhul on olemas pöördarvud - adic arvud. Selliseid numbreid nimetatakse ühe või ühe jagajateks. Me kutsume neid - adic ühikut.

Teoreem 1:

Täisarv on jadaga määratletud adic number siis ja ainult siis, kui see on ühik millal.

Tõestus:

Olgu ühik, siis on täisarv - adic arv selline, et. Kui see on jadaga määratletud, tähendab tingimus seda. Eelkõige ja seega vastupidi, las tingimusest järeldub kergesti, et nii. Seetõttu võib iga n puhul leida sellise, mis võrdlus kehtib. Alates ja siis. See tähendab, et jada määratleb mõne täisarvu - võrdluse. Võrdlused näitavad, et s.t. mis on üksus.

Tõestatud teoreemist järeldub, et täisarv on ratsionaalne arv. Peetakse rõnga elemendiks siis ja ainult siis, kui see on ühik millal. Kui see tingimus on täidetud, siis see sisaldub. Sellest järeldub, et iga ratsionaalne täisarv b jagub sellise in -ga, s.t. et iga vormi ratsionaalset arvu b / a, kus a ja b on täisarvud ja mis sisalduvad selle vormi ratsionaalsetes arvudes, nimetatakse täisarvuks. Nad moodustavad rõnga ilmselgel viisil. Saadud tulemuse saab nüüd sõnastada järgmiselt:

Järeldus:

Aadiliste täisarvude ring sisaldab ratsionaalsete täisarvude ringi isomorfset alamrõngast.

P-aadika murdosad

Määratlus:

Vormi murdosa k> = 0 määratleb murdosa p -aadilise arvu või lihtsalt p -aadilise arvu. Kaks murdosa ja määratlege sama p -aadsinumber, kui see on sees.

Kõigi p -aadikanumbrite kogumit tähistab p. Lihtne on kontrollida, kas liitmise ja korrutamise toimingud jätkuvad punktist p ja muudavad p väljaks.

2.9. Teoreem. Iga p -aadikanumber on vormil unikaalselt esindatud

kus m on täisarv ja a on rõnga p ühik.

2.10. Teoreem. Mis tahes nullist erinev p -aadikanumber on vormil ainulaadselt esindatud

Omadused: P-adic arvude väli sisaldab ratsionaalsete arvude välja. On lihtne tõestada, et iga p-aadiline täisarv, mis ei ole mitu p, on rõngas p pöörduv ja p kordaja on kirjutatud ainulaadselt kujul, kus x ei ole p kordaja ja on seega pöörduv, kuid. Seetõttu võib välja p mis tahes nullist erineva elemendi kirjutada kujul, kus x ei ole p kordaja, vaid m; kui m on negatiivne, siis p-aadiliste täisarvude kui numbrite jada esitamise põhjal p-ariaalses arvusüsteemis võime sellise p-adic-arvu kirjutada jadana, st vormiliselt esitada seda p-adic murd, millel on piiratud arv komakohti ja võib-olla lõpmatu arv nullist erinevaid kümnendkohti. Selliste numbrite jagamist saab teha ka sarnaselt "kooli" reegliga, kuid alustades numbri madalamatest, mitte kõrgematest numbritest.